第二次课矩阵jordan分解由vi-a求出

两个重要的概念术语定义

2.6

设A为n阶方阵,

A的特征多项式为smm

m1

2n

1

2

sdet(I

A)

(

) (

)

L

(

)（2-42）其中si

1mi

(i

1,2,L

,

s

)均为正整数，mi

n

,1,

2

,

L

,

s也是子空间的零空间；显然mi

i

。为A的不同特征值，称mi

为特征值i

的代数重复度；而称与特征值i对应的线性无关的特征向量的个数，记成i重复度；N

(i

In

A)称为i

In

AN

(i

In

A)

spanx

i

In为特征值i

的几何

A

x

0

的维数；i

n

rank(i

In

A)。1

1

2

2

3

2

2

2

,则有

1

2

2

2

3

22

2

1det(I

B)

i

的2个例子：1)

B

2下面给出mi

(

1)2

(

3)

16

4(

3)

8(

1)

(

3)(

1)2

4

8(

1)

2

(

3)(

1)

2(

1)

2

8

1

(

1)(

3)(

3)

8

(

1)(2

9

8)

(

1)2

(

1)

0故B的特征值为:1

1,2

1(二重根),从而m1

1,m2

2而0

2

2

2

4 2

0

2

01

1

21

1

2

2

2 1

3

22

2det(1I

B)

02

4

0,

241

122

222det(2

I

B)

21

32

2222

21

12

2

2故rank(1I

B)

2

,从而1

3

2

1

m1又

0

,任何二阶行列式值均为零,故rank(2

I

B)

1

,从而2

3

1

2

m2

。2)0

0C

1

3

3

10 0

,则1

3

3

1

1

0

13

00

1

det(

I

C

)

故C的特征值为:1

1,(三重根),从而m1

31而det(

I

C)1

02

3

1

1故rank(1I

B)

2

,从而1

3

2

1

3

m1

。,0

0

有1

3

3

1

2

3

11

1

0

1

10

1

1

0

1

1I

C

x

02

3

11

1

0

1

1

1

x

2x3

x

02x1

3x2

x3

0x1

x2

0x2

x3

0或直接求的N

(i

In

A)维数：只有一个非零的解向量(只有一个线性无关的特征向量)。1从而得

1。

1

1

x

1定义

2.7设A为n阶方阵，i

为其特征值，mi

和i分别为其代数重复度和几何重复度。如果

mi

i

,则称

i

为半单的；如果

mi

i，则称

i

为亏损的。如果矩阵A的某一个特征值代数重复度为1，则它一定为半单的。n阶方阵A可对角化的充分必要条件是每一个特定理2.9征值

i均为半单的，即mi

i

，i=1,2,…,s。A是不可对角化,使得的矩阵的充分必要条件是它有亏损的特征值，即存在i0mi

0i0

。因此，也称一个不可对角化的矩阵为亏损矩阵．注意：矩阵A属于不同特征值所对应的特征向量线性无关且矩阵A的各不同特征值的代数重数之和恰为n。2

0

30

1;202

6241

1

23217

0

2530

913(2)

B

00

;

(3)

C

3例1

研究下列矩阵是否可对角化。(1)

A0矩阵A有三个不同的特征值，因此它必可对角化。解（1）A的特征多项式为det(

I3

A)

(

2)(2因此，A的特征值分别为

2

2)1

2,

2

1

3,3

1

3

B)

2

(

2)rank(I1

B)

1,（2）B的特征多项式为：det(I3因此B的特征值分别为：1

0,代数重复度为：m1

2,

1的代数重复度为1，又因2

2,其中2

的det(1I

B)

31

1

23

6

0,2

2

4它的几何重复度为：

1

3

1

2

m1

,

可知

1为半单的，因此矩阵B可对角化。其任何二阶行列式值均为零,即故det(

I3

C

)

det(1I

C)

（3）C的特征多项式为：因

rank(1I

C)

2

,故它的几何重复度为：

1

3

2

1

2

m11为亏损的，因此,由定理2.9,矩阵C不可对角化。0

15

0，150

1

(

2)2

(

3)

