电阻电感电容串联电路的电压电流关系

关于电阻电感电容串联电路的电压电流关系第1页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五【技能目标】1、学会正确使用电流表、电压表、万用表、功率表、电度表等仪表测量有关电学量。2、正确进行单相电路和三相电路的连接。【情感目标】1．培养学生积极的学习态度，建立健康的师生、同学之间的情感，引导学生形成正确的价值观。2．促进学生学习电路的重要性和必要性，培养学生既大胆又要小心谨慎的做事态度。第2页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五【想一想】我们日常生活中接触到的电压、电流是不是交流电？它们是如何产生的？【读一读】如果一个随时间按正弦规律变化的理想电压源作用于电路，则电路中的电压和电流也将随时间按正弦规律变化，并且电压与电流的实际极性也不断的随时间变更。这种随时间按正弦规律周期性变化的电压（电流），称为正弦交流电压（电流），简称正弦量。其表达式为：正弦电流波形如图：

图中，为振幅，为角频率，为初相位。正弦量的变化取决于以上三个量，通常把它们称为正弦量的三要素。

正弦量的三要素

第3页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五【议一议】1.我国的电力标准频率为多少?2.民用电中的220V指的是最大值还是有效值？【做一做】试用万用表去测试交流电压，并学会正确读数。【想一想】1．一个频率为的正弦电压，其有效值为220V，初相位为（—60º），试写出此电压的三角函数表达式。2．已知，求的最大值、有效值、角频率、频率、周期和初相位各是多少？第4页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五【想一想】若已知两个同频率正弦量的三角函数表达式，如何进行加、减、乘、除运算？【读一读】在分析电路时，常会遇到电量的加、减、求导及积分运算。如果正弦电压和电流都用时间的正弦函数来表示，运算过程将比较繁琐。在正弦交流电路中，各部分的电压电流都是同频率的正弦量。所谓相量表示，就是用复数来表示同频率的正弦量，它将使正弦交流电路的分析和计算大为简化。正弦量的相量表示第5页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五一、复数的表示方法1．代数式其中a，b分别称为复数A的实部与虚部。复数A也可以用复平面内的一条有向线段OA去描述，它称为矢量，如图所示：2．三角函数式其中称为复数的模，，称为复数的辐角

3．指数式4．极坐标式

第6页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五二、复数的运算1．复数的加减运算复数的加减运算规则是实部和虚部分别相加减，因此，复数的加减运算宜用代数形式进行。例如：，，则2．复数的乘除运算复数的乘除运算宜用指数形式或极坐标形式进行。例如：，则，或，三、正弦量的相量表示求解一个正弦量必须求得它的三要素。但在分析正弦交流电路时，由于电路中所有的电压电流都是同一频率的正弦量，而且它们的频率与正弦电源的频率相同，往往是已知的，因此我们只要分析另两个要素------幅值（或有效值）及初相位就可以了。正弦量的相量表示就是用一个复数来表示正弦量。为与一般复数相区别，正弦量的相量通常是在大写字母上面加小圆点表示，以强调它是与一个正弦量相联系的。如电流、电压的最大值相量符号为

、有效值相量符号为

、

第7页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五四、同频率正弦量求和运算在分析正弦交流电路时，常遇到两个（或两个以上）同频率量求和的问题。例如对于图所示电路，若已知两个频率相同流，，，求总电流。根据基尔霍夫电流定律有。对于两个同频率的正弦电流的求和，如果直接用三角函数式进行，运算将是相当繁琐的。但是我们可以将正弦量转换为相量，用以下步骤去求得同频率正弦量之和，即：已知：相量求和实际上是复数的求和运算也可在复平面上作相量图求和。

【议一议】如何对两个同频率正弦量用相量图进行求差运算?【想一想】1．电容器的额定电压为250V，问能否接在220V的交流电压上使用，为什么？2．若，，能否算出两者相位差为？第8页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五【想一想】电容及电感元件对直流电有什么特性？【读一读】

