中考数学专题：二次函数综合题带答案

二次函数综合题类型一 线段、周长、面积问题如图，直线y=- 抛物线y=ax2+bx+

xyBCAx轴上，∠ACB=90°，经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）MBCMMH⊥BCHMD∥yBCD△DMH周长的最大值．如图，在平面直角坐标系中，直线5+5与xy轴分别交于ACy＝x2+bx+cxB．B点坐标；MxMAMBBCMAMBCMAMBC的面积；2P2⊙BPC、PAP+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．y=ax2+bx-4A（2，0）B（-4，0），yC．求这条抛物线的解析式；1P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPCP的坐标；2ACxED，M为抛物线的顶点，DEG△CMGG不存在，请说明理由．y=ax2-3ax-4aC（0，2），xAB（AB左侧），BCy=kx+1（k＞0）yDBCEBCF．B的坐标；是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E说明理由．类型二 存在性问题xA，ByC（0，-2），A的坐标是0），PPPD⊥xDBCE，抛物x=-1．求抛物线的函数表达式；PPE=OD△PBE的面积．在MBCxM，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．tan∠ABC=2B的坐标为y=-AB两点．求抛物线的解析式；PABP作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；PDM△ABMM的坐标；若不存在，请说明理由．ABOCAC的坐标分别是4）、，），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形A′B′OC′．AA′，求此抛物线的解析式；在M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；在PxQ坐标为（1，0），PNBQPN的坐标．7.如图，二次函数a+b+4的图象与x轴交于点（-，0），B（4，0），yCD，其BCExl分别交抛BCPFl右侧（不含对称轴）xB点．y=ax2+bx+4BC所在直线的表达式；lDEFPP的坐标；CP，CDl移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F△DCEP请说明理由．类型三角相等问题8. A（-1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．求抛物线解析式；BCP，使△PBC面积为1；在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q∠BQC=∠BACQ点坐标；若不存在，说明理由．9. A（-1，0），B（4，0），C（0，3）为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．求抛物线的函数表达式；1DE长度的最大值；2ABFCD，CFD△CDE∠CFOD的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】解：直线y=- x+∴B（3，0），C（0，

分别与x轴、y轴交于B、C两点，），∴OB=3，OC= ，∴tan∠BCO= = ，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴ =tan30°= ，即= ，解得AO=1，∴A（-1，0）；抛物线y=ax2+bx+ 经过两点，∴ ，解得 ，∴抛物线解析式为y=- x2+ x+ ；∵MD∥y∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH= DM，∴△DMH的周=DM+DH+MH=DM+DM+ DM=∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵MBC上方抛物线上的一点，

DM，∴可设M（t，- t2+ t+ ），则D（t，- t+ ），∴DM=- t2+ t+

-（- t+

）=- t2+

t=- （t-）2+ ，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时 DM= × = ，即△DMH周长的最大值为 ．【解析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；∠MDH=∠BCO=60°Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MHDMMDM的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．思想等知识．在中注意函数图象与坐标的交点的求法，在中注意待定系数法的应用，在DH、MHDM的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．2.【答案】解：（1）直线y=-5x+5，x=0时，y=5∴C（0，5）y=-5x+5=0时，解得：x=1∴A（1，0）∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，∴ 解得： ，∴抛物线解析式为y=x2-6x+5；当y=x2-6x+5=0时，解得：x1=1，x2=5∴B（5，0）；1MMH⊥xH，∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB=5-1=4，OC=5△∴SABC=AB•OC=×4×5=10△∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2-6m+5）（1＜m＜5）∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5△∴SABM=AB•MH=×4（-m2+6m-5）=-2m2+12m-10=-2（m-3）2+8△ABC 2 ∴S =S +S =10+[-2（m-3）+8]=-2（m-3ABC 2 四MBC △ △∴当m=3，即M（3，-4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；2xD（4，0），PDCD，∴BD=5-4=1∵AB=4，BP=2∴∵∠PBD=∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD=AP∴PC+PA=PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小∵CD=∴PC+PA的最小值为 .【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最大值，解一次方程（组）和一元二次方程，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短．求线段与线段的几分之几的和的最小值，一般将“线段的几分之几”进行转换，变成能用“两点之间线段最短”的图形来求最小值．y=-5x+5AC坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B标．xAMBC△ABC△ABMABC△ABC面积；设点MmMxmMH△ABM的面△ABMmmMAMBC的面积最大值．D坐标为BD=1，进而有，再加上公共角∠PBD=∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得等于相似比，进PD=APCPD+PA=PC+PD=CD最小．用两点间CD的长．3.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax+bx-4经过点A（2，0），B（-4，0），∴ ，解得 ，∴抛物线解析式为y=x2+x-4；（2）1OPP（x，S，由题意得C（0，-4），

