量子力学曾谨言课后习题答案

第十章0 HamiltonHHH02d 2H02udx22uH'x3（为实常数用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似H(0)E(0)，(0)

e2x22

0 n 12nE(0)n ，12nx

x1

n

n1x

x

nn22nx322nnnE(1)nn

H'

nx3n

计算0（

n

n'n

2

计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为0

x3nnx3nn

22nn222nn22n

nn

x3

22n22n

x3 n n

n22222

：H'H

29n2

H'H

29n3

H'H

E(0)E

3，E(0)E

E(0)E

，E(0)E

3 EE(0)E(1)E(2)E(0)H

Hkn'2 Hkn'2

E(0)E 1 30n230n

2n 2

u3 H (0)(1)(0)

E(0)E n(0)n

n30 HHH0

.下册H

2

1u

x21 1

212H'xx（为实常数，刻画耦合强度212求出H0的本征值及能级简并度以第一激发态为例，用简并微扰论计算H'对能级的影响（一级近似严格求解H的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行

1，

1H2（a）H0的本征函数和本征值可分别表11

2 n12

12 2

2 2令Nn1

ENN1，N0,1,2,

由式（3）N0情况。能级是简并的，简并度为N1N1为第一激态（N0

E1相应的本征函数为0x11x2与1x10x2（或考虑它们的线形迭加分别记为f1x1x2和f1x1x2n 1n

n

n1不难得出：W11W22W12W21f1,x1x2f20

1

2

E得

2u0E0

E(1)

E2能级简并被解除，类似还可求出其他能级的，

1，2

x1

1212其逆变换为 x1＋x2， x1－x21212

1x2＋x2＝2＋ 1 x1x2

222212 212

2

1u2

x2

12变

2

2

2

2 2 2 1u2221u22，1u2221u2 122u21u21

222u21u2 2

2

2

222u2u12u22u2

1

He

2，11

2n1n

2

2n1n

2

1n122 22

u2时，由（11）

11

2u222

2u2此

n1n1

n

12N12

n

1N1（第一激发态）的情况下，可有n1n21,0与0,1两种情况（二简并态，相应的能量分别为

2，

2能级E

一维无限深势阱0xaHH'x2xa 0xa1x a2xEEn

22

，(0)

2a2a

n 22n1基态 2ua21

(0)

sinx2aa2a1E(1)1

'a101

x2H'2a2sin2x2xdx2

sin2x21xa

aa

a a作变换uxxaudxadu vxxaavdxadvaE(1)

2sin2uudu4

sin2v 2

282sin2uudu1

222

2 R的均匀分Ze 1r22 r2rR

2R,

rZe Ze2 1r2 2H R2

2R2 计算原子的1s能级的一级微扰修正。解：.类氢离子中1s轨迹电子波函数Z Z

2 eZr a3 a为半径，1s能级的微扰论一级修正E(1)

H'

R2H'4r

RaZe2Zra4Z4e2R

r 3r2

2Z4e2

4ZR

EE

Z2

0r

2Rdr

5a5

其 E1s 设氢原子处n3能级，求它的Stark提示：参阅10.2节中例1。注意n3能级简并度为9，考虑到微扰H'eZ相应的选择定则，此9可9nlmRnlrYlmn39

1

320,2

310,3

300,m0；4

321,5

311，m6

321,7

311,m1；8

322,m2；9

H'ereZer

r

er 8130a32a r2 r

1

er3a

33276a

a

6a

2r2 33a33a3

er3a

27a H写

H'earcosW，Wrcos 由于H',L0，所以H'作用于 的结果，磁量子数m不变。又因z

lmlm

1l12m21

2l12l

H'作用于 量子数l将改变1因此在计算微扰矩阵元W中只有 W

W

W2W67W76不为零。2

rRr2dr

5

r

r2dr36 32 36

31

W12W21

，W23

92

92

0E

m 33E

630E

E

m

m

m

m2

E(1)0,0,0,9ea,9ea,9ea 303E303E（30

E66

0E(1)099E（9

92E

，解得E(1)9292结果，n3的能级成五条 E(0)9ea，

E(0)9ea， E(0)，

E(0)9ea，

E(0)9ea

0 HHH0E 0 bH

，H'

（a,b为实数

E(0)

a 2 用微扰论求解能级修正（准到二级近似，并与严格解（H矩阵对角化）比较。解（1）由H'HH

a，H Hkn'2Hkn'2nnEE(0)Hnn

E(0)E 得E1

aE(0)E(0)，E2

aE(0)E （2）H的本征矢为E E(0) E(0)a

E(0)a

E(0)aE 1E(0)aE1

2E(0)a2 E(0)aEE(0)aEb2 这是关于aE的二次方程，其解aE1E(0)E(0)

E(0)E(0)24b22 12 212 E(0)E(0) E(0)E(0)1

E(0)E(0)1

(0)

(0)1

(0)

(0)

E(0)E(0) 1(0) (0)1(0) (0)

2

2

E(0)E(0)

bE(0)E

1， 即微扰矩阵元小于能级差。上式分开 EE

a E(0)E

EE

2 a E(0)E

2dxC2e2x2dxC2

11214214

2

1414

2取C

22Hx 22

u2x2u *

2

1212

2d

22

E

Hdx

2udx

ux 2 12 2 12

e2x212xdx1u2e2x2x2dx u

2u

由E2u2由

考虑xx

u1

（1，

E1 22 H22

x

10x10

2ue2x2（与谐振子基态波函数形式相同），为参数，用变分法求基态能量d2 d*

2u2u

2

2u

0dx2

dx

xdx V

x42dx00

x4

x2dx

T

2

由

0

0解 2

2

23333233

（3

E0

210－9)氢原子基态试探波函数取为era2a2

（Bohr半径