当一个实际元件中只有一个参数起主要作用时，可以近似地把它看成单一参数的理想电路元件。例如电阻炉和白炽灯可看作理想电阻元件；介质很小的电容器可看作理想电容元件。一个实际电路可能比较复杂，但一般来说除电源以外，其余部分可以用单一参数元件组成其电路模型。下面我们就来讨论单一参数电路元件的正弦交流电路，分析电路中电压、电流的有效值（或幅值）之间以及它们的初相位之间的关系。为方便起见，在讨论正弦交流电路时，可以在几个同频率正弦量中，令其中某一个正弦量的初相位为零，这个正弦量称为参考正弦量，它的相量称为参考相量。电阻、电感、电容元件的交流电路第9页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五一、电阻元件的正弦交流电路1．电压电流关系图是一个线性电阻元件的交流电路。电阻元件的电压电流关系由欧姆定律确定，在u、i参考方向一致时，两者的关系为设电流为参考正弦量，即则由以上两式可见，u、i为同频率、同相位的正弦量，可画出u、i的波形图和相量图，如图所示：u、i的幅值关系为u、i的有效值关系为电压电流关系的以上两点结论，可用相量形式表示为所以第10页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五2．功率在任一瞬间，电阻元件中的电流瞬时值与同一瞬间加在电阻元件两端的电压瞬时值的乘积，称为电阻的瞬时功率。由于电压与电流同相，所以在任一瞬间的数值都是正值，所以电阻元件总是从电源吸收功率，是一种耗能元件。在一个周期内耗能的平均值称为平均功率或有功功率，用表示，即

电阻元件的平均功率等于电压和电流有效值的乘积。有功功率的单位为瓦特（W）。结论：（1）电阻电路中，电压与电流的瞬时值、有效值、最大值均符合欧姆定律，即、、、（2）电压与电流同相。（3）电阻元件是耗能元件，有功功率第11页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五二、电感元件的正弦交流电路1．电压电流关系在u、i参考方向一致时，电感元件的电压电流关系为:在正弦交流电路中，若设电流i为参考正弦量，即则由以上两式可见，u、i为同频率的正弦量，可画出u、i的波形图和相量图，如图（b）、（c）所示。比较可知，电感元件上电压u超前电流i90u、i的幅值关系为:u、i的有效值关系为:式中称为感抗，单位为欧姆。同一个电感线圈，对不同频率的正弦电流表现出不同的感抗，频率越高，则越大。因此电感线圈对高频电流的阻碍作用大。电感元件上电压电流的相量形式表示为:所以

第12页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五2．功率电感电路瞬时功率为=上式表明，电感电路中瞬时功率是以的角频率变化的，当为正时，电感元件从电源吸收功率，将电能转为磁能，此时电感线圈起着负载的作用；当为负时，磁能又转为电能，回送到电源，此时电感线圈起着电源的作用。在一个周期内的平均值为：上式说明在一个周期内电感线圈“吞吐”能量相等，没有能量损耗，故有功功率为零，所以电感元件不是耗能元件，而是储能元件。为了衡量电感线圈与电源之间的能量互换的大小，采用瞬时功率的最大值来表示。这个能量互换的最大值为电感电路无功功率，用表示，即无功功率的单位为乏（var）。结论：（1）电感电路中电压与电流的一般关系为：、、、（2）电感元件上电压u超前电流i90。（3）电感元件是储能元件有功功率无功功率第13页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五三、电容元件的正弦交流电路1．电压电流关系在u、i参考方向一致时，电容元件的电压电流关系为:在正弦交流电路中，若设电压u为参考正弦量，即

则

由以上两式可见，u、i为同频率的正弦量，可画出u、i的波形图和相量图，如图（b）、（c）所示。比较可知，电容元件上电流i超前电压u90u、i的幅值关系为:或u、i的有效值关系为:式中称为感抗，单位为欧姆。同一个电容器，对不同频率的正弦电流表现出不同的容抗，频率越高，则容抗越小。因此，电容器对高频电流有较大的传导作用.电容元件上电压电流的相量形式表示为:所以第14页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五2．功率电容电路瞬时功率为:=

