2025届高三数学一轮总复习 第二章 第一讲 函数的概念及其表示

第二章函数、导数及其应用第一讲函数的概念及其表示内容函数两个集合A，B设A，B是两个非空的实数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法函数y＝f(x)，x∈A1.函数的概念2.函数的定义域、值域和对应关系

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.解析法图象法列表法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系用图象表示两个变量之间的对应关系列出表格来表示两个变量之间的对应关系3.函数的表示法4.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.【常用结论】1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}.2.常见函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞).(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]，y＝tanx的定义域是R.

考点一求函数的定义域考向1具体函数的定义域通性通法：已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.[例1](1)(2023年钦北区校级期中)已知f(x)＝lnsinx＋ A.(－4，－π)∪(0，π) B.(0，π) C.(2kπ，π＋2kπ)，其中k∈Z

D.[－4，－π)∪(0，π)

当k＝0时，x∈(0，π)满足；k＝1时，x∈(2π，3π)，则x∈∅；k＝－1时，x∈(－2π，－π)，则x∈[－4，－π)，

则f(x)的定义域为[－4，－π)∪(0，π).故选D.答案：Db的值为________.∴不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}.可知a＜0，不等式可化为a(x－1)(x－2)≥0，即ax2－3ax＋2a≥0.考向2抽象函数的定义域通性通法：求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.[例2](1)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()答案：B答案：[－1，2]【考法全练】1.(考向1)(2023年深圳市期末)已知函数f(x)＝lg(2cosx－1)，则函数f(x)的定义域为()答案：A2.(考向2)(2023年承德市期末)函数f(x)的定义域为[－2，4]，A.(1，8]C.(1，2]

B.[－4，1)∪(1，8]D.[－1，1)∪(1，2]答案：D考点二求函数的解析式[例3](1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x).【题后反思】求函数解析式的4种方法及适用条件(1)待定系数法

先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数.(2)换元法

对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围.(3)配凑法由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式.(4)解方程组法造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【变式训练】答案：Cxx≤11＜x＜2x≥2y123考点三分段函数

考向1分段函数求值

[例4]德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，存在一个法则，使得取值范围中的每一个x值，都有一个确定的y和它对应，不管这个法则是公式、图象、A.15B.3C.5D.6答案：D考向2分段函数与方程、不等式问题解得a＞10或a＜－2，∴若f(a)＞1，则实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(10，＋∞).答案：－7(－∞，－2)∪(10，＋∞)【题后反思】(1)根据分段函数解析式求函