牛顿运动力学

同学们好同学们好！同学们好！我就象一个在海滩上的小孩，偶尔拾到一块较光洁美丽的圆石，牛顿而真理的大海我并未发现。我就象一个在海滩上的小孩，偶尔拾到一块较光洁美丽的圆石，牛顿而真理的大海我并未发现。1本章题头同学们好！同学们好！我就象一个在海滩上的小孩，偶尔拾到一块较光洁美丽的圆石，牛顿而真理的大海我并未发现。我就象一个在海滩上的小孩，偶尔拾到一块较光洁美丽的圆石，牛顿而真理的大海我并未发现。114INATURALISPHILOSOPHIATHEMUNDISYSTEMATELIBERTERTIUS第二章牛顿牛顿牛顿运动定律运动定律运动定律Newton'sLawofMotionNewton'sLawofMotionchapter2chapter22内容提要牛顿运动定律常见的几种力牛顿运动定律的应用本章内容Contentschapter23第一节ss2-1Newton'slawofmotion牛顿运动定律4第一定律一牛顿第一运动定律惯性定律、“任何物体都保持静止或沿一直线作匀速运动状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。”牛顿《自然哲学的数学原理》F=0时，v=常量。即力改变物体运动状态的原因。1.惯性物体不受外力作用时总保持其原来运动状态不变的属性。2.v矢量方向和大小都保持不变匀速直线运动或静止5惯性小球对地面参考系静止水平光滑惯性系惯性定律成立的参考系。3.如果车厢相对地面为静止，则小球对车厢参考系也静止如果车厢突然加速小球保持其原来的静止状态，小球对地面参考系仍然静止但对于加速运动的车厢来说，小球却发生了运动。车厢突然加速6惯性系水平光滑车厢突然加速球仍然没有动！球动了！惯性系惯性定律成立的参考系。3.惯性定律成立以地面为参考系地面：惯性系以加速运动的车厢为参考系惯性定律不成立加速运动的车厢：非惯性系凡相对于惯性系静止或作匀速直线运动的参考系也是惯性系。从理论上说，地球有自转和公转，不是严格的惯性系。但在一般工程技术中，以地球为惯性系，就能以相当高的精度满足实际要求了。7牛顿第二定律牛顿第二运动定律二、“运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在这力所沿的方向上。”牛顿《自然哲学的数学原理》((dtdFvm即Fmmadtdvmv与无关时、aaFaFa力的量度对同一物体先后施力测、F1F21212由21比较力的大小。1.m质量这里是物质惯性大小的量度，称为惯性质量。2.8分量式Fmdtdmav应用第二定律时需注意：Fa和同时产生，同时变化，同时消失。Fa是合外力，是合加速度，二者方向恒相同。aSI制Fm力牛顿（N），质量千克（kg）加速度米·秒（m·s）22求解力学问题时常用第二定律的分量式：FamFamFamFamFamtxzynxyznt9牛顿第三定律牛顿第三运动定律三、“每一个作用总有一个反作用与它对抗；或者说，两个物体之间的相互作用永远相等，并指向对方。”牛顿《自然哲学的数学原理》FF12→2→1即作用力与反作用力成对出现，施受并存，分别作用于施受者。1.作用力与反作用力必属同一性质的力（如弹性力、摩擦力等）。2.第三运动定律对物体的万有引力、弹性力、摩擦力、静电力等作用都适用。对电磁运动中的某些特殊情况第三定律失效。3.10要点归纳FF12→2→1要点归纳：ssss2.1牛顿运动定律第一定律第二定律第三定律((dtdFvmmmadtdvF=0时，v=常量。适用条件：惯性系、质点的运动、低速运动11小议

