粒子物理与核物理实验中的数据分析市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

10/10/1粒子物理与核物理试验中数据分析杨振伟清华大学第二讲：基本概念（续）艾滋病检验结果再认识10/10/2对于个人而言，0.032

是主观概率。假如没有其它额外信息时，应把0.001看成相对频率解释。不过往往在病毒检验前，该相对频率被看成一个信念来处理个人是否患病。假如还有其它额外信息，应该给出不一样先验概率。这种贝叶斯统计特点必定是主观。比如，受检者有过吸毒历史。一旦验前概率改变，贝叶斯定理就会告诉患病可能性。对阳性结果诠释就会改变。问题：能否结构含自变量概率？10/10/3随机变量与概率密度函数假设试验结果为x

(记作样本空间中元素)概率为那么概率密度函数p.d.f.定义为

f(x)，它对全部样本空间S

满足定义累积分布函数为对于离散型随机变量

分位数、中值与模10/10/4分位点x

定义为随机变量x

值，它使得

这里0

1。所以能够轻易求出分位点随机变量x

中值定义为

随机变量x

被观察到大于或小于中值概率是相等。

模定义为使概率密度函数值到达极大随机变量值。

10/10/5直方图与概率密度函数概率密度函数p.d.f.就是拥有没有穷大样本，区间宽度为零，而且归一化到单位面积直方图。直方图在统计分析中非常主要，应准确了解它含义。10/10/6多变量情形假如观察量大于一个，比如

x

与y10/10/7边缘分布将联合概率密度函数p.d.f.分别投影到x与y

轴若x，y

相互独立，则可结构2-维p.d.f10/10/8条件概率密度函数利用条件概率定义，可得到定义条件概率密度函数p.d.f.为则贝叶斯定理可写为

h(y|x)yyx10/10/9名词总汇随机事例概率条件概率相对频率与主观概率贝叶斯定理随机变量概率密度函数条件密度函数直方图10/10/10问题条件概率假如A

与B

相互独立，则从文恩图上得到所以10/10/11解答：概率都是条件概率由柯尓莫哥洛夫公理，我们定义了概率P(A)。但在实际应用中，我们总是对A

相对于许多样本空间概率感兴趣，而不但仅只是一个空间。所以，通常以记号来表示所进行研究是在特定样本空间S中，也就是A相对于S条件概率。所以，全部概率在实际应用中都是条件概率。只有当S

选择是明白无误时，才能简单记为10/10/12解答：互斥与相互独立互斥定义为也就是两个事例定义没有交集。所给出推论为相互独立定义为所以，依据定义两个相互独立事例不意味着是互斥。前面问题属于把二者定义混同了。10/10/13证实举例：事例与逆事例假如A

是在S

中任意一个事例，则证实：因为

A与依据定义是互斥，而且从文恩图得到所以能够写出10/10/14举例：检验给定概率合理性假如一个试验有三种可能而且互斥结果A，B和C

，检验以下各种情况给出概率值是否是合理：结论：只有1）与4）是合理。评论：作为一个合格试验研究人员，一定要具备判断结果是否合理能力！10/10/15举例：检验经验概率密度函数试验上经常经验性地从直方图中给出概率密度函数（比如经过拟合直方图分布等等），不过需要确定得到函数是否满足概率密度函数定义，比如试判断哪一个能够用作概率密度函数？答案：1）有负概率值；2）累积函数值大于1。所以，二者在给定随机变量范围内都不能用作概率密度函数。10/10/16数据分析中问题粒子与核物理试验中对动量测量通常是分别测量在已知两分量测量值概率密度函数情况下，总动量为怎样导出总动量测量值概率密度函数？是研究随机变量函数p.d.f问题。10/10/17一维随机变量函数随机变量函数本身也是一个随机变量。假设

x服从p.d.f.f(x)，对于函数a(x)，其p.d.f.g(a)为何？10/10/18函数逆不唯一情况假如a(x)

