专题八辅助线作法 2020春北师大版七年级数学下册习题课件

PPT课程:专题八辅助线作法主讲老师:PPT课程:专题八辅助线作法1一、添加平行线，利用平行线性质1．如图，∠BED＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．解：过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，∵∠BED＝∠B＋∠D，∴∠BED＝∠BEF＋∠D，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴CD∥EF，∴AB∥CD.一、添加平行线，利用平行线性质解：过点E作EF∥AB，∴∠B22．如图，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝36°，求∠BEC的大小．解：过E点作直线EF∥AB.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABE＋∠BEF＝180°，∴∠FEC＝∠DCE＝36°，∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝180°－∠ABE＋∠DCE＝180°－110°＋36°＝106°.2．如图，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝3633．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直，(1)当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；(2)连杆BC，CD可以绕着B，C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，求α，β，γ之间的数量关系．3．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行45．如图，AB＝AD，CB＝CD，E，F分别是AB，AD的中点．∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E，(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，4．如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AD＝CB.∴BE＝AB，FD＝AD，＝60°＋90°∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠A＝∠C.∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠B＝∠D，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，∴∠CBD＝90°－∠C，∠CAE＝90°－∠C，∴∠PCD＝180°－∠D＝60°，∠PCB＝120°－∠PCD＝60°，求证：CD＝AD＋BC.四、截长补短：一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；＝180°－∠ABE＋∠DCE二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等时(或图形不完整)，添加公共边解：过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，又∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，解：(1)如图，过C作CP∥DE，过B作BH∥FG.∵DE∥FG，∴PC∥FG，∴PC∥BH∴∠PCD＝180°－∠D＝60°，∠PCB＝120°－∠PCD＝60°，∴∠CBH＝∠PCB＝60°，又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝∠FAB＝90°，∴∠CBA＝∠CBH＋∠ABH

＝60°＋90°

＝150°，5．如图，AB＝AD，CB＝CD，E，F分别是AB，AD的中5(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，∠PCB＝∠CBH，∠ABH＝90°，∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA＝∠EDC＋∠PCD＋∠PCB－(∠CBH＋∠ABH)＝180°－90°＝90°，即α＋β－γ＝90°(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，6二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等时(或图形不完整)，添加公共边4．如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AD＝CB.求证：∠A＝∠C.证明：连接BD，在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠A＝∠C.二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等时(或图形不完整)，7＝(∠ACB＋∠BAC)解：过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，一、添加平行线，利用平行线性质∴∠AOC＝∠DOE＝120°，解：过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，(1)当∠EDC＝∠DCB＝120°∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC5．如图，AB＝AD，CB＝CD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：CD＝AD＋BC.∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA9．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，求证：AC＝AE＋CD.在△FDE和△ADE中，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∴△BEC≌△DFC(SAS)，∴CE＝CF.7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E，3．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直，＝(∠ACB＋∠BAC)∴△FCE≌△BCE(SAS)，∴∠1＝∠2，又E，F分别为AB，AD的中点，4．如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AD＝CB.四、截长补短：一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；5．如图，AB＝AD，CB＝CD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：CE＝CF.证明：连接AC，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠B＝∠D，又E，F分别为AB，AD的中点，∴BE＝AB，FD＝AD，∵AB＝AD，∴BE＝DF，在△BEC和△DFC中，

∴△BEC≌△DFC(SAS)，∴CE＝CF.＝(∠ACB＋∠BAC)5．如图，AB＝AD，CB＝C8三、遇到等腰三角形，可作底边上的高或延长加倍法(三线合一或对折)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D.求证：∠BAC

