高考总复习走向清北课件21数学三角函数的性质

第二十一讲三角函数的性质回归课本1.正､余弦曲线的定义正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.2.周期函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的

每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数

.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所

有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做

f(x)的最小正周期.正弦函数､余弦函数都是周期函数,2kπ,k∈Z都是它们的周期,最小正周期是2π.3.正弦函数､余弦函数的图象和性质如下表4.y=tanx的性质(1)定义域是{x|x≠kπ+(2)值域是R,即正切函数既无最大值,也无最小值.(3)周期性:正切函数是周期函数,最小正周期是π.(4)奇偶性:正切函数是奇函数.2

,k∈Z}.k

,k

,

k∈Z内都,0(k∈Z).正切函数无

(5)单调性:正切函数在开区间

是增函数.(6)对称性:正切函数的图象关于原点对称,正切曲线是中心对称图形,其对称中心坐标是对称轴.

2

2

k

25.y=tanx(x≠kπ+

k∈Z)的图象2考点陪练)C.{x|2kπ-D.x∈R答案:D1.函数

y

cos(sinx)的定义域是(

A.{x|2kπ-

≤x≤2kπ+

,k∈Z}

2

2B.{x|2kπ≤x≤2kπ+

,k∈Z}

≤x≤2kπ,k∈

2Z}

2xf

(x)

2cos

的最小正周期为T,且T∈(1,3),则正2.若整数ω的最大值是()A.5B.6C.7D.8答案:B

3

A.[1,1]

2

B.

,1

2

11

2

2值域是(

)

2

2C.1,

D.1,

2

2

答案:C

4.

f

x

tan

(

函数

的单调递增区间为

k

,k

.

(k

Z)

C

.

k

Z

D

k

,k

)

x

4

A.k

,k

(kZ)

2

2

B.k,(k

1)(kZ)

3

4

4

3

4

4

4解析:令xt,则t单调递增,只有tant单调递增,才能使原函数单调递增,tk

,k

,

2

2

x

,

2

4

2

3

4

4

答案:Cy

sin2x,x∈R是(

)5.函数A.奇函数C.既是奇函数又是偶函数B.偶函数D.非奇非偶函数5

22

,

:

y

sin

cos

x

解析5

.

y

sin

为偶函数5

2x

sin

2x

2

2

2x

2

答案:B类型一三角函数的定义域解题准备:求函数定义域的题型,关键是求使式子有意义的x的

取值范围,将问题转化为解不等式,此题是解三角不等式,常

用的方法有:①利用单位圆中的三角函数线;②利用三角函

数的图象;③利用函数单调性,一定要与相应三角函数的周

期联系起来.

x

cos

lg(2sinx1)tanx1

2

8

【典例1】

1求函数y

的定义域;2求函数y

2log1x

tanx的定义域.

2

[分析]先写出使函数有意义的不等式或不等式组,再利用三角函数图象或单位圆求解集.2k

x

2k

利用单位圆得k

x

k

x

2k

4

,(kZ),[解]1要使函数有意义

1

则tanx1≥0

x

2

8

2

8

2,

5

6

6

3

,

2

4

3{x|2k

x

2k

函数的定义域为

23

4,kZ}.2要使函数有意义

2log1x≥0,

2

得

2函数定义域为{x

|0

x

或≤x≤4}.[反思感悟]①求三角函数的定义域,既要注意一般函数的定义

域的规律,又要注意三角函数本身的特有属性,如题中出现tanx,则一定有x≠kπ+

,k∈Z.②求三角函数的定义域通常使用三角函数线､三角函数图象或单位圆.2类型二三角函数的值域及最值问题解题准备:三角函数的值域及最值问题,实质上大多是含有三

角函数的复合函数的值域问题,常用的方法有:化为代数函

数的值域或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用

换元､配方等方法求解.sinx;【典例2】求下列函数的值域:(1)y=2cos2x+2cosx;(2)y=3cosx-(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.[分析]先将原函数式进行等价变形,利用|sinx|≤1,|cosx|≤1,但

要注意自变量的取值变化.311

2

.

[

]

1

y

2cos

x

2cosx

cosx

解min

,

.

cosx

y

时得

故函数值域为,4

(2)

3

3

2

3

y

cosx

sinx

3

1

2

3

.

cos

22

2

211

1

2

2

2

于是当且仅当cosx

1时得ymax

4,当且仅当2

2cosx

sinxx

6

1,

2

3,2

3].