逆不唯一，则函数p.d.f.应将dS中对应于da

全部dx区间包含进来10/10/19多维随机变量函数考虑随机矢量与函数，对应p.d.f.假如两个独立变量x

与y，分别按g(x)与h(y)分布，那么函数z=xy应含有何种形式？多维随机变量函数(续一)10/10/20记作g与hMellin卷积假如函数为z=x+y，则应含有何种形式？记作g与h傅立叶卷积注意：通常将二者皆称为g与h卷积，已相同记号表示。10/10/21多维随机变量函数(续二)考虑含有联合p.d.f.随机矢量，结构

个线性独立函数：，而且其逆函数存在。那么联合p.d.f.为这里是雅可比行列式任意一个函数均可经过对函数积分掉其它不用变量而得到。是数据处理中误差传递基础。10/10/22期待值考虑含有p.d.f.随机变量，定义期待(平均)值为注意:它不是函数，而是一个参数。通常记为：对离散型变量，有对含有p.d.f.函数，有方差定义为通常记为：标准偏差：10/10/23协方差与相关系数定义协方差(也可用矩阵表示)为相关系数定义为假如x，y

独立，即则10/10/24举例：样本平均值假设试验上研究一核素衰变寿命，在探测效率为100%情况下，每次探测到寿命为ti，一共测量了n

次，求平均寿命（也就是寿命期待值）。依据离散型期待值定义问题关键是ti

概率密度函数是什么？依据概率相对频率定义，在n次测量中出现ti

频率为一次所以，期待值（或平均寿命）为思索：假如频率为mi

次，结果会不一样吗？10/10/25误差传递假设服从某一联合p.d.f.，我们可能并不全部知道该函数形式，但假设我们有协方差和平均值现考虑一函数，方差是什么？将在附近按泰勒展开到第一级然后，计算与…10/10/26误差传递(续一)因为所以利用泰勒展开式可求10/10/27误差传递(续二)两项合起来给出方差假如之间是无关，则，那么上式变为类似地，对于组函数10/10/28误差传递(续三)或者记为矩阵形式注意：上式只对为线性时是准确，近似程度在函数非线性区改变比要大时遭到很大破坏。另外，上式并不需要知道p.d.f.详细形式，比如，它能够不是高斯。10/10/29误差传递一些特殊情况注意在相关情况下，最终误差会有很大改变，比如当这种特征有时候是有益：将公共或难以预计误差，经过适当数学处理将它们消掉，到达减小误差目标。10/10/30坐标变换下误差矩阵试验上经常经过测量粒子在探测器中各点击中坐标（x,y）来拟合在极坐标下径迹（r,）。通常情况下，（x,y）测量是不关联。因为所以，坐标变换后误差矩阵为10/10/31大亚湾反应堆中微子试验10/10/32反应堆中微子反应堆能产生大量反电子型中微子3GW

热功率反应堆中微子几乎无损穿透物质假设产生中微子以球面波传输，那么在任一地方任一给定面元中微子流强为10/10/33大亚湾中微子振荡中微子振荡中微子在运动过程中自己不停改变形态测量中微子形态随运动距离改变中微子形态随运动距离改变理论预言10/10/34怎样确保1%精度？测量中微子振荡影响那一个方案更易实现1%精度测量？为何？10/10/35不一样坐标系下相关性改变经过转动坐标，随机变量相关性会发生改变。显然，经过将坐标系转动450，上面相关性在新坐标系下消失。随机变量作正则变换去除相关性10/10/36对应协方差矩阵为非线性情况假设有n个随机变量x1,…,xn以及协方差矩阵Vij=cov[xi,xj]，能够证实有可能经过线性变换重新定义n个新变量y1,…,yn使得对应协方差矩阵Uij=cov[yi,yj]非对角元为零。令10/10/37变换后变量协方差矩阵对角化为了使协方差矩阵U对角化因为协方差矩阵总是对称，所以可知本征矢量是正交可先确定协方差矩阵V

本征列矢量

，i=1,…,n。解方程变换矩阵A由本征矢量

给出，即10/10/38正则变换后变量协方差矩阵所以，正则变换协方差矩阵为变量作正则变换后，其方差由原协方差矩阵

V本征值给出。对应于矢量转动不改变模大小。|y|2=yTy=xTATAx=|x|2尽管非关联变量经常轻易处理，不过对经过变换变量了解不一定轻易。带电粒子在闪烁体射程10/10/39在原来定义下，能够得到粒