专训因式分解六种常见方法

因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然

后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不

能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．方法1

提公因式法1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2分解因式，其中一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()A．

4x－1C．3y－4x＋1B．3y－4x－1D．3y－4x题型1公因式是单项式的因式分解B同类变式2．【中考•广州】分解因式：2mx－6my＝．3．把下列各式分解因式：

(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.2m(x－3y)解：(1)2x2－xy＝x(2x－y)．(2)－4m4n＋16m3n－28m2n＝－4m2n(m2－4m＋7)．如果一个多项式第一项含有“－”号，一般要将“－”号一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．4．把下列各式分解因式：

(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.解：(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．题型2公因式是多项式的因式分解方法2

公式法5．把下列各式分解因式：

(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.题型1直接用公式法解：(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)＝(x＋y)2(x－y)2.原式＝(x2＋6x＋9)2＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4.因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(2)题不能分解到(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)就结束了．6．把下列各式分解因式：

(1)(x－1)＋b2(1－x)；(2)－3x7＋24x5－48x3.解：(1)原式＝(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(1－b2)＝(x－1)(1＋b)(1－b)．(2)原式＝－3x3(x4－8x2＋16)＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.题型2先提公因式再用公式法7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)•(x－3)＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]＝(x＋3)(2x＋1)．解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式因式分解．题型3先局部再整体法题型4先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x(x＋4)＋4；

(2)4x(y－x)－y2.解：(1)原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2.(2)原式＝4xy－4x2－y2＝－(4x2－4xy＋y2)＝－(2x－y)2.通过观察发现此题不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法分解．方法3

分组分解法9．观察“探究性学式分解：甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)组的甲、乙两名同学的因(分成两组)＝x(x－y)＋4(x－y) (分别提公因式)＝(x－y)(x＋4). (再提公因式)乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc) (分成两组)＝a2－(b－c)2

(运用完全平方公式)＝(a＋b－c)(a－b＋c). (再用平方差公式)请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式：(1)m2－mn＋mx－nx；(2)x2－2xy＋y2－9.m2－mn＋mx－nx＝(m2－mn)＋(mx－nx)＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m－n)(m＋x)．x2－2xy＋y2－9＝(x2－2xy＋y2)－9＝(x－y)2－9＝(x－y＋3)(x－y－3)．解：方法4

拆、添项法110．分解因式：x4＋4

.解：原式＝x4＋x2＋1

－x21

4＝（x2＋

2

）2－x221

1＝（x2＋x＋

）(x2－x＋

)．2此题直接分解因式很

，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x2与－x2两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．同类变式11．先阅读下面的材料：已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法等．拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．请你仿照以上方法，分解因式：(1)x2－6x－7；

(2)a2＋4ab－5b2.方法5

整体法12．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．解：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)＝(x＋y－z)(a＋b－c)．题型1“提”整体13．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.题型2“当”整体本题把x＋y这一整体“当”作完全平方公式中的字母a.14．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．解：原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．题型3“拆”整体15．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和(y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．题型4“凑”整体6方法换元法16．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.解：(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m