），其中-4＜x＜0，四边形ABPC的面积为∴S∴SS S △AOC △OCP △OBP= + ，=4-2x-x2-2x+8，=-x2-4x+12，=-（x+2）2+16．∵-1＜0，开口向下，S有最大值，∴x=-2ABPC此时，y=-4P（-2，-4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（-2，-4）．（3） ，∴顶点M（-1，-）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y=kx+b，且过点A（2，0），M（-1，-），∴ ，∴直线AM的解析式为y= -3．在Rt△AOC中，∵DAC的中点，∴ ，

=2 ．∵△ADE∽△AOC，∴ ，∴ ，∴AE=5，∴OE=AE-AO=5-2=3，∴E（-3，0），由图可知D（1，-2）设直线DE的函数解析式为y=mx+n，∴ ，解得： ，∴直线DE的解析式为y=- -．∴ ，解得： ，∴G（ ）．【解析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答；△AOC OCP △连接OP，由S=S +S +S ，可得出关于△AOC OCP △函数的最值问题求出点P的坐标；AMDEGAM的解析式，再由△ADE∽△AOCEDEAMDEG点坐标．函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题．理解坐标与图形性质；会运用数形结合思想解决数学问题．解：（1）C（0，2）y=ax2-3ax-4a得：-4a=2．解得a=-．则该抛物线解析式为y=-x2+x+2．由于y=-x2+x+2=-（x+1）（x-4）．故A（-1，0），B（4，0）；（2）存在，理由如下：由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，∴CD∥EG，∴ = ．∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．∴CD=2-1=1．∴ =EG．设BC所在直线的解析式为m+m≠）．将B（4，0），C（0，2）代入，得 解得 ．∴直线BC的解析式是y=-x+2．设E（t，-t2+t+2），则G（t，-t+2），其中＜t＜4．∴EG=（-t2+t+2）-（-t+2）=-（t-2）2+2．∴ =-（t-2）2+2．∵ ＜0，∴当t=2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．（1）CaAB的坐标；（2）EyEG∥yBCG，根据平行线截线段成比数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强，难度不是很大．解：（1）A的坐标是x=-1B（-4，0），则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a（x2+2x-8），即：-8a=-2，解得：a=，故抛物线的表达式为：y=x2+x-2；将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为x-2，则tan∠ABC=，则sin∠ABC= D（x，0），P（xx2+x-2），E（x，∵PE=OD，∴PE=（x2+x-2+x+2）=（-x），解得：x=0或-5（舍去x=0），即点D（-5，0）

x-2），S =×PE×BD=（x2+x-2+x+2）（-4-x）=；△PBEBD的情况，BD=1=BM，M则y=-BMsin∠ABC=-1× =- ，Mx则 = ，xM故点，- ）．【解析】（1）点A（2，0）、点B（-4，0），则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a（x2+2x-8），即可求解；（2）PE=OD，则PE=（x2+x-2-x+2）=（-x），求得：点D（-5，0），利用S PE×BD=（x2+x-2-x+2）（-4-x），即可求解；M（3）BD=1=BM，则y=-BMsin∠ABC=-1× =- ，即可求解．M主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6.【答案】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C（-2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴ ，∴ ，∴AC=6，∴A（-2，6），把A（-2，6）和B（1，0）代入y=-x2+bx+c得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；（2）①∵A（-2，6），B（1，0），易得AB的解析式为：y=-2x+2，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），∵PE=DE，∴-x2-3x+4-（-2x+2）=（-2x+2），x=1（舍）或-1，∴P（-1，6）；②∵MPDM（-1，y），∴AM2=（-1+2）2+（y-6）2=1+（y-6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：当∠AMB=90°AM2+BM2=AB2，∴1+（y-6）2+4+y2=45，解得：y=3