当为正时，电容器充电，电场储能；当为负时，电容器放电，电场能又送回电源。在一个周期内的平均值为=上式说明与电感器一样，电容器“吞吐”能量相等，没有能量损耗，有功功率为零，所以电容元件也是储能元件。同理，电容器与电源之间能量互换的过程中，瞬时功率最大值为无功功率，用表示，即结论：（1）电容电路中电压与电流的一般关系为:、、、（2）电容元件上电流i超前电压u90。（3）电容元件是储能元件有功功率无功功率第15页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五【想一想】1．电容元件C的容抗XC与电感元件L的感抗XL相等时，频率f应为多少？2．图所示正弦交流电路中，已知U=100V，，，你能求得电流表的读数吗？

3．在直流和正弦交流电路中，电阻上的电压表示式都是，其含义有什么不同？【做一做】1．电感元件的正弦交流电路，已知L=10mH，f=50Hz，V，求电流相量，并画出、的相量图。2．电容元件的正弦交流电路中，已知C=，f=50Hz，V，求电流。3．已知电流，分别写出有效值相量和最大值量。第16页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五【想一想】电阻、电容及电感元件对正弦交流电有什么特性？【读一读】前面我们讨论了单一参数电路元件的正弦交流电路。但实际器件的电路模型并不都是只由一个理想元件构成的，而往往是几种理想元件的组合，其中R、L、C串联电路是一种典型电路，单一参数电路、RL串联电路和RC串联电路都可以看成是它的特例。一、电阻、电感、电容串联电路的电压电流关系R、L、C串联电路如图所示，图中标出了各电压电流的参考方向。为了方便起见，选电流i为参考正弦量，即设由上一节讨论的结论可知

电阻、电感、电容串联的正弦交流电路第17页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五根据基尔霍夫电压定律可得三个同频率的正弦量（、、）之和为频率不变的正弦量，即由此可见电路中的五个电量（、、、、）都是同频率的正弦量，这里主要讨论、的相位关系和有效值关系。根据基尔霍夫电压定律的相量形式，由已知：=可分别作出、、、的相量图，如图所示，用相量求和的法则，作出电压的相量图。由相量图可知，电压相量与相量、（+）构成了直角三角形，称为电压三角形。由电压三角形可得将、、代入得因为具有阻碍电流的性质，称为电路的阻抗，用符号表示，它的单位为欧姆，即=阻抗和R、(XL-XC)的关系也可用直角三角形表示，称为阻抗三角形，如图所示。(XL-XC)称为电抗，用符号X表示，即X=(XL-XC)所以可以改写为=由电压三角形或阻抗三角形可知第18页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五由上述讨论可知，在R、L、C串联的正弦交流电路中，当电源频率一定时，电压和电流的相位关系和有效值关系都取决于电路参数（R、L、C）。u、i的相位差为u、i的有效值关系为R、L、C串联电路的电压电流关系也可用相量表示为=++=式中称为复数阻抗，简称复阻抗，用符号Z表示，即Z===注意：式中是复阻抗的辐角，也称阻抗角，它决定了R、L、C串联电路中、的相位差，由此得到：当XL=XC时，，Z=R，电路呈电阻性。当XL>XC时，，电路呈感性。当XL<XC时，，电路呈容性。第19页，共22页，2022年，5月20日，12点14分，星期五二、电阻、电感、电容串联电路的功率1．平均功率（有功功率）R、L、C串联的正弦交流电路中，若、参考方向一致，且设，则因此，电路取用的瞬时功率为:电路取用的平均功率（有功功率）为上式中为、的相位差，称为功率因数。由电压三角形可知所以上式说明R、L、C串联电路的平均功率就等于电阻元件的平均功率，这是由于电感元件和电容元件的平均功率为零的缘故。2．无功功率在R、L、C串联的正弦交流电路中，电感元件的瞬时功率为，电容元件的瞬时功率为。由于电压和反相，因此当为正时，则为负，即电感元件取用能量时，电容元件正放出能量；反之，当为负时，则为正，即电感元件放出能量时，电容元件正取用能量。因此，R、L、C串联电路与电源之间的能