[

cos

≤

该函数值域为

2sin

2

(

)

1

sinx

cosx

2

1,

sin

sin

2

x

sin

x

x1

2

2.

,y

1

sin

所以当

时

取最大值1

1

x

6

22

1(3)y

sinxcosxsinxcosxx2

4

4

4

2

4

2

x

4

2

2当sin

212

x

4

2时,y取最小值1,[反思感悟](1)将原函数式化为

y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B型或化为关于sinx(

或cosx)的二次函数式,利用换元法进行配方可解决问题.(2)关于y=acos2x+bcosx+c,a≠0(或y=asin2x+bsinx+c,a≠0)

型或可化为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭

区间上的值域问题,切忌忽视函数的定义域.(3)换元法,旨在三角问题代数化,要防止破坏等价性.类型三三角函数的单调性解题准备:与三角函数单调性有关的问题π(k∈Z)解出x的范围,所得区间即为减

≤ωx+φ≤2kπ+21.单调区间的求法函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看作一个整体,比如:由2kπ-

≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解出x的范围,所得区间即为增区间,由2kπ+区间.22

322.如何比较两个三角函数值的大小比较三角函数值的大小,往往是利用奇偶性或周期性转化为

同一单调区间上的两个同名函数值,再利用单调性比较.

3

1

;

y

sin

【典例

】

求函数

的单调递减区间

2

.

3

y

tan

求

的周期及单调区间x

2x

3

6

4由2k

≤2x≤2k

≤2x≤2k

kZ,k

≤x≤k

kZ.即k

≤x≤k

,k

2

3

25

6

6

512

122k

kZ,](kZ).[解]1解法一:欲求函数的单调递减区间,只需求y

sinu的单调递增区间.kZ,得

5

12

12

5

12

12原函数的单调递减区间为[k

,k

512

12

2x

3

2x

3

5

2

3

2

12

12kZ.](kZ).原函数的单调递减区间为[k

4,y

3tan

的周期为4.

x|

|

6

4

k

4k

x

4k

y

3tan

4k

x

kZ内单调递减.

x

4

8

2

4

6

2

3

34

3

3tan

6

4

4

6

,4k

T

kZ,

6

4

由k

在

4k

,4k

4

6

3

3

在8

3

[反思感悟](1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不

等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx+φ(ω>0)”

视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与

y=sinx(x∈R)､y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向

相同(反).单调区

T

(2)对于y=Atan(ωx+φ)(A､ω､φ为常数),其周期|

|

间利用ωx+φ∈(k∈Z),解出x的取值范围,

,k

k

即为其单调区间,对于复合函数y=f(v),v=φ(x),其单调性的判定方法是:若y=f(v)和v=φ(x)同为增

(减)函数时,y=f(φ(x))为增函数;若y=f(v)和v=φ(x)一增一减

时,y=f(φ(x))为减函数.,

2

2

类型四三角函数的奇偶性解题准备:1.当φ=kπ时

,y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)分别为奇函数和

偶函数(k∈Z).2.当φ=kπ+

时,y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)分

2

别为偶函数和奇函数(k∈Z).3.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件,

因此在判断函数奇偶性时,应首先判断函数定义域的对称

性.4.当函数定义域关于原点对称时,只需分析f(-x)与f(x)的关系即可.1sin

x【典例4】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=|sinx|+cosx(2)y=lg(sinx+[分析]先确定定义域,再用函数奇偶性的定义.2)sinx

1sin

x

[解](1)f(x)的定义域为R,f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),故此函数是偶函数

.

2

221lg

2故此函数是奇函数.[反思感悟]判断函数奇偶性时应注意“定义域关于原点对称

是函数为奇函数或偶函数的必要条件”的应用.确定定义

域是研究函数问题的前提,因此解函数问题的步骤是:①先

研究函数的定义域.②再用相关定义加以判断.类型五三角函数的周期解题准备:三角函数周期的求法有三种:(1)定义法:即直接利用周期函数的定义求周期;2|

|

2|

|

(2)公式法:三角函数y=sinx,y=cosx和y=tanx的周期分别为(3)转化法:对于较为复杂的三角函数,可通过恒等变形转化为

y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k,y=Atan(ωx+φ)+k

的类型,再利用公式法求得.2π､2π和π.函数y=Asin(ωx+φ)的周期

T

,

函数y=Acos(ωx+φ)的周期为

T

,

函数|

|y=Atan(ωx+φ)的周期为

T

(A,ω,φ为常数,A≠0);2y

2cosxsin

3sin

xsinxcosx;

x2

3

4x

3

【典例5】求下列函数的最小正周期.