在惯性参考系中，若物体受到的合外力为零，则物体随堂小议（请点击你要选择的项目）（1）一定处于静止状态，因为其加速度为零；结束选择（2）不一定处于静止状态，因为加速度为零只说明其速度不变。12第二节ss2-2常见的几种力severalofcommonforces13引力一万有引力重力、万有引力定律宇宙中任何两物体之间都存在相互吸引力FGr2m12m万有引力常量G6.671011mNkg22质量反映了物体的引力性质，称为引力质量。它与惯性质量在意义上虽然不同，但它们都是对同一质量的两种表现，在本课程中不再加以区分，统称为质量。万有引力定律用于计算两个质点间的引力。14例例求下述两种情况下，球体所受的万有引力FFFkg100kg1001mm5.9771024kgMe6370kmRe,Me6370kmRe,地球地球地表附近1kgFFGr2m12m6.671011100121006.67107N9.82NFGr2m12m6.67101115.9771024G2mReMe26370((103m因此，在地表附近质量为的物体所受地球的万有引力，可作专门表达：PmG2ReMe((mgP,g重力称为称为重力加速度15例解法提要FGr2m12mG2mReMePmG2ReMe((mg万有引力重力6.181024kgGMeg2Re6.6710119.8126370((103已知地表附近重力加速度9.81gms2---地球半径地球半径万有引力常量万有引力常量G6.671011-----G6.671011-----Nkgm2-2Nkgm2-26370km--Re6370km--ReMeMe求求质量质量地球地球mP例16例解法提要FGr2m12m万有引力PmG2R地M地((m地球表面重力地g地PmG2R月M月((m月球表面重力月g月g月G2R月M月GM地((2R地22G2R地M地((g地813.73.7813.781~~ms213.78161g地g地1.649.816已知求月球表面重力加速度MMRRgms2地地地813.79.81月月月g例17弹力二弹力、弹性物体受外力形变而产生企图恢复原状的力。三种常见形式的弹力：1.正压力支承力NNNN正压力N支承力NNN,重物对平面或斜面的压力平面或斜面企图恢复形变而对重物的作用力一对作用与反作用力2.拉力f21f拉力1T2T张力f21f1T2T2T1T,f21T1f2T轻绳（忽略质量）内部弹力静止或匀速直线运动时绳内各处张力T相等大小而且同理也可分析细棒受压3.弹簧的弹力xoxxfxxkxfk轻弹簧（忽略质量）无形变被拉伸被压缩弹力弹力胡克定律弹簧的劲度系数18摩擦力三摩擦力、两固体接触面相互挤压，沿接触面方向有相对运动或相对运动趋势时，接触面上产生的相互作用力。1.静摩擦力物体无相对运动趋势，接触面间不存在摩擦力。sfsf的大小与物体受的其它力有关，的方向总是与物体方向相反。（传动带上的物体靠静摩擦力起作用）相对滑动趋势FsfPNPsfNa物体有相对运动趋势，但仍处于静止，接触面间出现的摩擦力为sf静摩擦力ms称为静摩擦系数sfmsNmaxsfsf与平衡的力大到物体将要开始相对最大静摩擦力为滑动的极限时，19续上滑动摩擦力2.kfrfkfmkN沿两相互挤压的固体接触面方向有相对滑动时的摩擦力称为滑动摩擦力，用或表示，称为mkmr(或）滑动摩擦系数滑动摩擦力总是与相对滑动的方向相反。mMF例已知各接触面间均有摩擦mM运动过程中相对静止、m受123重力支持力静摩擦力M受重力支持力静摩擦力abcdef正压力滑动摩擦力推力mM与间的作用作用力与反作用力2b与3与d20要点归纳常见的几种力万有引力重力弹力摩擦力要点归纳：ssss2.2万有引力定律用于计算两个质点间的引力。21第三节ss2-3applicationsofNewton'slawofmotion牛顿运动定律的应用22应用须知应用牛顿运动定律解题的一般步骤审题定对象要研究哪几个物体的相互作用，作何种运动（直线、曲线、匀速、变速…）隔离查受力对选择的对象，分别画受力图（隔离体图）确定隔离体的力和加速度、速度的关系。选系立方程选惯性系，建立坐标系（直角或切、法向坐标）分别对隔离体的力和加速度的关系列出方程。解算判结果将各方程联立求解。求解可能用到已学过的初等或高等数学方法。最后判断结果是否合理。23例1((2((a求上滑的加速度A滑至最高点时，是否会下滑？Ps例PqmA已知sv025m/s最高点0.6430°P+N+fmak建立坐标系，列牛顿运动方程解法提要1((xoyijqNPkfA对象：减速直线运动受力图aay0ma((sin+0qP+fkcos+0qP+Nm0ayNfkm,mPg解得((cosqa+mgsinq10.3ms22((Ps滑到点时速度为0，受到的最大静摩擦力为NfPcosqmsmaxm0.64Pcos30°0.55P而此时沿斜面方向所受的下滑力为AsinfsmaxP30°0.5P因此，不会往下滑24例例已知在铅直平面内小球绕着绳端O作变速圆周运动OxyRvqmOs求图中状态下,小球的1((2((切向加速度at受绳的拉力T3((合加速度a解法提要在地球参考系中建立自然坐标系对象：小球mgTOOs向法切向qR切向方程:ftmatmgsinqT+mgqcos法向方程:fnmanmRv2解得atgsinqTmgqcosmRv21((2((3((aat2+an2gsinq+22Rv4225例问

