2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程测评试题新人教A版选择性必修第一册

欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！第三章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点在直线y=2x-4上,则a的值为()A.8 B.-4 C.-8 D.-162.(2021辽宁沈阳期中)方程x1-y2+y1-x23.若双曲线x2a2−y24=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1A.233 B.433 C.34.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条 B.有且只有两条C.有且只有三条 D.有且只有四条5.在△ABC中,A(-5,0),B(5,0),点C在双曲线x216−y29=1上,A.53 B.±53 C.±54 D6.(2021吉林长春月考)已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,若以Fx为始边,FM为终边的角∠xFM=60°,则|FM|等于()A.2 B.433 C.23 D7.(2021安徽合肥期中)19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日,创立了画法几何学,推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆,且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在椭圆x23+y2=1的蒙日圆上,则b的值为(A.±1 B.±5 C.±21 D.±258.(2021江苏泰州期中)如图,椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,F是Γ的右焦点,点P是Γ上第一象限内任意一点.且sin∠POF<cos∠POF,OQ=λOP(λ>0),FQ·OP=0,A.0,62 BC.22,1 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021湖南长沙期中)已知椭圆C的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆C的标准方程可能为()A.x24+y29=1C.x29+y24=110.(2021辽宁大连期中)已知F是双曲线C:x2a2−y2a2=1(a>0)的右焦点,点P是双曲线上任意一点A.30° B.45° C.60° D.150°11.某同学在研究教材中一例问题“设点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-49,求点M的轨迹方程”时,将其中已知条件“斜率之积为-49”拓展为“斜率之积为常数k(k≠0)”之后,则下列结论正确的有()A.k<0时,点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)B.-1<k<0时,点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点)C.k<-1时,点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点)D.k>0时,点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点)12.(2021福建厦门检测)线段AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的弦,下列命题正确的有()A.|AF|最小值是pB.|AB|最小值是2pC.∠AOB可能为锐角,其中O为坐标原点D.以AB为直径的圆一定与直线x=-p2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(3,y0)到其准线的距离为8,则p=.

14.已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的方程可以为(写出一个正确答案即可);此时,你所写的方程对应的双曲线的离心率为.

