空间解析几何与向量代数课件公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第七章

空间解析几何与向量代数1第一节向量及其线性运算一、向量概念1.向量:现有大小,又有方向量,称为向量(或矢量).用一条有方向线段来表示向量.2.向量几何表示法以线段长度表示向量大小,

AB尤其:模为1向量称为单位向量.

模为0向量称为零向量.记为,它方向能够看作是任意.有向线段方向表示向量方向.以A为起点,B为终点向量,记为或.AB向量

大小叫做向量模.记为

或.

ABAB||||23.自由向量自由向量:只有大小、方向,而无特定起点向量.含有在空间中能够任意平移性质.大小相等且方向相同,4.向量相等即经过平移能够使它们重合,35.向量平行(或共线)6.向量共面当把若干个向量起点放在一起时,若它们终点和公共起点在一个平面上,则称这些向量共面.

假如两个向量与方向相同或相反,称为平行,记为‖41.向量加减法(1)平行四边形法则(2)三角形法则向量加法二、向量线性运算5向量加法运算规律:(1)交换律:

(2)结合律:6多个向量相加:

比如,7向量减法(2)向量减法.要求:(1)负向量:与模相同而方向相反向量,称为负向量,记作.将之一平移,使起点重合,由终点向终点作一向量,即为

82.向量与数乘法定义模:

当>0时,

当<0时,

当=0时,

设为实数.

要求:向量与数为一个向量.方向:9向量与数乘积运算规律:(1)结合律:(2)分配律:定理向量单位化:

10试用向量证实三角形两边中点连线平行于第三边,且其长度等于第三边二分之一.

例1证ABCDE所以所以且11例2证ABCDEFO12练习：13定点横轴纵轴竖轴空间直角坐标系三个坐标轴正方向符合右手系.即以右手握住

z轴，当右手四个手指度转向

y轴正向时，大拇指指向就是z轴正向.从

x

轴正向以角三、空间直角坐标系14Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ15空间点有序数组特殊点表示:坐标轴上点坐标面上点一个分量为零:点在坐标面上.

两个分量为零:点在坐标轴上.

16向量在坐标轴上分向量与向量坐标1.起点在原点向量(向径)OM设点M(x,y,z)zijkMoxyCABzyxN以

分别表示沿x,y,z轴正向单位向量,称为基本单位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC称OA、OB、OC分别是OM在x轴,y轴,z轴上分向量,而x,y,z,分别是OM在三坐标轴上投影,称为OM坐标.简记为

,此称为向量

坐标表示式.17向量在轴上投影向量在轴上投影向量在轴上投影2.起点不在原点O任一向量设点M1

(x1,y1,z1),M2

(x2,y2,z2)18按基本单位向量坐标分解式：在三个坐标轴上分向量：向量坐标：向量坐标表示式：特殊地：19四、利用坐标作向量线性运算20两向量平行充要条件.即ax

=bx,ay

=by,az

=bz,于是即对应坐标成百分比.注:在上式中要求,若某个分母为零,则对应分子也为零.已知设且为常数,21设为直线上点，例3解由题意知：2223五、向量模、方向角、投影1.向量模与两点间距离公式

由勾股定理知，此即向量模坐标表示.

24POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N为空间两点,则由此得到两点间距离公式：

25

在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离点.设该点为M(0,0,z),由题设|MA|=|MB|,即解得即所求点为例4解262.方向角与方向余弦空间两向量夹角概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴夹角.

特殊地，当两个向量中有一个零向量时，要求它们夹角可在0与之间任意取值.AOB或.27非零向量与三条坐标轴正向夹角称为方向角.28非零向量与三条坐标轴正向夹角称为方向角.由图分析可知向量方向余弦方向余弦通惯用来表示向量方向.29非零向量与三条坐标轴正向夹角称为方向角.向量方向余弦坐标表示式30方向余弦特征特殊地：单位向量方向余弦为31

已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1M2模,方向余弦和方向角.例5解M1M2={1,1,}模:方向余弦:方向角:32

已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3).求方向和AB一致单位向量.例6解333.向量在轴上投影空间一点在轴上投影34空间一向量在轴上投影35关于向量投影定理(1)证36两个向量和在轴上投影等于两个向量在该轴上投影之和.

