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文档简介
1.1.2集合间的基本关系提出问题1.集合有哪两种表示方法?
2.元素与集合有哪几种关系?
3.集合与集合之间又存在哪些关系?知识探究(一):子集的概念考察下列各组集合:(1)A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5};(2)A=与B=(3)A={x|x是正三角形}与B={x|x是等腰三角形}.思考1:上述各组集合中,集合A中的元素与集合B有什么关系?提示:A中的元素都属于B
思考2:上述各组集合中A与B有包含关系,我们把集合A叫做集合B的子集.一般地,如何定义集合A是集合B的子集?提示:对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A为集合B的子集.思考3:如果集合A是集合B的子集,我们怎样用符号表示?
(或),读作:“A含于B”(或“B包含A”)提示:思考4:我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为venn图,那么,集合A是集合B的子集用图形如何表示?AB思考5:如果,且,则集合A与集合C的关系如何?思考6:
怎样表述,,两两之间的关系?
提示:提示:提示:知识探究(二):集合相等考察下列各组集合:(1)与(2)与;(3)与
.
思考1:上述各组集合中,集合A与集合B之间的关系如何?思考2:上述各组集合中,集合A是集合B的子集吗?集合B是集合A的子集吗?思考3:对于实数,如果且,则与的大小关系如何?思考4:从子集的关系分析,在什么条件下集合A与集合B相等?提示:知识探究(三):真子集考察下列两组集合:(1)集合A={1,2,3,4}与(2)集合A={0,1,2,3,4}与思考1:上述两组集合中,集合A与集合B之间的关系如何?思考2:上述两组集合中,集合A都是集合B的子集,这两个子集关系有什么不同?思考3:为了区分这两种不同的子集关系,我们把(1)中的集合A叫做集合B的真子集,那么如何定义集合A是集合B的真子集?提示:如果,但存在元素且,则称集合A是集合B的真子集.思考4:如果集合A是集合B的真子集,我们怎样用符号表示?思考5:若集合A是集合B的子集,则集合A一定是集合B的真子集吗?若集合A是集合B的真子集,则集合A一定是集合B的子集吗?知识探究(四):空集及子集性质考察下列集合:(1){x|x是边长相等的直角三角形};(2);(3).思考1:上述三个集合有何共同特点?集合中没有元素
思考2:上述三个集合我们称之为空集,那么什么叫做空集?空集用什么符号表示?不含任何元素的集合叫做空集,记为提示:
提示:
(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.(2)对于集合A,B,C:①若A⊆B,B⊆C,则
;②若AB,B
C,则
.思考3:子集有哪些性质?A⊆CA
C理论迁移考点一:集合间关系的判断[例1]下列各式正确的是________.(1){a}⊆{a};(2){1,2,3}={3,1,2};(3)∅
{0};(4)0⊆{0};(5){1}{x|x≤5};(6){1,3}{3,4}.[精解详析]题号正误原因(1)√任何一个集合都是它本身的子集(2)√两集合中的元素是一样的,符合集合相等的定义(3)√空集是任何非空集合的真子集(4)×元素0是集合{0}中的一个元素,故应为0∈{0}题号正误原因(5)√∵1<5,∴1∈{x|x≤5}.∴{1}⊆{x|x≤5}.又∵{1}≠{x|x≤5},∴{1}{x|x≤5}(6)×∵1∈{1,3},但1∉{3,4},∴{1,3}不是{3,4}的子集,更不是真子集[答案]
(1)(2)(3)(5)[一点通]
两集合间关系的判断:(1)用定义判断首先,判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A⊆B,否则A不是B的子集;其次,判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则B⊆A,否则B不是A的子集;若既有A⊆B,又有B⊆A,则A=B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.1.已知集合A={x|-2≤x≤2},B={x|0<x<1},则有(
)A.A>B
B.A
BC.B
A D.A⊆B解析:借助数轴,可得B
A.答案:C2.已知集合M={x∈Z|-1≤x<3},N={x|x=|y|,y∈M},试判断集合M,N的关系.解:∵x∈Z,且-1≤x<3,∴x取值为-1,0,1,2.∴M={-1,0,1,2}.又∵y∈M,∴|y|值分别是0,1,2.∴N={0,1,2}.∴N
M.3.已知集合M={x|x2-2x-3=0},P={x|x+1≥0},试判断M与P的关系.解:M={x|x2-2x-3=0}={-1,3},P={x|x+1≥0}={x|x≥-1}.∵-1∈P,3∈P,{-1,3}≠{x|x≥-1},∴M
P.[例2]
已知集合A={1,1+b,1+2b},B={1,c,c2},若A=B,求c的值.考点二:集合相等[一点通]
1.若两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但要注意检验,排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形.2.若两个集合中元素均为无限多个,要看两集合的代表元素是否一致.且看代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两集合相等.3.证明两集合相等的常用思路是证A⊆B且B⊆A.4.设集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0}.若A=B,求a的值.5.已知集合A={x|x=3n-2,n∈Z},B={y|y=3k+1,k∈Z},证明A=B.证明:(1)设任意x0∈A,则x0=3n0-2,且n0∈Z,3n0-2=3(n0-1)+1.因为n0∈Z,所以n0-1∈Z.所以x0∈B.故A⊆B.(2)设任意y0∈B,则有y0=3k0+1,且k0∈Z,3k0+1=3(k0+1)-2.因为k0∈Z,所以k0+1∈Z.所以y0∈A.故B⊆A.综上可得A=B.考点三:利用集合间的关系求参数[例3](12分)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A.求实数m的取值范围.[一点通]1.分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合.2.此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误.一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.3.此类问题还要注意“空集”的情况,因为空集是任何集合的子集.解析:如图所示,A
B,所以a≤1.6.若集合A={x|1<x<2},B={x|x>a},满足A
B,则实数a的取值范围是 (
)A.{a|a≥2} B.{a|a≤1}C.{a|a≥1} D.{a|a≤2}答案:B7.设A={x|x2-8x+15=0},B={x|x-a=0},若B⊆A,则实数a的值为________.解析:A={3,5},B={a}.∵B⊆A,∴a=3或a=5.答案:3或5方法规律小结1.子集和真子集(1)A⊆B包含两种情况:A=B和AB.当A是
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