2023届 高三高考数学一轮复习 一元二次不等式的解法 课件 91张

第3讲一元二次不等式的解法第二章不等式1基础知识整合PARTONE交点大于判别式Δ≥0两相异两相等没有

x<x1或x>x2

x1<x<x2∅R∅1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．1．(2022·福建漳州模拟)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝(

)A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析由题意得T＝{x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－2}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．答案解析答案解析答案解析答案解析答案－14答案解析6．(2022·安徽芜湖模拟)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.答案[0,4)答案解析2核心考向突破PARTTWO多角度探究突破考向一一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)9x2－6x＋1>0；(4)x2<6x－10.解解解(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，画出函数y＝x2－6x＋10的图象如图④所示，由图象可得原不等式的解集为∅.解解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R或∅)．(3)求：求出对应的一元二次方程的根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．解解解例2

(2021·山东省枣庄市第三中学高三学情调查)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解解解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．解原不等式化为(x－a)(x－a2)>0.①当a2－a>0，即a>1或a<0时，解不等式，得x>a2或x<a；②当a2－a<0，即0<a<1时，解不等式，得x<a2或x>a；③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，解不等式，得x≠a.综上，当a>1或a<0时，不等式的解集为{x|x>a2或x<a}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0或a＝1时，不等式的解集为{x|x≠a}．解

2.解不等式：x2－(a2＋a)x＋a3>0.解解答案解析例4

(1)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为(

)答案解析考向二三个二次的关系答案解析答案解析已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．答案解析答案(－2，－1)(答案不唯一)答案解析多角度探究突破答案考向三一元二次不等式恒成立问题例5

(1)(2022·豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(

)A．[0,1]B．(0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析(2)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，2] B．(－∞，－2)C．(－2,2) D．(－2,2]答案解析一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0答案解析答案解析(2)若对于x∈[1,3]，mx2－mx＋m－6<0(m≠0)恒成立，则m的取值范围是________.答案解析解析(3)若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________.答案解析在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.(3)对于以下两种题型，可以利用二次函数在端点m，n处的取值特点确定不等式求范围．①ax2＋bx＋c<0(a>0)对x∈[m，n]恒成立；②ax2＋bx＋c>0(a<0)对x∈[m，n]恒成立．提醒：一般地，知道谁的范围，就选谁当主元；求谁的范围，谁就是参数．如本例(2)中建立关于x的函数，m为参数，本例(3)中建立关于m的函数，x为参数．答案解析8．(2022·山东济宁月考)已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立．则实数m的取值范围是________.答案解析答案解析解析解决不等式能成立问题的策略一般也是转化为函数最值，即a>f(x)能成立⇒a>f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.答案解析已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．自主培优（三）分类讨论思想在不等式中的应用解(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时，不等式的解集为(－1，a＋1)．解答题启示解一元二次不等式时，心中要有对应一元二次函数的图象(抛物线)，主要是弄清抛物线的开口方向、与x轴交点的横坐标．由此想到解含参数的一元二次不等式，首先按二次项系数为正、负、零三类讨论，二次项系数非零时，再按判别式为正、负、零三类讨论，判别式非负时(如本例)，再按对应一元二次方程的两个根的大小关系分类讨论．解对点训练(2021·厦门模拟)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．3课时作业PARTTHREE解析在C项中，对于方程x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集为R.答案解析答案解析3．(2022·淄博二模)已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(

)A．100台

B．120台

C．150台

D．180台解析由已知得，产量为x台时，总售价为25x.欲使生产者不亏本，必须满足25x≥3000＋20x－0.1x2，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C.答案解析答案解析当x>0时，f(x)＝x＋2，代入不等式f(x)>x2得x＋2<x2，即(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，所以不等式f(x)<x2的解集为(2，＋∞)；当x≤0时，f(x)＝x－2，代入不等式f(x)<x2得x－2<x2，解得x∈R，所以不等式f(x)<x2的解集为(－∞，0]．综上，不等式f(x)<x2的解集为(－∞，0]∪(2，＋∞)．故选A.解析答案解析6．(2021·皖南八校联考)若集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案解析7．(2022·济宁调研)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2022－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(

)A．a>c>b>d B．a>b>c>dC．c>d>a>b D．c>a>b>d解析f(x)＝2022－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2022，又f(a)＝f(b)＝2022，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示．由图可知c>a>b>d，故选D.答案解析8．(2021·青岛模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(

)A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案解析答案解析答案解析解析因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x]－3)([x]＋4)≤0，所以－4≤[x]≤3，又因为[