关于向量投影定理(2)（可推广到有限多个）37关于向量投影定理(3)38练习：P300习题7-12.5.8.11.12.13.16.1839sF解:由物理知,与位移平行分力作功,与位移垂直分力不作功.于是第二节数量积向量积混合积一、两向量数量积(ScalarProduct)比如:设力F作用于某物体上,物体有一段位移S,求功表示式.40数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量数量积等于其中一个向量模和另一个向量在这向量方向上投影乘积.定义41关于数量积说明：证证42数量积符合以下运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：43利用向量证实三角形余弦定理例1证44例2证所以45数量积坐标表示式设46两向量夹角余弦坐标表示式由此可知两向量垂直充要条件为47例3解48二、两向量向量积(VectorProduct)先研究物体转动时产生力矩M方向:垂直于OP与F所在平面,指向使OP、F与M满足右手规则.49定义向量积也称为“叉积”、“外积”.50注:（1）向量积模几何意义.51向量积符合以下运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：例452向量积坐标表示式设53向量积还可用三阶行列式表示54例5解55三角形ABC面积为例5解56三、向量混合积(TripleScalar

Product)定义设--混合积坐标表示式57（1）向量混合积几何意义：关于混合积说明：58解例659ABCD例7解60式中正负号选择必须和行列式符号一致.ABCD61向量数量积向量向量积向量混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面条件）小结62练习：P309习题7-22.3.6.8.9.(1)(3)10.12.63F(x,y,z)=0

Sxyzo一、曲面方程概念定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有以下关系:(1)S上任一点坐标都满足方程F(x,y,z)=0;(2)坐标满足方程F(x,y,z)=0点都在S上;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0图形

.第三节曲面及其方程64研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面方程，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点轨迹时，求曲面方程．65

M0

M

R例1解以下给出几例常见曲面.依据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为66例2解依据题意有化简得所求方程67例3解方程图形是怎样？依据题意有图形上不封顶，下封底．68定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．播放二、旋转曲面69以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.二、旋转曲面定义这条定直线叫旋转曲面轴．旋转曲线称为该旋转曲面母线.70旋转过程中特征：将代入母线:71将代入得方程72所以圆锥面方程为例4解73例574例575例676定义观察柱面形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动直线所形成曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面准线，动直线叫柱面母线.三、柱面播放77平行于定直线并沿定曲线移动直线所形成曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面准线，动直线叫柱面母线.三、柱面78xyzo比如:考虑方程x2+y2=R2所表示曲面.在xoy面上,x2+y2=R2表示以原点O为圆心,半径为R圆.曲面能够看作是由平行于

z

轴直线L沿xoy面上圆x2+y2=R2移动而形成,称该曲面为圆柱面.ol79画出以下柱面图形:抛物柱面平面80方程F(x,y)=0表示:母线平行于z轴柱面,准线为xoy面上曲线类似:方程F(x,z)=0表示:母线平行于y轴柱面,准线为xoz面上曲线C:F(x,z)=0,y=0.方程F(y,z)=0表示:母线平行于x轴柱面,准线为yoz面上曲线C:F(y,z)=0,x=0.81思索题指出以下方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？82思索题解答平面解析几何中空间解析几何中斜率为1直线方程83二次曲面定义：三元二次方程所表示曲面称之．对应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状截痕法：用坐标面和平行于坐标面平面与曲面相截,考查其交线(即截痕)形状,

然后加以综合,

从而了解曲面全貌．以下用截痕法讨论几个常见二次曲面．四、二次曲面84zxyO1用坐标面z=0,

x=0和y=0去截割,分别得椭圆(1)椭球面85zxyO(1)椭球面2用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆当|k|c

时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c时,椭圆退缩成点.86椭球面几个特殊情况：旋转椭球面球面球面方程可写为87xyzozxyo(2)椭圆抛物面88xyzo(2)椭圆抛物面特殊情况：--旋转抛物面.89(3)椭圆锥面特殊情况：--圆锥面.90(3)椭圆锥面特殊情况：--圆锥面.若方程为则图形如右图91(4)单叶双曲面

xyoz(5)双叶双曲面xyo92(6)双曲抛物面(马鞍面)xyzo93xzyo(6)双曲抛物面(马鞍面)94椭圆柱面还有三种以二次曲线为准线柱面：抛物柱面双曲柱面95思索题方程表示怎样曲线？96思索题解答表示双曲线.97练习：P318习题7-34.5.8.(1)(5)10.(4)11.(3)98二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．99二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．100二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．101二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．102二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．103二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．104二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．105二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．106二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．107二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．108二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．109二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面轴．110定义三、柱面观察柱面形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动直线所形成曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面准线，动直线叫柱面母线.111定义三、柱面观察柱面形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动直线所形成曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面准线，动直线叫柱面母线.112定义三、柱面观察柱面形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动直线所形成曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面准线，动直线叫柱面母线.113定义三、柱面观察柱面形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动直线所形成曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面准线，动直线叫柱面母线.114定义三、柱面观察柱面形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动直线所形成曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面准线，动直线叫