，）或（-1，3- ）；当∠ABM=90°AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y-6）2，y=-1，∴M（-1，-1），当∠BAM=90°AM2+AB2=BM2，∴1+（y-6）2+45=4+y2，y= ，∴M（-1，）；M）．

）或（-1，3- ）或（-1，-1）或（-1，【解析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①AB的解析式为：y=-2x+2PD⊥xP（x，-x2-3x+4），E（x，-2x+2），PE=DEP的坐标；M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM为、、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．论思想的应用．7.【答案】解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为：（4，0），∵AC的坐标分别是、（-1，0），CA∴ ，解得： ，∴此抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；1AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+m，∴ ，解得： ，∴直线AA′的解析式为：y=-x+4，设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），

=×4×[-x2+3x+4-（-x+4）]=-2x2+8x=-2（x-2）2+8，′△AMA∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S =8△AMA′∴M的坐标为：（2，6）；P的坐标为（x，-x2+3x+4），P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），∴点B的坐标为（1，4），∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴-x2+3x+4=±4，当-x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）；当-x2+3x+4=-4∴P3（ ，-4），P4（

，x4= ，，-4）；②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（ ，-4），P4（ ，-4）；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．【解析】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．ABOCO90°A′B′OC的坐标是A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点CA、A′的抛物线的解析式；AAAA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），△AMA得答案；BQBQ.8.解：1）将点A（-0）（，），代入a2+b+，得： ，解得： ，∴x=0时，y=4，∴C（0，4），BCC（0，4）B（4，0）得： ，解得： ，∴BC所在直线的表达式为：y=-x+4；∵DE⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y=-x2+3x+4=-（x-）2+ ，∴点D的坐标为：（，），x=y=-x+4y=-+4=，∴点E的坐标为：（，），∴DE= -= ，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，-t2+3t+4），F的坐标为：（t，-t+4），由DE=PF得：-t2+4t= ，1 解得：t=（不合题意舍去=，当t=时，-t2+3t+4=-（）2+3×+4= 1 ∴点P的坐标为（，）；2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED=∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，PC∠DC，∴只有∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴ = ，∵C（0，4）、E（，），∴CE= = ，由（2）得，PF=-t2+4t，F的坐标为：（t，-t+4），∴CF=∴ = ，

= t，t≠，∴ 解得，当t= 时，-t2+3t+4=-（）2+3× +4= ，∴P的坐标为：（，）．【解析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y=-x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可DE∥PFDE=PFDEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE= ，设点P的横坐标为则P的坐标为：（t，-t2+3t+4），F的坐标为：（t，-t+4），由DE=PF得出方程，解方程进而得出答案；由平行线的性质得∠CED=∠CFP，∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，则= ，得出方程，解方程即可．本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．解：（1）y=a（x+1）（x-3），将C（0，1）代入得-3a=1，解得：a=-，∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1．PPD⊥xBCD．设直线BC的解析式为则 ，解得：k=-，∴BCyP（x，-x2+x+1），则D（x，-x+1）∴PD=（-x2+x+1）-（-x+1）=-x2+x，∴S =OB•DP△PBC=×3×（-x2+x）=-x2+x．又又△PBC∴-x2+x=1，整理得：x2-3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．如图：∵A（-1，0），C（0，1），∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．∵∠BQC=∠BAC=45°，∴Q△ABCx设△ABC∠CMB=90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y=-x，AB的垂直平分线为直线x=1，∴My=-xx=1M（1，-1），∴Q的坐标为（1，-1- ）.函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M⊙M键．y=a（x+1）（x-3），C（0，1）a的值即可；PPD⊥xBCDBCy=-x+1P（x，-x2+x+1），D（x，-x+1），PDx△PBC的/r