2016新人教版高中数学必修一第三章函数应用学案

【三2015数学三章数的应用学案人教A如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个3x＝－3，－1,2.提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0x叫做函数y＝f(x)的零点方程f(x)＝0有实根⇔y＝f(x)的图x轴有交点⇔y＝f(x)有零实数函数f(x)＝x＋1f(x)＝x＋1＝0有一个实x＝－1，所以＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点函数f(x)＝x2－4x＋3图象如图1：函数的零点是什么？如果函数y＝f(x)在区间[ab]上的图象是连续不断的一条曲线且有f(a)·f(b)<0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也f(x)＝01x当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连续则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．1](1

)＝x3(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3

[解](1)

x＝0，x＝－3

xx2＋2x＋4＝0所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点22x－3＝0，解得x＝log22所以函数f(x)＝2x－3点是x＝log21－log3x＝0，解得求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点

令

＝0，解得x＝1，所以函数的零点为令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为3.1函数与方 第三章函数的应2](1f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈Rx01234y6mn6不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( 9(2)f(x)＝lgx

[解析](1f(a)f(b)<0，f(x)＝0a，bf(－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由 (2)∵f(6)＝lg6－＝lg6－<0，f(7)＝lg7－ f(8)＝lg8－<0，f(9)＝lg9－1<0，f(10)＝lg10－ 9∴f(x)＝lgxx[答案](1)Ax是方程1x＝

x属于区间 x的解，则

1A.

B.， 1

2 C.， D.0，3 C构造函数2

21<0

1

133

，即方程2

x0属于区间313](1f(x)＝ln

(2)判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数1在同一坐标系中画出y＝lnx与 的图象 ，1y＝lnx

f(x)＝ln

[答案]

(2)[解]f(2)＝4＋lg∴f(x)在(0,2)上必定存在零f(x)有且只有一个零点．法二：在同一坐标系出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草g(x)＝lg(x＋1)h(x)＝2－2x的图象有且只有一即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点f(x)＝x－3＋lnx的零点个数．f(x)＝x－3＋lnx＝0，lny＝lnxy＝－x＋3y＝lnx，y＝－x＋3f(x)＝x－3＋lnf(3)＝ln2f(2)＝－1＋ln2＝lnef(3)·f(2)<0f(x)＝x－3＋lnx在区间(2,3)内有零点．f(x)＝x－3＋lnx在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．1[典例]函数f(x)＝x＋的零点个数为 x f(x)的定义域为{x|x≠0}x>0f(x)>0x<0f(x)<0，所A.[答案]1xy＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连f(x)＝

C当x≤0x2＋2x－3＝0x＝－3；x>0－2＋lnx＝0x＝e2，

2 A观察图象可知A函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( 1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2>0，f(0)·f(1)<0，故函数的已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点 解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2、

g(x)的零点 方程lnx＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则 解析：令f(x)＝lnx＋2x－8，则f(x)在(0，＋∞)上单调递∵f(3)＝ln3－2<0，f(4)＝lnf(x)＝0，log2x－x＋2＝0， 所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点 已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值x1234567由表可知函数f(x)存在零点的区间有 A．1 B．2C．3 D．4方程0.9x－2x＝0的实数解的个数是 A．0 B．1C．2 D．3Bf(x)＝0.9x－2xf(xR1函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是( B函数y＝x2＋ax2＝－a已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，βf(x)的两个零点，则实数α，β的大小关系可能是 ∵α，β是函数f(x)的两个零点结合二次函数f(x)的图象，可知，a，b必在α，β之间，只有C满足)＝2已知x是函数 )＝20

＝By＝2xy1＝＝图象 ，由图可知函数y＝2x和函数y1的图象只有一个交点＝即函数 1只有一个零点x，且x 因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以由函数图象可知 lnx－x2＋2x＋5＝0lnx＝x2－2x－5y＝lnxy＝x2－2x－52f(x2.答案若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为 解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内f0f1答案

