北京市东城区示范校2022学年高三最后一卷数学试卷(含解析)

2022学年高考数学模拟测试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.A．2．设全集U=R，集合A．B．B．C．D．，则（）C．D．3．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是()A．B．D．C．4．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．5．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱AB，BC，的中点，M为棱AD的中点，设P，Q为底面ABCD内的两个动点，满足平面EFG，，则的最小值为（）A．B．C．D．6．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）（附：）A．个B．个C．个D．个7．设集合A．，，则（）B．D．C．8．设曲线在点处的切线方程为，则（）A．1B．2C．3D．49．已知函数，给出下列四个结论：函数单调递减；若对任意，都有的最小值为；其中正确结论的个数是（）D．的值域是；函数为奇函数；函数成立，则在区间A．B．C．10．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A．C．B．D．11．若实数x，y满足条件，目标函数，则z的最大值为()A．B．1C．2D．012．已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（）A．B．D．C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知的最小值是__．，，，则14．展开式的第5项的系数为_____.15．如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为___________．16．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过左焦点,，则椭圆的的直线与椭圆交于、两点，且离心率为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）把曲线向下平移个单位，然后各点横坐标变为原来的倍得到曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.（纵坐标不变），设点．是曲线18．（12分）已知函数，其中，（1）当（2）当时，求的值；的最小正周期为时，求在上的值域．19．（12分）已知函数.（1）求函数（2）若的单调区间；，证明.20．（12分）设函数（1）解不等式，.；（2）若对任意的实数恒成立，求的取值范围.21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点在曲线正三角形．上，点在曲线上，且为（1）求点，的极坐标；（2）若点为曲线上的动点，为线段的中点，求的最大值．22．（10分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？列联表补充完整，并判擅长不擅长合计男性女性合计30501000.053.8410.150.100.0255.0240.0106.6350.0057.8790.0012.0722.70610.828（，其中）2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】如图，已知，，，解得，，解得.折断后的竹干高为4.55尺故选B.2、A【答案解析】求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．【题目详解】，，则，故选：A．【答案点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．3、B【答案解析】执行给定的程序框图，输入【题目详解】，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：第1次循环：第2次循环：；；第3次循环：第10次循环：；，此时满足判定条件，输出结果，故选：B.【答案点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4、D【答案解析】根据函数的奇偶性用方程法求出求出结论.的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可【题目详解】依题意有，，得，又因为，所以，在上单调递增，所以函数故选:D.的单调递增区间为.【答案点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.5、C【答案解析】把截面画完整，可得在的最小值．上，由知在以为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得【题目详解】如图，分别取的中点，连接，易证共面，即平面为截面，连接，由中位线定理可得，平面平面，平面，则，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，．正方体中平面，从而有，，在以为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形内的部分）上，显然关于直线的对称点为，，当且仅当共线时取等号，所求最小值为．故选：C．【答案点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．6、C【答案解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为，计算得到答案.cm，得到不等式【题目详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，易求正四面体相对棱的距离为则最上层球面上的点距离桶底最远为若想要盖上盖子，则需要满足cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，cm，，解得，所以最多可以装故选：层球，即最多可以装个球．【答案点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.7、A【答案解析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.【题目详解】因为，又，所以.故选：A.【答案点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.8、D【答案解析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【题目详解】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.故选：D【答案点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题9、C【答案解析】化得的解析式为可判断，求出的解析式可判断，由，结合正弦函数得图象即可判断，由得可判断.【题目详解】由题意，，所以，故正确；为偶函数，故错误；当时，，单调递减，故正确；若对任意，都有成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为，故正确.故选：C.【答案点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.10、A【答案解析】首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.【题目详解】由于为上的减函数，则有，可得，所以当函数最小时，，恰有两个零点等价于方程与有两个实根，等价于函数的图像有两个交点．画出函数的简图如下，而函数恒过定点，数形结合可得的取值范围为．故选：A.【答案点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.11、C【答案解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【题目详解】若实数x，y满足条件，目标函数如图：当时函数取最大值为故答案选C【答案点睛】求线性目标函数的最值:当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.当12、B【答案解析】由值域为确定的值，得，利用对称中心列方程求解即可【题目详解】因为，又依题意知的值域为，所以得，，所以，令，得，则的图象的对称中心为.故选：B【答案点睛】本题考查三角函数的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、．【答案解析】因为，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.【题目详解】由，得，所以，当且仅当故答案为：【答案点睛】，取等号.本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.14、70【答案解析】根据二项式定理的通项公式【题目详解】，可得结果.由题可知：第5项为故第5项的的系数为故答案为：70.【答案点睛】本题考查的是二项式定理，属基础题。15、13【答案解析】根据题意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件，故得到此时输出的b值为13.故答案为13.16、【答案解析】设,则,,由知,,,作,进而求出,垂足为C，则C为的关系式,即可求出椭圆的离心率.的中点,在和中分别求出【题目详解】如图,设,则,,由椭圆定义知,因为,,所以,,作在,垂足为C，则C为中,因为的中点,,所以在，中,由余弦定理可得,，即,解得,所以椭圆的离心率为.故答案为:【答案点睛】本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【答案解析】（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以，利用点到直线得，进而可化简得出曲线的直角坐标方程；（2）根据变换得出的普通方程为，可设点的坐标为的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.【题目详解】（1）由（为参数），得，化简得，故直线的普通方程为.由，得，又，，.所以的直角坐标方程为；（2）由（1）得曲线的直角坐标方程为，向下平移个单位得到，，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到曲线的方程为所以曲线的参数方程为（为参数）.故点到直线的距离为，当时，最小为.【答案点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计算能力，属于中等题.18、（1）（2）【答案解析】（1）根据，得到函数，然后，直接求解的值；（2）首先，化简函数，及正弦函数的性质解答即可．【题目详解】，然后，结合周期公式，得到，再结合（1）因为，所以（2）因为即因为所以，所以因为所以所以当当时，．当时，（最大值）时，在是增函数，在是减函数．的值域是．【答案点睛】本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考查了运算求解能力，属于中档题．19、（1）单调递减区间为，，无单调递增区间（2）证明见解析【答案解析】（1）求导，根据导数的正负判断单调性，（2）整理，化简为，令，求的单调性，以及，即证.【题目详解】解：（1）函数定义域为，则，令，，则，当故，，，单调递减；当，，单调递增；，，，故函数的单调递减区间为，，，无单调递增区间.（2）证明，即为，因为即证令，，则，令，则，当时，，所以在上单调递减，则，，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以要证原不等式成立，只需证当时，，令即，，，可知对于恒成立，，即，故，即证，故原不等式得证.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，函数的最值问题，属于中档题．20、(1)；(2)【答案解析】试题分析：（1）将绝对值不等式两边平方，化为二次不等式求解．（2）将问题化为分段函数问题，通过分类讨论并根据恒成立问题的解法求解即可．试题解析：整理得解得解得,且无限趋近于4，综上的取值范围是21、（1），；（2）.【答案解析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；（2）设点的直角坐标为，则点的直角坐标为