＝2∠CBD.解：过A作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠AEC＝90°，∴∠CBD＝90°－∠C，∠CAE＝90°－∠C，∴∠CBD＝∠CAE，∴∠BAC＝2∠CBD.三、遇到等腰三角形，可作底边上的高或延长加倍法(三线合解：过97．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E，求证：BD＝2CE.证明：延长BA和CE交于点M，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE，在△BME和△BCE中7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝10∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝MC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠EDC＝90°，∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM，在△ABD和△ACM中∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝MC，11四、截长补短：一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等四、截长补短：一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条128．如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.求证：CD＝AD＋BC.证明：在CD上截取CF＝BC，连接EF，在△FCE和△BCE中，∴△FCE≌△BCE(SAS)，∴∠1＝∠2，又∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∴∠3＝∠4，8．如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝∠CDE，13在△FDE和△ADE中，∴△FDE≌△ADE(ASA)，∴DF＝DA，∵CD＝CF＋DF，∴CD＝AD＋BC.在△FDE和△ADE中，149．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，求证：AC＝AE＋CD.证明：在AC上取AF＝AE，连接OF，∵AD平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO，在△AEO与△AFO中，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，9．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分15∵AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠ECA＋∠DAC＝∠ACB＋∠BAC＝(∠ACB＋∠BAC)＝(180°－∠B)＝60°，则∠AOC＝180°－∠ECA－∠DAC＝120°，∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，则∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF，∵AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，16∴在△FOC与△DOC中，∴△FOC≌△DOC(ASA)，∴DC＝FC，∵AC＝AF＋FC，∴AC＝AE＋CD.∴在△FOC与△DOC中，17谢谢！谢谢！18PPT课程:专题八辅助线作法主讲老师:PPT课程:专题八辅助线作法19一、添加平行线，利用平行线性质1．如图，∠BED＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．解：过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，∵∠BED＝∠B＋∠D，∴∠BED＝∠BEF＋∠D，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴CD∥EF，∴AB∥CD.一、添加平行线，利用平行线性质解：过点E作EF∥AB，∴∠B202．如图，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝36°，求∠BEC的大小．解：过E点作直线EF∥AB.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABE＋∠BEF＝180°，∴∠FEC＝∠DCE＝36°，∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝180°－∠ABE＋∠DCE＝180°－110°＋36°＝106°.2．如图，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝36213．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直，(1)当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；(2)连杆BC，CD可以绕着B，C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，求α，β，γ之间的数量关系．3．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行225．如图，AB＝AD，CB＝CD，E，F分别是AB，AD的中点．∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E，(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，4．如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AD＝CB.∴BE＝AB，FD＝AD，＝60°＋90°∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠A＝∠C.∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠B＝∠D，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，∴∠CBD＝90°－∠C，∠CAE＝90°－∠C，∴∠PCD＝180°－∠D＝60°，∠PCB＝120°－∠PCD＝60°，求证：CD＝AD＋BC.四、截长补短：一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；＝180°－∠ABE＋∠DCE二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等时(或图形不完整)，添加公共边解：过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，又∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，解：(1)如图，过C作CP∥DE，过B作BH∥FG.∵DE∥FG，∴PC∥FG，∴PC∥BH∴∠PCD＝180°－∠D＝60°，∠PCB＝120°－∠PCD＝60°，∴∠CBH＝∠PCB＝60°，又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝∠FAB＝90°，∴∠CBA＝∠CBH＋∠ABH

＝60°＋90°

＝150°，5．如图，AB＝AD，CB＝CD，E，F分别是AB，AD的中23(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，∠PCB＝∠CBH，∠ABH＝90°，∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA＝∠EDC＋∠PCD＋∠PCB－(∠CBH＋∠ABH)＝180°－90°＝90°，即α＋β－γ＝90°(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，24二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等时(或图形不完整)，添加公共边4．如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AD＝CB.求证：∠A＝∠C.证明：连接BD，在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠A＝∠C.二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等时(或图形不完整)，25＝(∠ACB＋∠BAC)解：过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，一、添加平行线，利用平行线性质∴∠AOC＝∠DOE＝120°，解：过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，(1)当∠EDC＝∠DCB＝120°∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC5．如图，AB＝AD，CB＝CD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：CD＝AD＋BC.∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA9．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，求证：AC＝AE＋CD.在△FDE和△ADE中，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∴△BEC≌△DFC(SAS)，∴CE＝CF.7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E，3．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直，＝(∠ACB＋∠BAC)∴△FCE≌△BCE(SAS)，∴∠1＝∠2，又E，F分别为AB，AD的中点，4．如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AD＝CB.四、截长补短：一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；5．如图，AB＝AD，CB＝CD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：CE＝CF.证明：连接AC，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠B＝∠D，又E，F分别为AB，AD的中点，∴BE＝AB，FD＝AD，∵AB＝AD，∴BE＝DF，在△BEC和△DFC中，

∴△BEC≌△DFC(SAS)，∴CE＝CF.＝(∠ACB＋∠BAC)5．如图，AB＝AD，CB＝C26三、遇到等腰三角形，可作底边上的高或延长加倍法(三线合一或对折)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D.求证：∠BAC

＝2∠CBD.解：过A作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠AEC＝90°，∴∠CBD＝90°－∠C，∠CAE＝90°－∠C，∴∠CBD＝∠CAE，∴∠BAC＝2∠CBD.三、遇到等腰三角形，可作底边上的高或延长加倍法(三线合解：过277．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E，求证：BD＝2CE.证明：延长BA和CE交于点M，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE，在△BME和△BCE中7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝28∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝MC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠EDC＝90°，∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM，在△ABD和△ACM中∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝MC，29四、截长补短：一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等四、截长补短：一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条308．如图，AD∥BC，点E在线段A