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文档简介
2022年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,,则()A. B.C. D.2.已知数列中,,(),则等于()A. B. C. D.23.已知a,b∈R,,则()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a4.设复数,则=()A.1 B. C. D.5.已知非零向量,满足,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解:6.已知函数是定义在上的奇函数,函数满足,且时,,则()A.2 B. C.1 D.7.已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点(设点位于第一象限),过点,分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为点,,抛物线的准线交轴于点,若,则直线的斜率为A.1 B. C. D.8.已知的垂心为,且是的中点,则()A.14 B.12 C.10 D.89.已知(i为虚数单位,),则ab等于()A.2 B.-2 C. D.10.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是()A. B.C. D.11.展开项中的常数项为A.1 B.11 C.-19 D.5112.已知下列命题:①“”的否定是“”;②已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题;③“”是“”的充分不必要条件;④“若,则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为()A.③④ B.①② C.①③ D.②④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.过抛物线C:()的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若,则l的斜率为______.14.设变量,,满足约束条件,则目标函数的最小值是______.15.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为1的直线与抛物线交于点,以线段为直径的圆上存在点,使得以为直径的圆过点,则实数的取值范围为________.16.已知,圆,直线PM,PN分别与圆O相切,切点为M,N,若,则的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线的焦点为,直线交于两点(异于坐标原点O).(1)若直线过点,,求的方程;(2)当时,判断直线是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由.18.(12分)已知矩阵,,若矩阵,求矩阵的逆矩阵.19.(12分)设为等差数列的前项和,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若满足不等式的正整数恰有个,求正实数的取值范围.20.(12分)已知.(1)当时,求不等式的解集;(2)若,,证明:.21.(12分)某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试,从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):若分数不低于95分,则称该员工的成绩为“优秀”.(1)从这20人中任取3人,求恰有1人成绩“优秀”的概率;(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图,并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率1234①估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);②若从所有员工中任选3人,记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,求的分布列和数学期望.22.(10分)如图,在三棱柱中,平面平面,侧面为平行四边形,侧面为正方形,,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的大小.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】,所以,即.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.2.A【解析】
分别代值计算可得,观察可得数列是以3为周期的周期数列,问题得以解决.【详解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴数列是以3为周期的周期数列,
,
,
故选:A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用:求数列中的项,考查运算能力,属于基础题.3.C【解析】
两复数相等,实部与虚部对应相等.【详解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故选:C.【点睛】本题考查复数的概念,属于基础题.4.A【解析】
根据复数的除法运算,代入化简即可求解.【详解】复数,则故选:A.【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值,属于基础题.5.C【解析】
根据向量的数量积运算,由向量的关系,可得选项.【详解】,,∴等价于,故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件,属于基础题.6.D【解析】
说明函数是周期函数,由周期性把自变量的值变小,再结合奇偶性计算函数值.【详解】由知函数的周期为4,又是奇函数,,又,∴,∴.故选:D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性,掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础.7.C【解析】
根据抛物线定义,可得,,又,所以,所以,设,则,则,所以,所以直线的斜率.故选C.8.A【解析】
由垂心的性质,得到,可转化,又即得解.【详解】因为为的垂心,所以,所以,而,所以,因为是的中点,所以.故选:A【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.9.A【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求解.【详解】,,得,..故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,是基础题.10.D【解析】构造函数,令,则,由可得,则是区间上的单调递减函数,且,当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.本题选择D选项.点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.11.B【解析】
展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的,所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项,有3种情况:(1)5个括号都出1,即;(2)两个括号出,两个括号出,一个括号出1,即;(3)一个括号出,一个括号出,三个括号出1,即;所以展开项中的常数项为,故选B.【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程,考查定理的本质,即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.12.B【解析】
由命题的否定,复合命题的真假,充分必要条件,四种命题的关系对每个命题进行判断.【详解】“”的否定是“”,正确;已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题,正确;“”是“”的必要不充分条件,错误;“若,则且”是假命题,则它的逆否命题为假命题,错误.故选:B.【点睛】本题考查命题真假判断,掌握四种命题的关系,复合命题的真假判断,充分必要条件等概念是解题基础.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,,根据抛物线定义和求得,从而求得直线l的倾斜角.【详解】分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,,由抛物线的定义知,,,因为,所以,所以,即直线的倾斜角为,又直线与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角,所以直线l的倾斜角为,.故答案为:【点睛】此题考查抛物线的定义,根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解,属于较易题目.14.7【解析】作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)设z=F(x,y)=2x+3y,将直线l:z=2x+3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值∴z最小值=F(2,1)=715.【解析】
由题意求出以线段AB为直径的圆E的方程,且点D恒在圆E外,即圆E上存在点,使得,则当与圆E相切时,此时,由此列出不等式,即可求解。【详解】由题意可得,直线的方程为,联立方程组,可得,设,则,,设,则,,又,所以圆是以为圆心,4为半径的圆,所以点恒在圆外.圆上存在点,使得以为直径的圆过点,即圆上存在点,使得,设过点的两直线分别切圆于点,要满足题意,则,所以,整理得,解得,故实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用,以及直线与圆的位置关系的应用,其中解答中准确求得圆E的方程,把圆上存在点,使得以为直径的圆过点,转化为圆上存在点,使得是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题。16.【解析】
由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,,代入,,则在直线上,即可得方程为,将,代入化简可得,则直线过定点,由则点在以为直径的圆上,则.即可求得.【详解】如图,由可知R为MN的中点,所以,,设,则切线PM的方程为,即,同理可得,因为PM,PN都过,所以,,所以在直线上,从而直线MN方程为,因为,所以,即直线MN方程为,所以直线MN过定点,所以R在以OQ为直径的圆上,所以.故答案为:.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)直线过定点【解析】
设.(1)由题意知,.设直线的方程为,由得,则,由根与系数的关系可得,所以.由,得,解得.所以抛物线的方程为.(2)设直线的方程为,由得,由根与系数的关系可得,所以,解得.所以直线的方程为,所以时,直线过定点.18..【解析】试题分析:,所以.试题解析:B.因为,所以.19.(1);(2).【解析】
(1)设等差数列的公差为,根据题意得出关于和的方程组,解出这两个量的值,然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式;(2)求出,可得出,可知当为奇数时不等式不成立,只考虑为偶数的情况,利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性,由此能求出正实数的取值范围.【详解】(1)设等差数列的公差为,则,整理得,解得,,因此,;(2),满足不等式的正整数恰有个,得,由于,若为奇数,则不等式不可能成立.只考虑为偶数的情况,令,则,..当时,,则;当时,,则;当时,,则.所以,,又,,,,.因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查正实数的取值范围的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.20.(1)(2)见证明【解析】
(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解;(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.【详解】(1)解:当时,不等式可化为.当时,,,所以;当时,,.所以不等式的解集是.(2)证明:由,,得,,,又,所以,即.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解,含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.21.(1);(2)①82,②分布列见解析,【解析】
(1)从20人中任取3人共有种结果,恰有1人成绩“优秀”共有种结果,利用古典概型的概率计算公式计算即可;(2)①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和;②要注意服从的是二项分布,不是超几何分
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