15.(2021上海徐汇区期末)设椭圆x225+y29=1上的一点P到椭圆两焦点的距离的乘积为s,则当s取得最大值时,16.(2021江苏常州期中)已知圆C:(x-3)2+y2=1,点M在抛物线T:y2=4x上运动,过点M引直线l1,l2与圆C相切,切点分别为A,B,则|AB|的取值范围为.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)分别求下列曲线的方程.(1)已知椭圆C:x2a2+y25=1(a>5)的离心率为(2)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的焦距为4218.(12分)(2021陕西咸阳期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-2.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点,求|AB|.19.(12分)(2021浙江绍兴期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,(1)求双曲线C的方程;(2)直线l与双曲线C相交于P,Q两点,弦PQ的中点坐标为A(8,3),求直线l的方程.20.(12分)(2021宁夏银川期中)如图,把半椭圆Γ1:x2a2+y2b2=1(x≥0)与圆弧Γ2:(x-1)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称作“曲圆”,其中F(1,0)为Γ1的右焦点,如图所示,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知∠B1FB2=2π3,过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P,(1)求椭圆Γ1和圆弧Γ2的方程;(2)当点P,Q分别在第一、第三象限时,求△A1PQ的周长的取值范围.21.(12分)如图,直线l与圆E:x2+(y+1)2=1相切于点P,与抛物线C:x2=4y相交于不同的两点A,B,与y轴相交于点T(0,t)(t>0).(1)若T是抛物线C的焦点,求直线l的方程;(2)若|TE|2=|PA|·|PB|,求t的值.22.(12分)(2021上海虹口期末)已知椭圆Γ:x212+y28=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,交y(1)若F1P⊥F2P,求t的值.(2)若点A在第一象限,满足F1A·F2A(3)在平面内是否存在定点Q,使得QA·QB是一个确定的常数?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,

第三章测评1.D因为抛物线x2=ay(a≠0)的焦点F0,a4在直线y=2x-4上,所以a4=-4,即a2.A由方程x1-y2+y1-x2=1,可知x∈[-显然x<0,y<0,方程不成立,排除C;又1-y2∈[0,1],所以xy<0不成立,排除B,D,故选A.3.A双曲线x2a2−y24=1(a>0)的渐近线为y=±2a因为双曲线x2a2−y24=1(a>0)的渐近线与圆x2+(所以2a4+a2=1,解得a=24.B设该抛物线的焦点为F,A,B的横坐标分别为xA,xB,则|AB|=|AF|+|FB|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+1=3>2p=所以符合条件的直线有且只有两条.5.C由双曲线的方程x216−y29=1可得a2所以c2=a2+b2=25,即焦点坐标恰好为A,B的坐标,所以|AB|=10,|BC|-|AC|=±2a=±8,由正弦定理知sinCsinA-6.D如图所示,由题意得焦点坐标F(1,0),准线方程x=-1,设M的坐标y24,y∴y24∴|y|=3y24-1,整理得3y2-4解得|y|=23,又∠xFM=60°,∴|FM|=23sin60°7.C由椭圆的定义知,x23+y2=1的蒙日圆r2=3+1所以蒙日圆为x2+y2=4.蒙日圆的半径r1=2.因为圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在蒙日圆上,所以两圆相切.由已知r2=3,所以22+b2=r1解得b=±21.8.B因为点P是Γ上第一象限内任意一点,故∠POF为锐角,又sin∠POF<cos∠POF,所以0<tan∠POF<1.设直线OP的斜率为k,则0<k<1.由y可得x故Pabb所以Qλabb因为FQ·OP=0,故kQF=-1k,所以kλab解得λ=ca×b2+a2k2b故ca×b2+a2k2b(k2+1)>e,整理得到a故a2-b2≥2b2,即2a2≤3c2,即63≤e<19.AC由题可得2a=6,2b=4,则a2=9,b2=4,故椭圆的标准方程可能为x29+y24=10.AD∵双曲线C:x2a2−y2a2=∴双曲线的渐近线与x轴的夹角为45°.∵F是双曲线C:x2a2−y2a2=1(a>0)的右焦点∴0°≤∠POF<45°或135°<∠POF≤180°.∴∠POF的大小可能是30°,150°.故选AD.11.BCD设M(x,y),则kAM=y-0x+5,k由题意可得,y-0故y2=k(x2-25).若k=-1,方程化为y2+x2=25,点M的轨迹为以原点为圆心,5为半径的圆(不含与x轴的交点);若-1<k<0,方程化为x225+y2-25k=1,点M若k<-1,方程化为y2-25k+x225=1,表示焦点在y轴,以A若k>0,方程化为x225−y225k=1,点M的轨迹为焦点在x综上可知,BCD正确.