0

17

0

250

3

09

0

13C的特征值分别为：1

2(二重根),2

3。即1

的代数重复度为：m1

2，2

的代数重复度为1，m2

1。15

0

250

19

0

150

225

225

0,可对角化矩阵一般矩阵可分为:不可对角化矩阵着重研究不可对角化矩阵的相似--Jordan分解形式下面kk

k

O

1

1

1OJ

()

3

2

122

为Jordan块。定义2.8

称下面的k×k阶方阵均为Jordan块。

1，J

(2)

J2

(1)

1

11

0

0

10

1041

，

J

(0)

99定义

2.9由若干个Jordan块排成的块对角矩阵称为Jordan阵。J

diag(J2

(2),

J4

(0),

J2

(1))

J2

(1)

2J0

(10)1J23(12)2

00

14

0

10

01

11Jordan

阵与对角阵的差别仅在于它的上

(下)对角线的元素是0或1。因此，它是特殊的上三角阵。显然,Jordan

块本身就是Jordan阵,对角阵也是Jordan阵,即它的每个Jordan块均为1阶的。A

TJT

1定理

2.10

设A为n阶方阵，则存在n阶可逆矩阵使得（2-43）J

diag

Jn1

(1)，Jn2

(2

)

，L，J

nk

(k

)

,n1

n2

L

nk

n其中称（2-43）为矩阵A的Jordan分解，

Jordan阵J称为A的Jordan

，T

称为变换矩阵。矩阵A的Jordan

如不计Jordan块的排列次序，则是唯一确定的。i如，在有8个Jordan块的11阶Jordan中：的重数大于或等于n

。0002

02

12

023

01

2 1

2

n1n2J

0

JJn3Jn4Jn3

Jn56

70

0

02

Jn

22n8J

n3

n4

4n

n

0

的重数=

1

2

3

的重数=n5

1

2的重数=n6

n7

n8

6注:

因为相似矩阵具有相同的特征值。所以Jordan

的对角元素

1,

2

,

L

,

s

就是A的特征值。需要注意的是,在Jordan

J中,不同的Jordan块的对角元素i可能相同,

因此,

i

不一定是A的

ni重特征值。一般的,

特征值

iJordan

是一个块对角矩阵，其对角元便为矩阵J

的特征值。（一）关于Jordan

J型中以i为特征值的Jordan块阶数的和，而其几何重复度（即与相对应的线性无关的特征向量的个数）恰为以i

为特征值的Jordan块的个数。对于特征值

i

,即其代数重复度就是6;

而

2

的Jordan块的个数为3,即其几何重复度3。的Jordan块阶数的和为6,例如，上例中特征值

2它的代数重复度就是Jordan标准4

0

8

3

0

6

02

0

46

2

3

0 8

A=

3

105求矩阵A的JordanJ，其中例2

3

0

83

1

613

0

83

11

62

0

15det(1I

-

A)

解det(I

A)

3

1

516(

1)2

0

5

12

2

1

13于是，A的特征值为1

1

，代数重复度为3,故以1

1为特征值的Jordan块阶数的和为3。

而

11

133。J

=

11

1

为特征值的Jordan块的个数为2个，因此，A的Jordan故1

1

的几何重复度为故以为：任何二阶行列式值均为零,即rank(1I

A)

1。

2

0

1 0

1

1

0

10

21

10

0

13

A=求矩阵A的JordanJ，其中例33-rank(1I

A)

2。

20101

10100

20111

3det(I

A)

解12

2

0

11 2

1

001det(

I

-

A)

1

1

1

0

0

01

1

3于是，A的特征值为1

21

2

，代数重复度为4,

故以为特征值的Jordan块阶数之和为4。而21

0

10

2

01

1

3

22

1

3

2

240

0

1

0

1

1

0

1

0002

2000001112

311112

1

2

1

212显然有rank(1I

A)

2。即λ1的几何重复度为：4

rank

(1

I

A)