将板从物桌间抽出，至少要用多大的力Fmk=0.25mS=0.30桌物M板mF已知m=1kgM=2kg板与桌之间板与物之间滑动摩擦系数静摩擦系数解法提要fsmFmgNm桌fkfsNm

MNMmMMgaMam以桌面为静止参考系，要从中抽出木板，板桌间为滑动摩擦；板物间的静摩擦力不能让板将物一起带走，其条件是amaMM：fs=mS

NMm=mS

Mg

=MaM得aM

=mSgm：F

–fs–fk=m

am即F

–mSMg–mk(m+M)g

=m

am得am=[F

–mSMg–mk(m+M)g

]m1amaM令解得F(mk

+mS

)(m+M)g=16.17N26两类问题牛顿运动定律将质点运动规律与力联系起来，属动力学问题。质点动力学中也有两类基本问题已知求()tr合外力F求导a2ddtr2第一类()t质点的m及初始条件()tr,()t或积分按具体情况分离变量求积第二类质点的mF()tF()v,F()rv()rv或27例mxamAtwsinw2yFxFmamtww2yBcos求作用于质点的力F((rxa2ddtx22ddt2()tAwsinAtwsinw2ya2ddt22ddt2()ytwcosBtww2Bcos解法提要)xFFxyFij+(mw2twsinAi+twcosBjmw2(i+yj)mw2r已知平面上运动运动规律某质点质量mXYyxBtAwsincostwABw为常数在例28例xvddttdxvd0xdx0Fm2tt20tdtx0F6mtt30dvt0Fmdtv0ttv0Fm2tt2ddtF由mv有tt0Fmddtvdvtt0Fmdt解法提要XX某电车启动过程牵引力tFt00Fmt启动时间及0F均为常数t0时vx00求v()txt(),例29例xmFF

=10+6x2(SI)m=2kgO已知x0=0v0=0处例求x

=4m处的速度vF

=m

=m=mv

=

10+6x2dxdtdvdtdvdxdvdx0xmv=

(10+6x2

)dvdx0v=

(10x

+2x3

)21mv2v0x0v=m2(10x

+2x3

)x

=4=22(40+2×4

3

)=13m·s-1解法提要mv=

10+6x2dvdxmv=

(10+6x2

)dvdx，30例跳后61秒开伞一次延迟开伞跳伞记录4600米s

=v0t+gt

221=0+0.5×9.8×612=18233（米）早就撞地了！如果不考虑空气阻力，当成自由落体并应用下述简化模型如果考虑空气阻力与物体形状、截面、空气密度等物理因素有关设空气阻力大小且方向与速度相反rfv2kk31例跳后61秒开伞一次延迟开伞跳伞记录4600米Yvrfmgmamgrfmmgamv2krfv2kva故增大时反而减小，vvfa0时该次试验测得的收尾速度约为每秒53米。2即mgvf0k物体开始以此速度作近似匀速运动mgvfk收尾速度32例xddtmvFrkvkddtxdmdvk得xdx0v0dvmk0止mkv0x止停机后船沿X正向运动，阻力与船速方向相反。关键是要找到船速与位置的关系，vx即从vv00x从0时x止解法提要mvX0已知停机时船速0，阻力kFrv问船还能走多远？例33例另例my从静止下沉Ovfr阻力速度kfrv已知求1((2((v((t收尾速度mgfrlnmgvkmgmtkmgvkmgemtk0tv((dmgvkmgvkmdtk0vmgk(1emtk(解法提要mdtdmgfrv1((得收尾速度2((t8v收尾mgk直接由mmgvka当增大到阻力使va0时，即为收尾速度。mgvk0mgvk得mgmdtdvvkmdtdvmgvk，34完第二章完35备选题集备选题集36例k串联并联证明弹簧1k2k+k1k2k+1k2k1k2k+xxkx1k2k+kF12F+Fx1x2xF11kx12F2kx2Fkxx1+x2xFF12FF11k+2F2kFkk12k1+1k1Fx1x2x1k2k串联并联共同不同不同xxx1k2kF得得37例PAkBk均为原长AkBkAk1000N·m-1Bk1200N·m-1两弹簧均为原长P已知铜环在点时Q求铜环在图中点时，两弹簧分别对铜环的作用力解法提要铜环在点时，Q弹性恢复力大小A受拉，B受压1000×0.2200NFAAkyAFBBkxB0.2(0.2cos