若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点则实数a的取值范围是 解析：函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0且a≠1)a)在(0,1)a>1.已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什

2而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线f(x)在区间[－1,0]内有零即方程已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围解：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在 －2a 2定理得f12

2≤a因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性52因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次f0f1

的单调性与零点存在性定理得f6f8

解得3<a4，在一档中让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款，选手开始报价，选手说，1：如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？400800600.2：通过这种方法能猜到具体价格吗？对于在区间[ab]上连续不断且f(a)·f(b)<0函数y＝f(x通过不断地把函数εf(x)零点近似值的步骤如下：第二步，求区间(a，bc.f(c)＝0，则c就是函数的零点f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时[例1](1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( C．y＝log [解析]A×解方程x＋7＝0，得B×C×解方程log3x＝1，得D√分析可知，A，B，DC[答案](1)D已知函数f(x D图象与x44；左右函数值异号的零点有33，D.2]求函数f(x)＝x2－50.1)[解]由于f(－2)＝－1<0，0.062－0.484－0.214(－2.25，－2.187－2.218－0.077由于|－2.25－(－2.1875)|＝0.062[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解f(21.187f(1.187因为|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1f(x)＝2x＋3x－60.11.25.3]用二分法求方程2x3＋3x－3＝00.1)．[解]令f(x)＝2x3＋3x－3，f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有取(0,1)0.5f(0.5)<0，f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解2f(0.687(0.687|0.6875－0.75|＝0.062(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程(x)＝0(2)f(x)＝g(x－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解lgx＝3－x解：分别画函数y＝lgx和y＝3－x的图象，，在两个函数的解．由y＝lgxy＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有x1，并且这个解在区间(2,3)内．f(x)＝lgx＋x－3，利用计算器计算得：f(2.5625)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5625,2.625)；2.625－2.5625＝0.0625<0.1[典例]用二分法求方程f(x)＝0在[0,1 [解析]因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个[答案]0.75(答案不唯一)由于f(0.625)<0，f(0.75)>0，故在区间(0.625,0.75)内也存在零点，但用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下f(1.600f(1.587f(1.575f(1.562f(1.556f(1.550根据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.1)为 解析：由表中数据可知：f(1.5625)·f(1.5562)＜0.而|1.5625－1.5562|＝0.006x0∈(1.5562,1.5621.55621.562答案：1.5562(1.562 B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋2 C因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，0用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( A∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且的中点a，则f(a)＝ 答案0用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x＝2.5， 0f(x)＝x2－2x－1.0∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0∵f(2.25)＝－0.437f(2.375)<0，f(2.4375)>0⇒x0∈(2.375,2.4375)．∵|2.375－2.4375|＝0.062∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1似解可[达标检测下列关于函数f(x)，x∈[a，b]题中，正确的是 x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0f(x)的一个零若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似函数f(x)的零点是方程f(x)＝0根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的ABf(x)＝0A用二分法求图象是连续不断的函数f(x)在x∈(1,2)内零点近似值的过程中得到 D．B因为f(1.5)>0，f(1.25)<0，f(1.5)·f(1.25)<0，则函数的零点落用二分法究函数fx)＝3＋3x1的零时一次经计得可得其中一个零点x0∈ ，第二次应计算 ．以上横线上应填的内容分别为( ) 2f(x)＝x3＋x2－2x－2f(1.437f(1.406那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.04)为 D．1.437Df(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162f(1.40625)·f(1.4375)<01.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一个近似解可取1.4375D.

