2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（

）A. B. C. D.参考答案：B2.如图甲所示，三棱锥的高，，，M、N分别在和上，且，，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥的体积V与的变化关系，其中正确的是（

）参考答案：A,

,

是抛物线的一部分．3.已知a,b为正实数，且的最小值为（

）A．

B．6

C．3+

D．3－

参考答案：C略4.类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，，其中，且，下面正确的运算公式是（）①；②；③；④.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④参考答案：D5.已知=（1，0），||=，|﹣|=||，则，的夹角是（）A． B．C．D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得cosθ的值，可得设与夹角θ的值．【解答】解：已知=（1，0），||=，|﹣|=||，设，的夹角为θ，θ∈[0，π]，则+﹣2=，∴=2?，∴2=2?1?cosθ，∴cosθ=，∴θ=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．6.已知两点,O为坐标原点，点C在第二象限，且,则等于（

）A．

B．

C．-1

D．1参考答案：A7.等差数列{an}的前n项和Sn，若，则()A.8 B.10 C.12 D.14参考答案：C试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.考点：等差数列的性质.8.已知两点，点为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点到两点、的距离之和的最小值为A.4

B.5

C.6

D.参考答案：B9.是等差数列，，则使的最小的n值是（

）(A)5

(B)

(C)7

(D)8w参考答案：B10.设斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线离心率e的取值范围是（

）

A．e＞

B．e＞

C．1＜e＜

D．1＜e＜参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的准线方程为

。参考答案：略12.在正项等比数列{}中，则满足的最大正整数n的值为___________．参考答案：12略13.若函数与函数的零点分别为，，则函数的极大值为

．参考答案：是与交点横坐标，是与交点横坐标，与应为反函数，函数关于对称，又与垂直，与的中点就是与的交点，，，当时，，在上递减，在上递增，当时，，在上递减，在上递增，所以函数在处取得极大值，即函数的极大值为，故答案为.

14.椭圆+=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为．参考答案：4【考点】椭圆的简单性质．【分析】先将椭圆方程化为参数方程，再求圆心到直线的距离d，利用三角函数的性质求其最大值，故得答案．【解答】解：由题意，设P（4cosθ，2sinθ）则P到直线的距离为d==，当sin（θ﹣）=1时，d取得最大值为4，故答案为：4．15.若曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为

参考答案：略16.函数在区间［-1，2］上的值域是

.参考答案：［，8］略17.圆的圆心到直线的距离

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的离心率为，点在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得，解得a2与b2的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论，（1）当直线l与x轴垂直时，分析可得直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l为y=kx+m，分析A、B、M的坐标，将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由根与系数的关系可得M的坐标，进而由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分可得P的坐标，代入椭圆的标准方程可得，进而分析可得，解可得k、m的值，即可得答案．【解答】解：（I）由题意得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．…..（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，分2种情况讨论：（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，．故，．四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即．则．由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1﹣k．则，则（4k2+1）（8k﹣3）=0．则．满足△＞0．所以直线l的方程为时，四边形OAPB为平行四边形．综上所述：直线l的方程为或x=1．…..19.某商场为了促销，采用购物打折的优惠办法：每位顾客一次购物：①在1000元以上者按九五折优惠；②在2000元以上者按九折优惠；③在5000元以上者按八折优惠。(1）写出实际付款y（元）与购物原价款x（元）的函数关系式；(2）写出表示优惠付款的算法；参考答案：（1）设购物原价款数为元，实际付款为元，则实际付款方式可用分段函数表示为：(2）用条件语句表示表示为：20.设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．【解答】解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．21.现有一只不透明的袋子里面装有6个小球，其中3个为红球，3个为黑球，这些小球除颜色外无任何差异，现从袋中一次性地随机摸出2个小球．（1）求这两个小球都是红球的概率；（2）记摸出的小球中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布及其均值E（X）．参考答案：（1）记“取得两个小球都为红球”为事件A，利用排列组合知识能求出这两个小球都是红球的概率．（2）随机变量X的可能取值为：0、1、2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的概率分布列和数学期望．（理科）解：（1）记“取得两个小球都为红球”为事件A，则这两个小球都是红球的概率P（A）==．…（2）随机变量X的可能取值为：0、1、2，…X=0表示取得两个球都为黑球，P（X=0）==，X=1表示取得一个红球一个黑球，P（X=1