2故以1

2

为特征值的Jordan块的个数为2个。此时，J的Jordan必为下面的两种形式之一究竟是(1,3)结构,还是(2,2)结构?下面

给出确定Jordan块的的结构的定理。

2rlrl1

rl1lli00ir

rank(

I

其中

r

rank(

I

A)

，A)

rank(I

)

n。定理

2.11

设A为n阶方阵，λi为其特征值，则A的J

中以λi为特征值、阶数为l

的JordanJordan块的个数为：证明参见文献[1]2的形式。利用定理2.11可以判断A的Jordan先看l=1情形。通过计算可知r1

r(1I

A)

r(2I

A)

2，则

12I

A

0

0

0

11

00

01

1

11

1

0

00

1

1

,而0

0

0

1

0

1

0

1

0

01

1

1r2

r(1I

A)2

r(2I

A)2

0故以λ1=2为特征值的阶数为l=1的Jordan块的个数为：r2

r0

2r1

0

4

2

2

0

O44再看l=2情形。，故以3r3

r(1I

A)

01为特征值的阶数为2的Jordan块的个数为r3

r1

2r2

0

2

0

2因此矩阵A的结构只能为第二种形式：

22

2

1

21

2此时J

=

TAT

，12m

OJJiii

1

i

1,

2,

L

,

m1

i

OO其中J为Jordan形式,即

J1i

1,2,L

,

m

为Jordan块J

证明定理2.8现在利用Jordan证明

0

,取其中

Ji使得1TAT

J

A

1

A

,则由定理2.10知,存在非奇异矩阵T,iAi

,1

i为其中的特征值。注意到从而ii

J

i

i

OO1i1

jn

max

T

(

A)

因此或2

为A的特征值。iJ1OJJ

其中TAT

1

TAT

1

J

m

i

i

i

OOi1in

max

TA

TAT

1A

TAT

1

(

A)

推论,使得

A

1。若(A)

1

,则存在范数2

1

1

(A)

,并取非奇异矩阵T,使证明:令T2

2

(

A)

1

1

(

A)12

1

1

(

A)

2

122A

(

A)

(

A)

1

1

(

A)或AT=TJ。将T按J的对角线上的Jordan块相应地T

T1,T2

,L,Tk

ii其中T

为n×n

型矩阵。则（二）关于变换矩阵T在求出A的Jordan

后,

相应的相似变换矩阵就可以求得了由。A=TJT

-1分块为1n2

2n

kAT1,T2

,

L,

T

k

T1,T2

,

L,

T

k

k

OJn

(1)J

(

)J

(

)ii

i

niAT

T

J

(

)i

i

ii显然，1,

2

,

L

,

k（2-44）,于是得到i如果记

T

t

,

t

,

L

,

t

1

2

n中可能有相同者。注意到，1

2ii

iinA t

,

t

,

L

,

tijnt

C

，i

1,

2,

L

,

k

，1

21

2ii

iint

,

t

,

L

,

ti

i

1

i

OO1

，即ii1

i

1At

t1ii2，Ati

t

tni

ni

1i

2MAtit

i

tiij

1,2,L

,

n

。ii称向量组Jordan链。i

it

,

t

,

L

,

tini为关于特征值*的长度为n

的2)对应于某个特征值λi的Jordan链虽然一定存在，

,ii

n

jj

1A

It

ti显然，该Jordan链的第一个向量就是矩阵A的关于特征值λi

的特征向量，称其为链首。而链中的第j个向量则可由等价的方程（2-45）j

2,3,

L,

ni不仅要求是一个特征向量，而且还要1t

iti

,

L

,ti2

ni但是应当注意:1)Jordan链的链首(即不求利用（2-45）可以求出Jordan链中的其它向量是任何一个特征向量都可作为Jordan链的链首)。λi相对应的线性无关的特征向量的个数大于或等于2时，关于特征

λi值的那些特征向量中的任何一个有可能都不能作为链首。但当与因此须从λi的特征子空间中选取适当的向量作为Jordan6

25化成Jordan

30例4

求出本节例2中将矩阵

A=

3

108

的变换矩阵T。解由于已经得到1112

22

J

(1)J

(1)