00 y＝x的交点的横坐标是x，则x的取值范围是 00 A．(0， 1C．( 2A

1

11f()＝()－＝0.1－ 102)) 1f(0)·f2某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D

答案

2n<0.1，

>10，∴n－1≥4，即在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的(质量小一点)，现在 次就可以发现这枚．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则一定在质量小的那枚金币里面；从这13币中拿出1将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是，若不平衡，则质量小的那一枚即是．综上可知，最多称4次就可以发现这枚．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次 解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．答案：1.5,1.75,1.875,1.8125从到旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，解：f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数∴f(x)只有一个零点取区间(0.5,1)x2＝0.75，f(0.75)＝－0.15625<0，∴f(0.75)·f(1)<0.即∴f(0.75)·f(0.875)<0.即取区间(0.75,0.875x4＝0.812f(0.812∴f(0.75)·f(0.8125)<0，x0∈(0.75,0.8125)，而|0.8125－0.75|<0.1.所以，f(x)的零点的近似值可取为x123456789248248357901230904991009146905f(x)，g(x)，h(xx的增大，函数值增大．问题2：函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同h(x)＝log2x.aay＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢． 因此，总会存在一个x，使得当x>x时，就有log 随着x的增大逐渐加随着x的增大逐渐减n值的不同而不1]y1，y2，y3，y4xx152222关于x呈指数函数变化的变量 y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变x呈指数函数变化．y1，y2，y3，y42y1，y2，y3，y4y2xy2.[答案]线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数”．幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间tv 1 B．v＝log2C．v＝ CB，D，[例 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象设两函数的图象交于点A(x，y B(x2，y2(1)请图中曲线C1，C2分别对应的函数12(2)f(6)，g(6)，f(2011)，g(2011)的大小．[解](1)Cg(x)＝x3，Cf(x)＝2x.12从图象上可以看出，当x1<x<x2时g(2011)>g(6)，∴f(2011)>g(2函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象(1)试根据函数的增长差异曲线C1，C2分别对应的函数(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x1x＝x2时3]20132013438(18(30(函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1yx的关系？[解]建立年销量yx的函数，可知函数必过点(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

故f(4)＝44，与计划误差为

5＝ ＝5

)＝3

3由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生的方案在生源利润达到5万元时，按生源利润进行，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖5解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝logx，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行才符5[典例]下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( ＝A．y1 B．y＝100ln＝ [解析]指 ∴1ex100·2x∴[答案]

1100·2

数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地称为指数．12324分别是f(x)＝x2，f(x)＝4x，f(x)＝logx，f(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑12324 A．f B．f 324C．f(x)＝log D．f3244函数关系是f(x)＝2x，故选4下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( B．y＝1000x D．y1 1C三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表x1357956525则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为() C通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，y3x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随xC.a123a若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logx的大小关系是 解析：∵a>1，n>0，∴函数y＝ax，y＝xn，y＝logx都是增函数．a123aa由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时a函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是 解析：当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2xlnx增长的要快．款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内 丙公司的代表说：“在10天内，公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天151252353454555656757858959105

1、g(x)＝1xh(x)＝x)＝log

(0 D．f(x)衰度越来越快，g(x)衰度越来越快，h(x)衰度越来越C

1、g(x)＝1xh(x)＝x)＝log

函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递度逐渐变慢；在间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递在区间(1C.12322．y＝2x，y＝x2，y＝logx，当2<x<4时，有 1232 解析：选B在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，y＝x2，y＝2x，y＝logxy>y>y. t12345s C通过所给数据可知stA，DBC.若x∈(0,1)，则下列结论正确的是 xxA．2x> B．2x>lgx>xx C．1 1x>2>lg D．lgx>x x及x解析：选A结合y＝2x，y＝ y＝lgx的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>1>lgx及x 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过年，则函数y＝f(x)的图象大致为 Daax＝a(1＋0.104)ylog1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表x12345678…248……0123…其中，关于x呈指数函数变化的函数 y1y1y1.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系 解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐3h11.5h1.5h 4.5，故③正确；④错误．x函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x

2应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点1解：由指数、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C对应的函数是1121<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．12311.21.33f1f2f31∴y1∴f(4)＝1.3(万件g1依题意，g2g32∴y2∴g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件经比较，g(4)＝1.35万件比f(4)＝1.3万件更接近4月份的产量1.37万件2∴选y＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函2正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数kx一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数(5)指数函数模型：f(x)＝axx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．写出月总成本y(万x(吨)的函数关系．[解](1)y＝a(x－15)2＋17.5，x＝10，y＝2020＝25a＋17.5.1a＝＝(1＝(所以 Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－1 ＝－(x－23)y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与k(k>0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并该函数的定义域 解：(1)myxy＝kx·m k