故选BCD.12.BD依题意设A(x1,y1),B(x2,y2),对于A选项,由抛物线定义可得|AF|=x1+p2,因为x1>0,所以|AF|=x1+p2>p2对于B选项,设直线AB的方程为x=my+p2,联立x=my+p2,y2Δ=4m2p2+4p2>0,y1+y2=2mp,y1y2=-p2,所以x1+x2=y122p+y22则|AB|=x1+x2+p≥p+p=2p,故B正确;对于C选项,OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),因为y1y2=-p2,y12=2px1,y22=所以x1x2=y1则OA·OB=x1x2+y1y2=p24-p2所以∠AOB不可能为锐角,故C错误;对于D选项,因为|AB|=x1+x2+p=2pm2+p+p=2p(m2+1),所以以AB为直径的圆的半径为r=p(m2+1),又因为AB中点的横坐标x0=x1+x22=pm2所以x0--p2=pm2+12+p故以AB为直径的圆一定与直线x=-p2相切,故D正确13.10∵抛物线y2=2px(p>0)上的一点P(3,y0)到其准线的距离为8,∴3+p2=8,解得p=1014.x2-y24=15(答案不唯一)因为双曲线的渐近线为y=2所以双曲线的方程为x2-y24=λ(λ故可取λ=1,可得双曲线的方程为x2-y24所以c=5.此时其离心率e=ca15.(0,3)或(0,-3)设椭圆x225+y29=1的焦点为F1,F2,由椭圆定义可得,|PF1则s=|PF1|·|PF2|≤|PF1|当且仅当|PF1|=|PF2|=a=5,即P(0,3)或(0,-3)时,s取得最大值25.16.142,2如图,连接MC,CA,CB,AB,则CA⊥MA,CB⊥MB,MC故|AB|=2·AM·ACMC=2AMCM=2CM设M(x,y),则|CM|=(x所以当x=1时,|CM|取得最小值22,当x→+∞时,|AB|趋近于2,故|AB|的取值范围为14217.解(1)因为椭圆C:x2a2+y25=1(a>所以c=a2因为椭圆的离心率为e=23则e=ca=a2所以椭圆C的标准方程为x29+(2)因为双曲线C:x2a2−y2b2=1的焦距为42,则ba=1,解得a2=b2=所以双曲线C的标准方程为x24−18.解(1)∵抛物线C的准线方程为x=-2,∴-p2=-2,得p=故抛物线C的方程为y2=8x.(2)显然直线l:y=x-2过焦点F(2,0),联立y2=8x,y=x-2,消去设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,故|AB|=x1+x2+p=12+4=16.19.解(1)∵实轴长为8,离心率e=54,∴2a=8,e=ca=54,又a2+b2=c2,即a=4,故双曲线C的标准方程为x216−(2)设P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),∵线段PQ的中点为(8,3),∴x1+x2=16,y1+y2=6.∵x1216−y∴(x1整理得y1-y2x1∴直线l的方程为y-3=32(x-即3x-2y-18=0.20.解(1)由题意可得c=1,∠OFB2=π3,则b=3∴a2=b2+c2=4,则椭圆Γ1:x24+y2圆弧Γ2的方程为Γ2:(x-1)2+y2=4(x<0).(2)由题意得:在等腰△A1QF中,A1Q=4sinθ2若P,Q分别在第一、第三象限,则θ的取值范围为0,π3,∴△A1PQ的周长L=|A1Q|+|FQ|+|PF|+|PA1|=4sinθ2+2+2+2=6∵θ∈0,π3,∴L=6+4sinθ21.解(1)∵T(0,t)(t>0)是抛物线C:x2=4y的焦点,∴t=1.设直线l的方程为y=kx+1,由直线l与圆E相切,得21+k2=1,即k=±3,∴直线l的方程为y=±3(2)设直线l的方程为y=kx+t,P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+t,x2=4y,则x1+x2=4k,x1x2=-4t,∴|PA|·|PB|=1+k2|x1-x0|·1+k2|x2-x0|=(1+k2)[x1x2-x0(x1+x2)+x02]=(1+k2)[x02-4(kx0+t)]=(1+k2)由直线l与圆E相切,得|t+1|1+k2=1,即1+k2=(t+1)2,由|TE|=t+1,|TE|2=|PA|·|PB|,得(1+k2)|x02-4∴x02-4y0=±1,又点P∴x02-4y0=1,又x02+(y0+1)2=1,解得y0由直线l与PE互相垂直,得k=-1kPE=-∵y0=kx0+t,∴t=y0-kx0=y0+x0当y0=-3+22时,t=-y当y0=-3-22时,t=-y∵t>0,∴t的值为2-22.解(1)由椭圆Γ:x212+y28=1的方程可知c2=a2-b2所以c=2,即左焦点F1(-2,0),右焦点F2(2,0).因为P(0,t),若F1P⊥F2/r