45º(1200×1200×0.082899.4N弹性恢复力作用在铜环上的方向为FAFBPQ0.2m0.2mAB38例m=10kgq37°F=20NmK

=0.1已知N–P–Fsinq

=0N=P+Fsinq

=

mg+Fsin37°=10×9.8

+

20×0.602=110NfK

=mK

N=0.1×110.04=11N指向左边问物体所受摩擦力f？方向指向哪边？k解法提要xyqFPNfK39例Fmk=0.5匀减速，到停止。v0=16.67m·s-1已知求S设物体质量为m，因在水平方向只受摩擦力作用，则fk

=

mkN=

mkmg=ma

得a=mkg代入S式匀减速直线运动v

2

=

v02–2aS末速v

=0，得S=

v022a解法提要

v02

v02S=2a=2mkg=16.6722×0.5×9.8=28.4m40例砝码托盘45ºRO砝码m=0.2kgR=0.5m匀速率v=1m·s-1已知求1((2((砝码受托盘的摩擦力fs砝码受托盘的支承力NRNmgnaOta45。0fs解法提要m0atmgcos45。Ncos+45。cos45。fs切向：匀速率at0法向：Ncos+mgcoscos45。45。45。fsmnamRv2切、法向两式联立解得：2×0.5×0.7070.2×12

fsR2cos45。m2v0.283NNmgR2cos45。m2v0.2×9.82×0.5×0.7070.2×12

1.68N41例求1((两物体的加速度及相互作用力2((水平面对它们的支承力水平光滑ABFm1m2已知m1=5kgm2=3kgF=10N解法提要BAN2N1T1T2m2gFm1gaa1((F=m1+

m2a((a=m1+

m2F=5

+

310=1.25Nm1+

m2m2FT2=m2a==3×1.25=3.75N=T12((N2=m2g

=3×9.8=29.4NN1=m1g

=5×9.8=49.0N42续上问

将板从物桌间抽出，至少要用多大的力Fmk=0.25mS=0.30桌物M板mF已知m=1kgM=2kg板与桌之间板与物之间滑动摩擦系数静摩擦系数fkmFmgNm桌fsfkNm

MNMmMMgaMamM：fk=mkNMm=mkMg

=MaM得aM

=mk

gm：F

–fk–fs=m

am即F

–mk

Mg–ms

(m+M)g

=m

am得am=[F

–mk

Mg–ms

(m+M)g

]m1amaM令同样可以解得F(mk

+mS

)(m+M)g=16.17N以桌面为静止参考系，只要保证满足条件，即使将上面所考虑的木板两表面的滑动摩擦和静摩擦的情况进行互换，也可以得到同样结果，即amaM43小议链接一

在惯性参考系中，若物体受到的合外力为零，则物体随堂小议（请点击你要选择的项目）（1）一定处于静止状态，因为其加速度为零；结束选择（2）不一定处于静止状态，因为加速度为零只说明其速度不变。44小议链接二