(2)由(1)

＝－x＋kx＝＋，0<x<mx＝ymax＝. 2]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大vx(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流6020≤x≤200vx的一次(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位[解](1)0≤x≤20v(x)＝60；20≤x≤200

3＝3＝3故函数v(x)的表达3200－xx200－x≤≤20＜x≤200

x(－100)x(－100)

10

10x3

10所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值 综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取

103≈3中的含药量y与时间t之间近似满足的曲线．(1)写出服yt之间的函数关系(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗疾病有效，假若某一天中第7∶00，4 33

＝4，解得t1＝4，因而第二 t2 20 t2＋

＝4，解得t2＝9小时，故第三次服药应在 设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血 20 t3－4)＋

＝4，解得t3＝13.5小时3

3 写出yx的函数解析[解](1)x＝1x＝2时x＝3时y关于x的函数解析式为当x＝10时x年后该县的人口总120即100×(1＋1.2%)x＝120，解得

y＝N(1＋p)xN为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．，20世纪70年代，特制订了一种表明能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级能量越大，测震仪记录的曲线的振幅就越大，这就是常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lgA－lgA0.其中A是被测的最大振幅，A0是“标准”，(1)假设在一次中，一个距离震中1000千米的测震仪记录的最大振幅是20，此时标准的振幅是0.002，计算这次的震级；(2)5级给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级的最大振幅是5级地A解

即这次的震级为4级

lg

＝1 即我国发生在汶川的8级的最大振幅是5级的最大振幅的1000倍[典例](12分)甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规律(总产量)，乙表明：甲鱼池个数由第一年30个减到第六年10个．理顺数理顺数量关系，引入变量x，y1，y2→y件之间有如下关系：销售单价x(元日销售量y(件0在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与并销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．解：实数对(x，y)对应的点，由图可知y是x的一次函数设f(x)＝kx＋b，则

∴f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立x＝－2×－3某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( A．200 B．400C．600 D．800D由5x＋4000≤10xx≥800800在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地则汽车离开A地的距离x关于时间 150－50t－3.513则现在价格为8100元的计算机15年后的价格应降 元 解析：y＝a·1－x＝15y＝8100×1－＝8

答案：2

4折线是某电信局规定打长途所需要付的费y(元)与通话时间t(分 元 元如果t≥3，则费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为 解析：(1)由图象可知，当t≤3时，费都是3.6元．由图象可知，当t＝5时，y＝6，即需付费6元当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设y＝kt＋b，则

y关于t的函数关系答案：(1)3.6(2)610xy元，由题意得：＝－10x2＋1400x－40

1

＝70(元)时，ymax＝90002× 一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产 Dx,1aa(1＋x)11＝ma11＝mx＝某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()y＝0.2x(0≤x≤4y＝0.5x(0≤x≤4y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4y＝0.1x＋1200(0≤x≤4解析：选C由题意得y＝0.3(4000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1200. C由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)2008～2009(2)正确；“生活价格指数”在2009～2010(3)不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”

1t2，车与人的间距

1

2(1t－6)2＋7t＝6d7(＝t ＝t某城市出租汽车的标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价；行程超过2千米，超过部分按3元/千米(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么 Bx千米(x∈Z6＋(x－2)×3＋2×3＝24x＝6.故实际行在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v米/秒和的质量M千克火箭(M外)的质量m千克的函数关系式是v＝2000·ln(1＋m)． 质量是火箭质量 Mv＝12000，2m

)＝12 ∴ln(1＋)＝6，∴＝e 答案2，106给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断序号是 1该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨如果年产量超过150吨2 12

