2023届上海市杨思高中数学高三上期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（）A． B． C． D．2．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．3．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（）A． B． C． D．4．函数的值域为（）A． B． C． D．5．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（c,0）（c＞0），且离心率等于，若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，则该双曲线的标准方程为（）A． B．C． D．6．函数（，，）的部分图象如图所示，则的值分别为（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，7．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（）A． B． C．1 D．8．已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是(）A． B． C． D．9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．已知集合，，若，则（）A．或 B．或 C．或 D．或11．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．14．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为______________．15．函数（为自然对数的底数，），若函数恰有个零点，则实数的取值范围为__________________.16．展开式中的系数的和大于8而小于32，则______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）（1）求的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.18．（12分）某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表：亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.（1）试估计的值；（2）设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.①求的数学期望和方差；②若随机变量满足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）.附：①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商；②若，则，，.19．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.20．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知数列中，，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对任意，成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.22．（10分）已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域，如图所示，因为直线，的倾斜角分别为，，所以由图可得取自的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.2、D【解析】构造函数，令，则，由可得，则是区间上的单调递减函数，且，当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．3、D【解析】

由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.【详解】由题意，设每一行的和为故因此：故故选：D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4、A【解析】

由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】，，，因此，函数的值域为.故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.5、C【解析】

由题得，，又，联立解方程组即可得，，进而得出双曲线方程.【详解】由题得①又该双曲线的一条渐近线方程为，且被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，所以②又③由①②③可得：，，所以双曲线的标准方程为.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.6、D【解析】

由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案【详解】由函数图象可知：，函数的图象过点，，则故选【点睛】本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果7、B【解析】

首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；【详解】解：因为，所以因为所以，即，，时故选：【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.8、C【解析】分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.详解：由题得.当a＜1时，，所以函数f（x）在单调递减，因为对区间内的任意实数，都有，所以，所以故a≥1，与a＜1矛盾，故a＜1矛盾.当1≤a<e时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数，都有，所以，所以即令，所以所以函数g(a)在（1，e）上单调递减，所以，所以当1≤a<e时，满足题意.当a时，函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数，都有，所以,故1+1，所以故综上所述，a∈.故选C.点睛：本题的难点在于“对区间内的任意实数，都有”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.9、B【解析】

由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.10、B【解析】

因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.11、C【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.12、C【解析】

由复数除法求出，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得【详解】解析：，，对应点为，在第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.【详解】因为，所以，因为是等比数列，所以数列的公比为1．又，所以当时，有．这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.14、，【解析】

根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得，，结合图象求得该函数的最小正周期，可得出，再将点代入函数解析式，求出的值，即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知，，，，，从题图中可以看出，从时是函数的半个周期，则，.又，，得，取，所以，．故答案为：，．【点睛】本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.15、【解析】

令，则，恰有四个解.由判断函数增减性，求出最小值，列出相应不等式求解得出的取值范围.【详解】解：令，则，恰有四个解.有两个解，由，可得在上单调递减，在上单调递增，则，可得.设的负根为，由题意知，，，，则，.故答案为：.【点睛】本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.16、4【解析】

由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果.【详解】观察式子可知，，故答案为：4.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根据对任意恒成立，等价于对任意恒成立，构造，求出的单调性，由，，，，可得存在唯一的零点，使得，利用单调性可求出，即可求出的最大值.（1），.由题意知.（2）由（1）知：，∴对任意恒成立对任意恒成立对任意恒成立.令，则.由于，所以在上单调递增.又，，，，所以存在唯一的，使得，且当时，，时，.即在单调递减，在上单调递增.所以.又，即，∴.∴.∵，∴.又因为对任意恒成立，又，∴.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.18、（1）（2）①，,②72【解析】

（1）将每组数据的组中值乘以对应的频率，然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数，将此平均数除以（个小时），即可得到的估计值；（2）①利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解；②先根据条件计算出的取值范围，然后根据并结合正态分布概率的对称性，求解出在满足取值范围下对应的概率.【详解】（1）平均时间为（分钟）∴（2）①∵，∴，②∵，，∴∵，，∴∴即最佳时间长度为72分钟.【点睛】本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型（长度模型）、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算，属于综合性问题，难度一般.（1）如果，则；（2）计算正态分布中的概率，一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性.19、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用绝对值三角不等式求得的最小值，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式成立.【详解】（1），不等式，即或或，即有或或，所以所求不等式的解集为.（2），，因为，，所以要证，只需证，即证，因为，所以只要证，即证，即证，因为，所以只需证，因为，所以成立，所以.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.20、（1）答案见解析（2）【解析】

（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数求导得，从而有，，，三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围.【详解】解：（1）由，，则，当时，则，故在上单调递减；当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）∵，,由得，∴，，∴∵∴解得.∴.设，则,∴在上单调递减；当时，.∴，即所求的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.21、（1）（2）存在，【解析】

由数列为“数列”可得,，，两式相减得，又，利用等比数列通项公式即可求出,进而求出;由题意得，，，两式相减得，，据此可得,当时,,进而可得,即数列为常数列,进而可得,结合，得到关于的不等式,再由时，且为整数即可求出符合题意的的所有值.【详解】因为数列为“数列”，所以，故，两式相减得，在中令，则可得，故所以，所以数列是以为首项,以