2y

2cosx

3sin

xsinxcosx1

3

sinxcosx

[解]1

y

[

a2

1sinx

]2

a2

1sin2x

1cos(2x2)

2此函数的最小正周期为

222

222

2

2

2

2

2

2x

3

.该函数的最小正周期是T

3注意到y

sin

的最小正周期T

2

y

2

sin

的图象,知其最小正周期为

1

.4x

3

4

24x

3

2

2

4,结合[反思感悟]求三角函数最小正周期的基本方法有两种:一是

将所给函数化为y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的形

式;二是利用图象的基本特征求.

[错解]配方得y

3

8

,sinx错源一没注意三角函数的有界性出错的最大值.54【典例1】求函数y=-3sin2x+9sinx+

2

3

2故函数的最大值是ymax=8.[剖析]上述解法的错误在于把题中函数与通常的二次函数等

同起来了,它们虽有相似之处但也有严格的区分.忽视了-

1≤sinx≤1的隐含条件.

3

81

2

2递增.故原函数当sinx=1时取最大值,即ymax=.

2

329

2

4[评析]正､余弦的值域是固定在某一个确定的范围内,在解三

角题时,一定要深入挖掘条件中由正､余弦函数有界性产生

的隐含因素,否则就会扩大解集,造成解题的失误.y

cos

的单调递增区间.

错源二确定单调性时不注意复合规律而致错【典例2】求函数2x

4

≤x≤k

5

8

8

5

8

8

[错解]令u

4

4

(kZ),由于k表示的是

8

8周期的整数倍,所以可写为k

(kZ),即所[剖析]上述解法忽视了复合函数单调性的复合规律.因为构成此所求函数的单调递增区间为外层函数y=cosu的减区间.4原函数的内层函数

u

2x

在(x∈R)上为减函数,因2x≤(2k

1),kZ,故k

≤x≤k

,

4

3

4

8

83

8

8k

,k

8

8[正解]令u

2x,因为内层函数是关于x的减函数,那么所求复合函数y

cosu的单调增区间即要取外层函数的单调减区间去求解,即u[2k,2k

1](kZ),有2k≤kZ,由于k表示的是周期的整数倍,所以可写为k

≤x≤k

,kZ,即该函数的单调递增区间为错源三确定函数的周期时不注意体现最小而致错【典例3】求y=|sinx|+|cosx|的周期.[错解]设f(x)=|sinx|+|cosx|,因为f(x+π)=|sin(x+π)|+|cos(x+π)|=|sinx|+|cosx|=f(x),所以f(x)最小正周期为π.[剖析]三角函数周期是指最小正周期,而上述解法没有体现出所求周期为最小正周期.2

.[正解]因为y=|sinx|+|cosx|>0,所以函数y的周期与函数以函数y=|sinx|+|cosx|的周期为y2=1+|sin2x|的周期相同,而y2=1+|sin2x|的周期为

,

所22

2

|

|

|

|

|

|

[评析]求三角函数的最小正周期主要有三种方法:一是根据定

义,但要注意体现最小;二是利用三角函数的图象;三是公式

法,即函数y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B,y=Atan(ωx+φ)+B(ω≠0)的最小正周期分别为

,

,

.错源四利用正切函数图象求解方程根作图有误而致错4

x

sinx

tan

,

x

(

)

【典例

】若

则方程

的实根个数为

3

,

C.

x

象在

上有

个交点

故选

,

2

2

A.1

B.2

C.3

D.4

,

2

2

[错解]如图所示,正弦函数y

sinx与正切函数y

tanx的图[

]

x

,tanx

sinx,

y

sinx

y

tanx

正解

当

时

因此

与

在,

x

0

,sinx

tanx,

,y

sinx

上无交点

当

时

由对称性知

与y

tanx