2022年秋高中数学第四章概率与统计4.2随机变量4.2.4随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值课件新人教B版选择性必修第二册_第1页
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文档简介

第一课时离散型随机变量的均值第四章内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标课标要求1.理解离散型随机变量的均值的概念.2.会根据离散型随机变量的分布列求出离散型随机变量的均值.3.掌握离散型随机变量的均值的性质及两点分布、二项分布和超几何分布的均值公式.4.能运用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题.基础落实•必备知识全过关知识点一均值一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).名师点睛

(1)均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它刻画的是随机变量取值的平均水平.(2)随机变量的均值与样本平均值的关系:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.随机变量X的均值反映了离散型随机变量的平均水平.过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.(

)(2)随机变量的均值相同,则两个分布列也一定相同.(

)(3)若X服从两点分布,则E(X)=p.(

)×离散型随机变量的均值是一个常数,它不具有随机性.×两个随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同;反之不一定成立.√若X服从两点分布,则E(X)=p.知识点二常见的均值1.若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=p.2.若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np.3.若离散型随机变量X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则

过关自诊篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚球不中得0分.某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分X的均值.解X的可能值为0,1.P(X=0)=1-0.7=0.3,P(X=1)=0.7.故X的分布列为所以E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7.X10P0.70.3重难探究•能力素养全提升探究点一求离散型随机变量的均值【例1】某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样.购买一瓶,若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即中奖,中奖概率为

.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;(2)求中奖人数ξ的分布列及均值E(ξ).所以中奖人数ξ的分布列为

规律方法

求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值:根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值;(2)求概率:求X取每个值的概率;(3)写分布列:写出X的分布列;(4)求均值:由均值的定义求出E(X).其中准确写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键.所以X的分布列为

探究点二离散型随机变量均值的性质【例2】已知随机变量X的分布列为

若Y=-2X,则E(Y)=

.

规律方法

与离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b(a≠0),a,b为常数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,由X的取值计算ξ的取值,求出对应的概率,再由定义法求得E(ξ).变式探究

本例条件不变,若Y=2X-3,求E(Y).探究点三均值的实际应用【例3】某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(2)求η的分布列及均值E(η).ξ12345P0.40.20.20.10.1解

(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知,

表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.P()=(1-0.4)3=0.216,P(A)=1-P()=1-0.216=0.784.(2)η的可能取值为200元,250元,300元.P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2.因此η的分布列为E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240.η200250300P0.40.40.2规律方法

1.实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用,如体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行估计.2.概率模型的解答步骤(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值.(3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.变式训练2已知X的分布列为且Y=aX+3,E(Y)=,则a为(

)

A.1 B.2C.3

D.4答案

B

素养培优【典例】某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2棵.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为

和,且各棵大树是否成活互不影响.求移栽的4棵大树中:(1)两种大树各成活1棵的概率;(2)成活的棵数ξ的分布列与数学期望.解

设Ak表示甲种大树成活k棵,k=0,1,2,Bk表示乙种大树成活k棵,k=0,1,2,则Ak,Bk(k=0,1,2)相互独立,由n次独立重复试验中事件发生的概率公式,得规律方法

解决此类问题,首先应依据二项分布、两点分布及超几何分布的特点,判断随机变量属于哪一种分布,再写出随机变量的分布列,然后利用数学期望公式求解.学以致用•随堂检测全达标1.已知随机变量X的分布列如下表,随机变量X的数学期望E(X)=1,则x的值为(

)A.0.3 B.0.24 C.0.4 D.0.2答案

DX012P0.4xy2.某射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目X的数学期望为(

)A.2.44 B.3.376C.2.376 D.2.4答案

C解析

X的可能取值为3,2,1,0,P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;P(X=1)=0.42×0.6=0.096;P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.3.已知X的分布列为设Y=2X+1,则

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