2

21≤n≤7，7某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月为3000元时，可全部租出，当每未租出的车每月需要费40元．(1)当每辆车的月定为3900元时，能租出多少辆车解：(1)增加了900元，900÷60＝15，y元，y＝(3000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，x∈[0,100]，x∈N，y＝－60x2＋3120x＋284＝－60(x－26)2＋324560，x＝26y＝324560，324560此时，月为3000＋60×26＝4560(元某市居民自来水标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两5x,3x吨．y关于x的函26.40解：(1)当甲用户量不超过4吨，即5x≤4时，乙用户量也不超过4吨y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x；同理可 x 4x3

0≤x4 5≤ 3 24x－9.6，x> (2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增 x∈0，时，y≤f 4

x∈

5 x∈，＋∞ ∴甲用户用水量为5x＝7.5(y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)．乙用户用水量为3x＝4.5(吨y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元). A由二分法的定义与原理知Ax…6……那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的( 构造内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是()1

Cx＝1时，否定B；x＝2Dx＝3AC. A．100 B．125C．150 D．225Ct＝2＝150km.比2011年只上涨10%，则2013年应比2012年降价( B设20132012x%，则(1＋25%)(1－x%)＝1＋10 的是 C由函数零点的判断方法可知，f(2)，f(4f(0)符号相反，f(1)符号相反，故f(1)与f(0)符号相同，故选 已知函数 的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中 表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是( A．144 B．90C．60 D．40 A．608 B．574.1C．582.6 D．456.8C由题意得购物付款432432×9＝4802

(x>0)的零点所在的大致区间是 x Bf(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln2又y＝ln(x＋1)是增函数x∴f(x)在(0，＋∞)上是增函

∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点已知函数f(x)＝1x－logx，若实数x是函数f(x)的零点，且0<x<x，则f(x的值为

A．恒为正 B．等于恒为负 D．不大于A∵函数f(x)在(0，＋f(x0)＝0x∈(0，x0)时，f(x)>00<x1<x0，如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是 解析：函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，f(x)＝x2－3x，3.x长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减2

时，面积达到最大，此时x 1答案

则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个 解析：设每个涨价x元，则实际销售价为10＋x元，销售的个数为100－10x，0x∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝ 0解析即f(2)·f(3)<0，易知f(x)在(0，＋∞)上单x0∈(2,3)，

1＋2解：令y 1x2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它 2的图象()，其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x轴的交点分别为(－2,0)，(2,0)，y1y23f(x3 分别是连续不断的曲线，且f(－3)＝6

2 2＝>0，f(1)＝－<0，f(2)＝ Q ，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(2)80解：(1)由题知，当燕子时，它的速度v＝0，Q ，解得(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得v＝5log210＝517．(12分)A、B两城相距100km，在两地之间距AxkmD地建一核电站给A、B10km.已知供电费用与供电距离x的范围把月供电总费用y表示成x的函数解：(1)x的取值范围为[10,90]；＋ ＋

2＋(3)由 ＋

)x 15x2－500x＋25) 100 50＝2(x－3)＋ x＝3kmyA3km示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下t(天5Q(件Qt的函数关系式；求该商品的日销售金额的最大值，并日销售金额最大的一天是30天中的第几解：(1)根据图象，每件的P与时间t的函数关系式为P描出实数对(t，Q)的对应点(如图假设这条直线为l：Q＝kt＋b.由点(5,35)，(30,10)确定出直线l的解析式为通过检验可知：点(15,25)，(20,20)也在直线l上所以日销Qt的函数关系设日销售金额为y(元)，－t－10 t－700<t<25，t∈N*，则当t＝10

25≤t≤30，t∈N*t＝25y＝11125>900ymax＝1——理清知识脉略主干知识一网尽览——锁定备考范围高考题型全盘突破，注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类时要不重不，[例1](1)(2012·高考)已知集合∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 (2)已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为 或 (3)已知集合A＝{x|x<－1，或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，B⊆A，则实数a的取 [解析]∴C可以是1(2)M∩N＝N⇔N⊆M.当a＝0时，N＝∅，符合要求，当a≠0时，只要a