11

111 1

11J

2 2

22

J

(

)J

(

)则有链的链首。1

2

11

111

2AT

TJ，

A

T

T

T

T

1

31T

t

R

，

22

21

2T

t

,

t1At1

t1

，-

3

4

00

2

0x1

2x3

01

3

2x

0x1

2x3

0

x12t1

令和这样以

1

1长度为1的Jordan链的链首和链尾就可二者中任取32

R

。首先求出

1

所对应的线性无关的特征向量，其Jordan链的长度为1。即亦即A

I

t1

08

x1

2

4

x

3

6

x

0解之,线性无关的向量为:

2

t1

0

1

0

1

0

其一。即1

1

2T1

=t1

或T

=t1

。1

1-

21A

I

t

0

x1

2x3

0x1

2x3

0其次确定1首先求出λ

=-1所对应的线性无关的特征向量，

即

At

2

t

2

，亦即8

x1

4

x

3

4

03

0

6

2

0

2

x

0

x1

2x3

02

1

长度为2的Jordan链的链首。由2

21

2A

t

2

21

1

1

2

1

t

t

t2

21

122t

,

tt--A

T2

T2Jt

212t

2和解之,线性无关的向量为:

2

0

11

1

0

1

0

1112不难验证，若以t

2或t

2为链首时都无法求出另外一个向量来211I

-

Ax

t

1

31

3x

2x

0x

2x

01

313x

2x

1

x

2x

0

x1

2x3

211

12(

A

1I)z

y

x1

2x3

1

,无解；构成Jordan链。即,无解。y

span{t2

,t

2

}

使得有解。为此，必须找出

212I

-

A x

t1220

0

0k11k1

k2

3

0为此，令Ty

k

t

2

k

t

2

1

11 2

122

22k

,

k

,

k,1由2A

I

|

y

A

I

|

y

3k1

0

20

00

2

4

0

8 2k1

0

6

k

2

0

4k1

2

1k2

0

1

0

23

k

1

0

2

1

2

、k2满足2k2–3k1=0即可。为使

(

A

1I)z

y

有非零解，

只须k1则变换矩阵T

为:T从而可取

k1=2,k2=3,此时

y=(4,3,-2)为链首，由如下方程组：

1

2T

T

,

T

1

3

4 1

0

0

,

2T

y,

z111,

T

t

0

,或

1

2T

T

,

T0

1

,

0

2

4 1

3

00

2

2T

y,

z112,

T

t0

20

00

01

1,0

00

2

A

I

|

y

0链尾解出

z=(1,0,0)T作为链尾。链首链首链尾0

0

1

2

4

1

T

0

3223130

0

10

12

T

1

00

00

0

4 1

T

1

321

03

2

1

2

12

T

1

0

00即有，变换矩阵：,或,kka(

k

1)

0,

k

1,2,

L,

n

1k nk

* *

如果,则A

一定可作

LU

分解。呢？如何能判断出kka(

k

1)

0,

k

1,2,

L,

n

1如果将等式（2-6）两端在第k行第k列处分块，则有kL

0nk

k nk

2

2

*

*

U

A

AAkk*

LL110

UU11*

LU其中

L1

为L的第k阶顺序主子矩阵，它是单位下三角矩阵，U1为U的第k阶顺序主子矩阵，它是一上三角矩阵，其对角元为a(0)

,

a(1)

,

L

,

a(k

1)11

22

kkDk

det(

Ak

)

det(L1U1)

det(L1)

det(U1

)D

a(0)

a(1)

L

a(

k

2)k

1

11

22

k

1k

1(k

1)kkDDk

1ka因此A的第k阶顺序主子式满足：由此可得,如果规定D0=1，则有，k=1，2，...，n-1(2-7)

a(0)

a(1)

L

a(k

1)11

22

kk综合上述结果得到如下定理

7

41

1

2

3A

2

46

1

1

1

3B

2

2

1