在惯性参考系中，若物体受到的合外力为零，则物体随堂小议（请点击你要选择的项目）（1）一定处于静止状态，因为其加速度为零；结束选择（2）不一定处于静止状态，因为加速度为零只说明其速度不变。45例例已知mM桌Mm间m静摩擦系数m桌间动摩擦系数mr解法提要参照系：桌面对象：,mM,M隔离体图：MNMgfmNgmTffNMMTMg求起码要挂多大的M才可抽出maa时可抽出m三式联立，并考虑M((g-m1+mmgmMgmr((+mMg+解得若用手直接用力去抽，可少列M方程，结果所有不同。MMfmMgMa,amg对M:T-mMg-mr((+mMgma对m1aT-mMg-mr((+mMgm:Mg-TaMTM(g-a(,对M:46例参照系：地面对象：m解法提要圆坐标系常较方便。圆周运动取吊车转到时求q轴乘受到吊轴的竖直支持力水平作用力Nfp4例已知qmRwwdtdq常量kSqR因故题目暗示是作匀速率圆周运动mdtdqvRSdtdRwta0,Rk切向：法向：Ncos+fcosmgcosma0tmnamRv2Rm245。45。45。Nfcos+mgcoscos45。45。45。k联立解得fRm2kcos245。,NmgRm2cos245。kRfNmgnaOmta45。047续上rFF

恒与

r

反向匀角速椭圆运动XYOBAmwFFxi+结果图示yFj)(mw2A+twcosBjtwsinixmw2(i+yj)mw2r48例例小球光滑粗糙mm0vR已知求绕行一周回到起点处小球的速率mRvrfNO任意时刻解法提要rfmtadtdvmmNNamnmv2R联立消去得：Ndtdvmmmv2R分离变量得：dtdvv2mR1dt换元dSdtdSv得dvv21mRvdS整理后取积分dvv1mRdS0vpR20vlnv0vmp2ev0vmp2ev0vmp2结果49例对象：m1m2,例m1光滑m2θm2m1求和的加速度解法提要隔离体受力图：m2m1θm1gm2gNNR如何选惯性系求加速度？光滑桌面50光滑续上m1光滑光滑桌面如何选参照系坐标系分别写出两滑块对惯性系的加速度矢量加速度分量m2光滑θa1a2–1OOYX加速度分量xa1a1ya10xa2cosqa2–1a1ya2sinqa2–1a1m1：a相a绝+a牵加速度矢量a2–1a1+a2m2:51续例例m1光滑m2θm2m1求和的加速度解法提要隔离体受力图：m2m1θm1gm2gNNR如何选惯性系求加速度？光滑桌面对象：m1m2,m1Nsinqa1NNm2Nsinq((a2–1cosqa1Ncosqm2gsinqa2–1联立解得m12xasinqcosqg2m1+m2sinq2ya2(m1+m2(sinq2m1+m2sinqga1m2sinqcosqg2m1+m2sinqa2–1(m1+m2(sinq2m1+m2sinqg代回得：a1a1a2–1xa1a1ya10对：m1对m2：2xaa2–1cosqa12yasinqa2–1YOX地面惯性系立坐标系52例解法提要铅直平面求在此圆周运动中转角为θ时小球的速率轻绳的张力Tv例求v与θ的关系暗示是变速率圆周运动。对象：系着轻绳的小球m

。惯性系：静止的圆心；极坐标系R

θ

。,Fnamn用Fτamτ,较方便。TmgcosθRmv2vmgsinθmdtdtdθd设法换元vRθdvsddtθd((Rv求积整理得v2gRcosθ2gR+v02T3mgcosθ2mg+Rmv02代回得最高点θ=π,T=0

小球初速下限v05gR讨论：θdvv0vvgRsinθ0θd分离变量取积分θmgTvθvRθv0mTO53例例水平光滑桌面已知软绳全长l时，下垂段长t0h求任意时刻下垂段长度任意时刻0XPxFN设全绳质量为mt解法提要任何时刻全绳受力大小都等于该时刻下垂段所受的重力FFgmxl的质点受变力的作用，沿X

轴作变速运动。可看成是一个质量为mFFmx2ddt2gxmlmx2ddt2即glxx2ddt20这是一个二阶微分方程，如何求解，本课程目前不作要求。只要求大家理解建立这个方程的物理思想和方法。54例需要将速度是时间的函数转换成速度是坐标的函数去求解d(0.5

v

)2dxdvdtdxdtdvdxvdvdxd(2.5+

0.5

v

)2dx即()+v01255202d(2.5+

0.5

v

)2dx解法提要mdvdtm设列车质量为FF总则总阻力dvdtFF单位质量受总阻力FF总()+v01255202mt0v=25m/s；关电门时x=0，00v=10m/s时x=？，行进中的电气列车，每千克受阻力与车速的关系为FFXXv已知FF()+v01255202N当车速达25m/s时运行多远，车速减至10m/s求关电门，F例()+v01255202d(2.5+