B⊆A知，a＋1<－1，或1a<－2a21a<1，∴a<－22 a的取值范围是(－∞，－2)∪ [答案](1)D(2)D(3)(－∞，－2)∪ 已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，且实数a的取值范围是∞)，则 解析2](1)(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝( 义域，则A∩B＝( [解析](1)∁UA＝{2,4,6,7,9}，∁UB＝{0,1,3,7,9(2)DA＝{x|－3≤2x－1≤3}＝[－1,2]，B＝(1[答案](1)B2．(1)f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝3x－2R|g(x)<2}，则M∩N为 (2)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁UN)＝{2,4}，则N等于( 解析：(1)D因为f[g(x)]＝[g(x)]2－4g(x)＋3g(x3－4g(x)＋3>0，得g(x)<1g(x)>3，即3x－2<13x－2>3，解得x<1x>log5，所以3＝{x|x<1x>log5}．又由g(x)<23x－2<2,3x<4，解得x<log4N＝{x|x<log M∩N＝(－∞，1)，选D项(2)B因为M∩∁UN＝{2,4}，2,4∈∁UN2，4NA、C、D，答案：(1)Da为集合M的“独立元素”．则集合A＝{1,3,4,6,7}的“独立元素” 个(2)设＋是R上的一个运算，AR的非空子集，若对任意a，b∈Aa＋b∈A，则称A()A．自然数 B．整数C．有理数 D．无理数[解析](1)A＝{1,3,4,6,7}1{1,2,3,4,5}，{1,2,3,5,6}，{1,2,4,5,6}，{2,3,4,5,6(2)A1－2＝－1是自然数，即自然数集不满足条件；B1÷2＝0.5整数，即整数集不满足条件；CD2×2＝2[答案](1)120P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( A．9 B．8C．7 D．6B根据题意，P，QP＋QP＋Q中所取到a＋b＝1,2,6a＝2，b＝1,2,6a＋b＝3,4,8；a＝5，b＝1,2,6a＋b＝6,7,11.P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,118B.4](1

＋lg(2x＋1)的定义域是 －

－ 1

－， D.－∞，－ 2 2函数f(x)＝log(3x＋1)的值域为( 2 已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函y＝g(x)的解析式

[解析](1

＋lg(2x＋1)有意

x 因为3x＋1>1，函数y＝logx在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>log1＝0，故 设点M(x，y)在所求函数的图M′(x′，y′)是M关于直线x＝2的对称点g(x)＝9－2x.[答案](1)C(2)A y＝f(x)的值域是，3

的值域是

f A.

B.2， 5

3 C.， D.3， 3

31

Bt＝f(x

2

t

5](1)(2012·

则f(g(π))的值为)(2)

若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 [解析](1)∵π(2)因为1>0，所以f(1)＝2×1＝2，由f(a)＋f(1)＝0⇒f(a)＝－2.当a>02a＝－2，显然a不存在，这与a>0条件发生；当a≤0时，有[答案](1)B已知函数 那么不等式f(x)≥1的解解析：由题意得，当x>0f(x)≥1log3x≥1，即x≤0f(x)≥11x≥1，即答案：{x|x≤0x≥3}1.[例6](1)下列函数中，在区间(－∞，0)上单调递增，且在区间(0，＋∞)上单调递 A．y＝ y＝f(xKfx，fx

－ K，fx

取函数

.当K＝2时，函数fK(x

则满足不等式f(1－x)>f(2x)的x的取值范 [解析](1

1

12，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝2－

2 >0，即f(x1)>f(x2)，所以函数

1x

1x

易知函数y＝x2在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递12121212对于函数y＝x3y＝f(x)＝x3，任取x，x∈Rx<xf(x)－f(x1212121212112212(x－x)(x2＋xx＋x2)<0，即f(x)<f(x)，故函数y＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增12112212＝，f( ＝，f(当 f(x)＝2－|x|时

