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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图在一个的二面角的棱有两个点,线段分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于棱,且,则的长为()A.4 B. C.2 D.2.已知抛物线:,直线与分别相交于点,与的准线相交于点,若,则()A.3 B. C. D.3.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中,甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则()A.170 B.10 C.172 D.124.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A. B.C. D.5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A. B.4C. D.56.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查,利用列联表,由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星无关”D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星有关”7.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为()A. B. C. D.8.两圆和相外切,且,则的最大值为()A. B.9 C. D.19.函数在上单调递增,则实数的取值范围是()A. B. C. D.10.一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行,则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为()A. B. C. D.11.已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有一点,则().A. B. C. D.12.已知集合(),若集合,且对任意的,存在使得,其中,,则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知复数,其中为虚数单位,则的模为_______________.14.已知函数,若的最小值为,则实数的取值范围是_________15.若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________.16.三棱柱中,,侧棱底面,且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上,则球的表面积的最小值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)若对于任意实数,恒成立,求实数的范围;(2)当时,是否存在实数,使曲线:在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.18.(12分)已知函数,.(1)若不等式的解集为,求的值.(2)若当时,,求的取值范围.19.(12分)为了解网络外卖的发展情况,某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市,分别调查了甲乙两家网络外卖平台(以下简称外卖甲、外卖乙)在今年3月的订单情况,得到外卖甲该月订单的频率分布直方图,外卖乙该月订单的频数分布表,如下图表所示.订单:(单位:万件)频数1223订单:(单位:万件)频数402020102(1)现规定,月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲外卖乙总计(2)由频率分布直方图可以认为,外卖甲今年3月在全国各城市的订单数(单位:万件)近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表),的值已求出,约为3.64,现把频率视为概率,解决下列问题:①从全国各城市中随机抽取6个城市,记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数,求的数学期望;②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖,抢红包”的营销活动来提升业绩,据统计,开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平,现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动,若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元,但每件外卖平均需送出红包2元,则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元?附:①参考公式:,其中.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,则,.20.(12分)已知函数.(1)若函数在上单调递增,求实数的值;(2)定义:若直线与曲线都相切,我们称直线为曲线、的公切线,证明:曲线与总存在公切线.21.(12分)每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”,以交通业为例,当天气太冷时,不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位:℃)与网上预约出租车订单数(单位:份);日平均气温(℃)642网上预约订单数100135150185210(1)经数据分析,一天内平均气温与该出租车公司网约订单数(份)成线性相关关系,试建立关于的回归方程,并预测日平均气温为时,该出租车公司的网约订单数;(2)天气预报未来5天有3天日平均气温不高于,若把这5天的预测数据当成真实的数据,根据表格数据,则从这5天中任意选取2天,求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:22.(10分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围;(2)设实数为的最小值,若实数,,满足,求的最小值.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】
由,两边平方后展开整理,即可求得,则的长可求.【题目详解】解:,,,,,,.,,故选:.【答案点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2、C【答案解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线,斜率的定义表示即可求得答案.【题目详解】显然直线过抛物线的焦点如图,过A,M作准线的垂直,垂足分别为C,D,过M作AC的垂线,垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点,所以MD为三角形NAC的中位线,故MD=CE=EA=AC设MF=t,则MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故选:C【答案点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率,常见于利用抛物线的定义构建关系,属于中档题.3、D【答案解析】
中位数指一串数据按从小(大)到大(小)排列后,处在最中间的那个数,平均数指一串数据的算术平均数.【题目详解】由茎叶图知,甲的中位数为,故;乙的平均数为,解得,所以.故选:D.【答案点睛】本题考查茎叶图的应用,涉及到中位数、平均数的知识,是一道容易题.4、D【答案解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若()或(),数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.5、B【答案解析】
