2015考研数学线性代数零基础入门讲义

考研数学线性代数零基础入门讲主讲：朱长龙TOC\o"1-1"\h\z\u第一讲行列 第二讲矩 第三讲线性方程 第一讲行列式定 由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的数 am a11A

a1n a2n

amnmnA的元素,aijA的第ijmnA

AAmnaij)mn或Aaijmn时，这个矩阵也叫n阶方阵，简记为An定义由nAA的行列式,记作|A|或detA注n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n三、n阶行列式的定义1由自然数1,2,n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n级排2在一个n级排列(i1i2itisin中，若数itis,则称数it与is构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数,N(i1i2in).ni1i2init(t1,2,nitti个,则ti的逆序的个数为ti N(i1i2in)t1t2tnti【例】求排列n(n1)(n1)321的逆序数,并其奇偶性n阶行列式的定义4由n2个元素aij(i,j1,2,n) a1n 称为n阶行列式,其中横排称为行,竖排称为列,它表示所有取自不、不同列的n个元a1ja2janj

a2n

(1)N(jjj)a 1

an

j1j2

1j12 其中j1j2

nj1j2jndet(aij或|aij|里数

称为行列式的元素，称(1Nj1j2jn

1

a2

2n(1)nn2naa 的符号为(1)N(j1j2jn)(不算元素本身所带的符号);1j12j2 一阶行列式|a|a,不要与绝对值记号相（1） （2）

33

【例3】证n阶行列

1 )

0

a2n

123x12x31x23x13【例5】f(x)123x12x31x23x1323行列式的某一行（列）4Dbi1

bi2ci

bincin D D1D2注kj行加到第irikrjkj列加到第icikcj

2323102100223 00ccbb 00ccbbD1det(aij)

.，D2. 定义在n阶行列 ,余下的n1阶行列式称为D中元素aij的式,记为Mij,再Aij(1)ijM称Aij为元素aij的代数式

，其中A为a的代数式00aa2na11 an（2）nDi行所有元素除aij外都为零，则该行列式等于aij与它的代数式的乘积，即DaijAij定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数式乘积之和,Dai1Ai1ai2Ai2ain (i1,2,, Da1jA1ja2jA2janj (j1,2,,推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代

ai1Aj1ai2Aj2ainAjn i a1iA1ja2iA2janiAnj i【例

5,D中元素

A

1

A11A12A13A14M11M21M31M41第二讲矩阵所有元素均为零的矩阵称为零矩阵0ABAB相等AB称为行矩阵或A(a1,a2,,an

b1 Bb2bm n阶方 0 称为n阶对角矩阵,对角矩

nAdiag(1,2,,n)n阶方0 01 00 1称为n阶单位矩阵nEEn（或IIn当一n阶对角矩阵A的对角元素全部相等且等于某a时，称A为n阶数量矩阵即 A

00 a nn1设有两个mnAaijBbijABAB a11 a12 a1nb1n a AB(aijbij

2n

mnA(aij)称AAA(A)O

ABA(B)2数kAkAAk kAAk(ka)

ka1nka2n mnABCO都是同型矩阵,kl是常数,则ABB(AB)CA(BC)AOA(A) 1Ak(l)A(kl)AkAk(AB)kA定义

a1s

b1n

2s

b2nA

,B ams

bs bsn c1n AB(c)

c2nijm cmnscijai1b1jai2b2jaisbsjaikbkji1,2,mj1,2,k若CAB，则矩阵C的元素cijA的第iBj

b1j C(a,a ,a

2ja a ab i

is

i11 i22 is bsj(AB)C(AB)CACC(AB)k(AB) 4 4A

,B2

, 4 16AB

6

16 4 0 BA3

于是ABBA;BA

0从上例还可看出:两个非零矩阵相乘,可能是零矩阵,故不能从ABOAOB 例如,1 1 1A 3,B04,C00 21 1 01 AC 30 0 40但A定义

AB注：对于单位矩阵E,容易证明EmAmnAmn,AmnEnAmn

EAAE1B是一个nBB与任何n阶矩A可换.2AB均为nAB (AB)2A22AB(AB)2A22AB(AB)(AB)(AB)(AB)A2 0 【例1】A ,B

ABa1 【例2设A,B分别是n1和1n矩阵且Aa2，Bb,b ,b计算AB和BA a an3AA*A*AAEn.其A*A的伴随矩阵a11x1a12x2a1nxn xa

222a2nxnb2 a1n x1 b12 2A

a2n

x b

X b2

x b mn n mAX xjcjj

组解阵64411c1C

2cn则A这时也称C是矩阵方程(2)的解;反之,如果列矩阵C是矩阵方程(2)的解,即有矩阵等式ACbx,xjcjj1,2,n也是线性方程组(1组(1)的便等价于对矩阵方程(2)的.特别地,齐次线性方程组可以表示为Ax定义AAATAAA

a1n a2n amn则 am1 AT m2 mn(AT)T(AB)TATBT(kA)TkAT (AB)TBT 定义设A 2n是一个n阶矩阵，如果ATA，aa aa n nnaijaji(i,j1 定义Aaij)nnA0

个AkAA k为自然数AkAkAmAn (Am)n注:一般地,(AB)mAmBm m为自然 k 设f(x)axk xk1 axa是x的k次多项式， k fA)aAk Ak1 aAaEA的k k 0a0En定义由nAA的行列式,记作|A|或detA注n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n方阵A的行列式|A |AT||A||kA|kn|A|AB||A||B|进一步ABABB1A为n阶方阵，证 0

A*

An1【例2】设A 0，矩阵B满足ABA*2BA*E，则B 1 a0,总存在唯一一个数a1aa1a1aaxxa1对于nA,如果存在一个nBABBA2如果nA的行列式|A|0A1nA可逆的充分必要条件是其行列式|A|0AA1|A

AA1A1)1A可逆,数k0,则(kA)11A1k(AB)1AATAT)1A1)T【例1】设矩阵A满足A2A5EO,其中E为单位矩阵，则A2E1 b

Adkrikcik0rikrj或cikcjrirj,cicj注：i）ii）初等倍乘矩阵Ei(c) ,1)，Ei(c)是由单位矩阵第i行(或列)cc0 i 初等倍加矩阵E(c)

j11Eij(c是由单位矩阵第i行乘cjj列乘c加到第i

i

E Eij是由单位矩阵第ij

j11

a13 a23 a a 23 13 a13 a23E12 a a 23 13Ei(cAA的第i行乘cEij(cAA的第i行乘cjEijAA的第i行与第j行对换位置.iET(c)E(c),ET(c)E(c)，ETE E1(c) 1,E1(c)

(c)，E1E Ei(c :0E*(c)cE

),

E

E

ii 0ji 列得C，记P

0， 010 010 (A)CP1 (B)C (C)CPT (D)C2

1 0 0C C 3 1

【例3】设P 2, ,APPA (2)(A)A32A2第三讲线性方程组11 12 1n axax axbaxax11 12 1n 21 22 2n am1x1am2x2 amnxn

称为 个方程 aa A

a1n x1 b1aaaa2n,Xx 2,b2aa

am

amn

n m 则（1）可表为Aｍｎx (Ax a1n 其中，A 2n称为线性方程组的系数矩阵 mn a1nb A 2称为线性方程组的增广矩阵 b na11 a12 a1n b1a22 a22 b , ,2n,2 bm1 m2 mn m

x11x22 xnn.(x11x22 xnn解与通解初等变换的定 krikcik0rikrj或cikcjrirj,cicj注：i）ii）叫做高斯消元.其中，所有未知量中 x1x2x3

x2x