≤，2 ≤，22>.2>.2 1

2222

∴fK(x)的单调递增区间

的图象 由f(1－x)>f(2x)可得

或

0≤xx的取值范围为 [答案](1)A(2)C(3) 不等式x2＋2x－a>0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，则a的取值范围 则f(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函数∴当x＝1f(x)取最小值∵x2＋2x－a>0对任意x∈[1，＋∞)恒成∴3－a>0，即函数的奇偶性是函数的整体性质，是研究函数在其定义域上的互为相反数x和－x(D．f(x)＋|g(x)|是偶函1234

x－a为奇函数，则a＝( 已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝( B. C. [解析]f(－)＝f(x(－x)－gx＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|，所以f(x)＋|g(x)|是偶函数A，BC1≠－，2 a＝a＝f(x 因为函数f(x)为奇函数函数g(x)为偶2)＋g(－2)＝a－2－a2＋2＝－f(2)＋g(2)，②由①②两个式子可得g(2)＝2，所以a＝2.将＝2代入f(2)＝4[答案](1)D(2)A 解析：当x<0时x<0f(x)＝2x＋1.f(x)(x∈R)是奇函数8](1)y＝ax2＋bx

x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系图象可能是

＝log|a(2)若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是( [解析]|

a<1，不能得到

|∴BCa<0，xa

要使|x|≥axx∈Ra≥0a≤1.a<0a≥－1.[答案](1)D(2)B1 xA．y轴对 B．直线y＝－x对 D．直线y＝x对ax＋bx≤0(2)函数f(x)＝log

A. B.9 1x

－x是奇函数，所以图象关于原点对称(2)由图象x≤0f(x)＝2x＋2f(x)＝logx＋1(x>0)的图象过 1

(0,2)c＝a＋b＋c＝2＋2＋＝ 3答案：(1)Ca aN＝1N＝

a，ab＝N，logN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的三b[例9](1)已知a＝21.2，b＝1－0.8，c＝2log2，则a，b，c的大小关系为 2

(2)若x>0，则x＋32x－3－4x－x－x [解析](1c＝2log2＝log4<1,1<b＝1－0.8＝20.8<2，a＝21.2>2

(2)原式 4－3

[答案](1)A 1

的值 n1 ∴＋ mnlog236log3362log26 ＝(log62＋log63)＝log66＝ 12[例10](1)函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是 如果logx<logy<0，那么 设函数

若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范

－x， 是 x≥1[解析] 0<x<1 x≥1，f(x)＝1 0<x<11

21，

a>0，则由f(a)>f(－a12

a＝－log2a，即a<0，f(a)>f(－a)1log2即综上可知，－1<a<0a>1.答案：(1)C(2)D 则a的取值范围为 则y＝|f(x)|的图象如右图由图示x∈1，2时恒有

只需

1

a即log a3≤≤当a>1时，得 1a，即≤≤3≥≥≤.当0<a<1时得 1a，得0＜a≥≥≤. 综上所述，a的取值范围是0， 函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0⇔函数y＝f(x)的图象与x1[例11] x2 函数f(x)在区间(0,1)内有零函数f(x)在区间(1,2)内有零函数f(x)在区间(0,2)内有零函数f(x)在区间(0,4)内有零1 [解析](1)函数 的零点个数，就是函数

22x22

x

1 x2∴f(1)，f(2)，f(4)中恰有一个小于零或3个都小于零∴f(x)在区间(0,4)内一定有零点[答案](1)B11．(1)设x，x

1x＋2＝x，logx＋2)＝－x，2x＋x＝2 2则x1，x2，x3的大小关系 (2)m的取值范围 1

若函数g(x)＝f(x)－m3个零点，则实1 y＝log2(x＋2y＝x的图象，如图(2)所示．由图形可知，作出y＝2x与y＝－x＋2的图象，如图(3

的图象 答