0.5

v

)2dxx02510积分得x102×ln(2.5+0.5v2)179(m)102555基本自然力简介基本的自然力简介四、万有引力电磁力强力弱力一切质量不为零的物体间均存在万有引力。支配天体运动。带电粒子、宏观带电体间的电磁作用力。分子力、弹性力、摩擦力其本质亦属此类力。存在于核力、介子与超子之间的作用。存在于轻子、强子之间的作用。存在力程及强度量级类别力程无限远强度10-34N力程无限远强度102

N力程10-15m强度104

N力程小于10-17m强度10-2N*“强度”：是指两个质子中心距离等于它们的直径时的相互作用力。*自然力56受力图受力图受力图五、隔离分析受力法若分析对象有个或两个以上物体，应逐个隔离分析受力。PfNT料斗视为受力质点PfNT隔离料斗受力分析fNT料斗滑道钢丝索料斗运行时受力受力分析对象：料斗P57例书例2例ABFAB、A之间与平台之间都可能有摩擦力画1((F无时的AB、受力图，并指出每个力的反作用力。2((F有时的AB、受力图，并分析动、静两种可能性。2((TBABNBAPBfBAFANANABPATBAABfAfF有而未拖动时，三个摩擦力为静摩擦力F有且已拖动时，三个摩擦力为滑动摩擦力ABfAffBA,ss,sABfAffBA,kk,k1((BNBAANANABPBPAPBBNANABNABBNAB对地球的引力PAA对地球的引力NAA对台面的正压力58例书例3例2((分析下面两种情况下，球受几个力作用。1((水平面oa静止的球AC斜B面AF水平面oa斜B面CA1((oANACAP2((oFANACAPNAB两个四个（注意，题目只问受力的个数，没问大小）59例简例三力平衡条件P2N1N++0即2N1N+P1N2NP1N2NPPP60例书例41((2((求分析受力情况，求出各力大小。F25N若受力情况又如何。12N解法提要FPNfs1((A的受力图因竖向无运动力平衡NP30N水平方向是否能推动要算最大静摩擦力fsmaxNms0.530N15F不能将A压向墙壁，故A没受墙壁的正压力。只受到4

个作用力。例FAB90°已知A重量P30NA与地面间的静摩擦系数为ms0.5水平外力FN122((F25N若fsmax则A仍受到4

个作用力。FfsNP一旦顶死N1F25N推压过程N1FNP无运动趋势61例例mAmB30kg50kgθ=30°Fm

=0.1已知匀速前进所需F

值求1((及此时绳中张力T2((绳中张力T若F

=150N时，忽略细绳质量，张力大小TA

=

TB=

T分别对A、B列牛顿运动方程分量式A：xyFcosθ

-

T

-

fkA=

mAaFsinθ

+NA

–

mAg=0B：xyT

-

fkA

=mBaNB

–

mBg=0BAPAPBfkBfkATATBNBNAθFyx解法提要六式联立解出：fkA=mNAfkB=m

NB,a

=(cosθ+μsinθ)F

-μ(mA+mB)gmA+mBT=mB(a

+μ

g)=mB(cosθ+μsinθ)FmA+mB匀速,a=0

代入得1((F=μ(mA+mB)gcosθ+μsinθ=85.7NT=μmBg=29.4N2((用F

=150N

代入a式得a

=0.737m·s-2

T=mB(a

+μ

g)=51.5N如果A、B位置互换，计算将表明，绳子张力会变大，若绳子承受能力不够就会断。62惯性力光滑水平桌面m静止它相对于惯性系静止或作匀速直线运动也是惯性系看球F=0a=0定律也成立S惯性系看球F=0a=0定律成立F=m

a第四节是否可以变通一下，使也能借助第二定律的形式去求解力学问题？Sa惯性力惯性力ssss2.4Sa