还原几何体的直观图,可将此三棱锥放入长方体中,利用体积分割求解即可.【题目详解】如图,三棱锥的直观图为,体积.故选:B.【答案点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.6、B【答案解析】
通过与表中的数据6.635的比较,可以得出正确的选项.【题目详解】解:,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”,故选B.【答案点睛】本题考查了独立性检验的应用问题,属于基础题.7、A【答案解析】
由抛物线的焦点得双曲线的焦点,求出,由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为,由焦半径公式,联立求解.【题目详解】解:由抛物线,可得,则,故其准线方程为,抛物线的准线过双曲线的左焦点,.抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,,又,,则双曲线的离心率为.故选:.【答案点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.8、A【答案解析】
由两圆相外切,得出,结合二次函数的性质,即可得出答案.【题目详解】因为两圆和相外切所以,即当时,取最大值故选:A【答案点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数,属于中档题.9、B【答案解析】
对分类讨论,当,函数在单调递减,当,根据对勾函数的性质,求出单调递增区间,即可求解.【题目详解】当时,函数在上单调递减,所以,的递增区间是,所以,即.故选:B.【答案点睛】本题考查函数单调性,熟练掌握简单初等函数性质是解题关键,属于基础题.10、A【答案解析】
求出满足条件的正的面积,再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积,然后代入几何概型的概率公式即可得到答案.【题目详解】满足条件的正如下图所示:其中正的面积为,满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示,阴影部分区域的面积为.则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.故选:A.【答案点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.11、B【答案解析】
根据角终边上的点坐标,求得,代入二倍角公式即可求得的值.【题目详解】因为终边上有一点,所以,故选:B【答案点睛】此题考查二倍角公式,熟练记忆公式即可解决,属于简单题目.12、C【答案解析】
根据题目中的基底定义求解.【题目详解】因为,,,,,,所以能作为集合的基底,故选:C【答案点睛】本题主要考查集合的新定义,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】
利用复数模的计算公式求解即可.【题目详解】解:由,得,所以.故答案为:.【答案点睛】本题考查复数模的求法,属于基础题.14、【答案解析】
,可得在时,最小值为,时,要使得最小值为,则对称轴在1的右边,且,求解出即满足最小值为.【题目详解】当,,当且仅当时,等号成立.当时,为二次函数,要想在处取最小,则对称轴要满足并且,即,解得.【答案点睛】本题考查分段函数的最值问题,对每段函数先进行分类讨论,找到每段的最小值,然后再对两段函数的最小值进行比较,得到结果,题目较综合,属于中档题.15、4【答案解析】
由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【题目详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为:4【答案点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的16、【答案解析】
分析题意可知,三棱柱为正三棱柱,所以三棱柱的中心即为外接球的球心,设棱柱的底面边长为,高为,则三棱柱的侧面积为,球的半径表示为,再由重要不等式即可得球表面积的最小值【题目详解】如下图,∵三棱柱为正三棱柱∴设,∴三棱柱的侧面积为∴又外接球半径∴外接球表面积.故答案为:【答案点睛】考查学生对几何体的正确认识,能通过题意了解到题目传达的意思,培养学生空间想象力,能够利用题目条件,画出图形,寻找外接球的球心以及半径,属于中档题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)不存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直.【答案解析】
(1)分类时,恒成立,时,分离参数为,引入新函数,利用导数求得函数最值即可;(2),导出导函数,问题转化为在上有解.再用导数研究的性质可得.【题目详解】解:(1)因为当时,恒成立,所以,若,为任意实数,恒成立.若,恒成立,即当时,,设,,当时,,则在上单调递增,当时,,则在上单调递减,所以当时,取得最大值.,所以,要使时,恒成立,的取值范围为.(2)由题意,曲线为:.令,所以,设,则,当时,,故在上为增函数,因此在区间上的最小值,所以,当时,,,所以,曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.而,即方程无实数解.故不存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直.【答案点睛】本题考查不等式恒成立,考查用导数的几何意义,由导数几何把问题进行转化是解题关键.本题属于困难题.18、(1);(2)【答案解析】试题分析:(1)求得的解集,根据集合相等,列出方程组,即可求解的值;(2)①当时,恒成立,②当时,转化为,设,求得函数的最小值,即可求解的取值范围.试题解析:(1)由,得,因为不等式的解集为,所以,故不等式可化为,解得,所以,解得.(2)①当时,恒成立,所以.②当时,可化为,设,则,所以当时,,所以.综上,的取值范围是.19、(1)见解析,有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.(2)①4.911②100万元.【答案解析】
(1)根据频率分布直方图与频率分布表,易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量,即可完善列联表.通过计算的观测值,即可结合临界值作出判断.(2)①先根据所给数据求得样本平均值,根据所给今年3月订单数区间,并由及求得,.结合正态分布曲线性质可求得,再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组,根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润,比较即可得解.【题目详解】(1)对于外卖甲:月订单不低于13万件的城市数量为,对于外卖乙:月订单不低于13万件的城市数量为.由以上数据完善列联表如下图,业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲4060100外卖乙5248100总计92108200且的观测值为,∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.(2)①样本平均数,故==,,的数学期望,②由分层抽样知,则100个城市中每月订单数在区间内的有(个),每月订单数在区间内的有(个),若不开展营销活动,则一个月的利润为(万元),若开展营销活动,则一个月的利润为(万元),这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元.【答案点睛】本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用,完善列联表并计算的观测值作出判断,分层抽样的简单应用,综合性强,属于中档题.20、(1);(2)见解析.【答案解析】
(1)求出导数,问题转化为在上恒成立,利用导数求出的最小值即可求解;(2)分别设切点横坐标为,利用导数的几何意义写出切线方程,问题转化为证明两直线重合,只需满足有解即可,利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.【题目详解】(1),函数在上单调递增等价于在上恒成立.令,
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