岩体力学计算题

-.z.计算题岩石的强度特征(1)在劈裂法测定岩石单轴抗拉强度的试验中，采用的立方体岩石试件的边长为5cm，一组平行试验得到的破坏荷载分别为16.7、17.2、17.0kN，试求其抗拉强度。解：由公式σt=2Pt/πa2=2×Pt×103/3.14×52×10-4=0.255Pt(MPa)σt1=0.255×16.7=4.2585σt2=0.255×17.2=4.386σt3=0.255×17.0=4.335则所求抗拉强度：σt==(4.2585+4.386+4.335)/3=4.33MPa。(2)在野外用点荷载测定岩石抗拉强度，得到一组数据如下：D(cm)15.714.614.914.116.316.715.716.6Pt(kN)21.321.924.820.921.525.326.726.1试计算其抗拉强度。(K=0.96)解：因为K=0.96，Pt、D为上表数据，由公式σt=KIs=KPt/D2代入上述数据依次得：σt=8.3、9.9、10.7、10.1、7.7、8.7、10.4、9.1。求平均值有σt=9.4MPa。(3)试导出倾斜板法抗剪强度试验的计算公式。解：如上图所示：根据平衡条件有：Σ*=0τ-Psinα/A-Pfcosα/A=0τ=P(sinα-fcosα)/AΣy=0σ-Pcosα-Pfsinα=0σ=P(cosα+fsinα)式中：P为压力机的总垂直力。σ为作用在试件剪切面上的法向总压力。τ为作用在试件剪切面上的切向总剪力。f为压力机整板下面的滚珠的磨擦系数。α为剪切面与水平面所成的角度。则倾斜板法抗剪强度试验的计算公式为:σ=P(cosα+fsinα)/Aτ=P(sinα-fcosα)/A(4)倾斜板法抗剪强度试验中，倾斜板的倾角α分别为30º、40º、50º、和60º，如果试样边长为5cm,据经历估计岩石的力学参数c=15kPa，φ=31º，试估计各级破坏荷载值。(f=0.01)解：α分别为30º、40º、50º、和60º，c=15kPa，φ=31º，f=0.01，τ=σtgφ+cσ=P(cosα+fsinα)/Aτ=P(sinα-fcosα)/AP(sinα-fcosα)/A=P(cosα+fsinα)tgφ/A+c(sinα-fcosα)=(cosα+fsinα)tgφ+cA/PP=cA/[(sinα-fcosα)-(cosα+fsinα)tgφ]由上式，代入上述数据，计算得：P30=15(kN/mm2)×25×102(mm2)/[(sin30-0.01×cos30)-(cos30+0.01×sin30)tg31]αsinαcosα(sinα-fcosα)(cosα+fsinα)(cosα+fsinα)tgφP300.50.8660250.491340.8737510.525002-111.4400.6427880.7660440.6351270.7725220.46417821.93638500.7660440.6427880.7596170.6477880.3892310.12456600.8660250.50.8610250.50.300436.68932(5)试按威克尔(Wuerker)假定，分别导出σt、σc、c、φ的相互关系。解：如图：由上述ΔAO1B≌ΔAOC得：(1)又AB=ctgΦ×r1,AO1=cscΦ×r1,r1=σt/2 (2)把(2)代入(1)式化简得：(3)ΔAO2D≌ΔAOC得：∵r1=σt/2r2=σc/2σc(cscφ-1)=σt(cscφ+1) (4)把(4)代入(3)得：(5)由〔3〕，〔5〕(6)由〔3〕,〔5〕2ccosφ=σt(1+sinφ),2ccosφ=σc(1-sinφ),相等有sinφ=(σc-σt)/(σc+σt) (7)由(5)+(3)cosφ=4c/(σc+σt) (8)由〔6〕，〔7〕，〔8〕(9)(6)在岩石常规三轴试验中，侧压力σ3分别为5.1MPa、20.4MPa、和0MPa时，对应的破坏轴向压力分别是179.9MPa、329MPa、和161MPa，近似取包络线为直线，求岩石的c、φ值。.1．图解法由上图可知，该岩石的c、φ值分别为：28MPa、52°。2．计算法由M-C准则变形〔1〕考虑Coulomb曲线为直线，则强度线应与Mohr圆中的任意两圆均相切，此时的c、φ值相等，则任一圆都满足〔1〕式。设任意两圆中的应力分别为，由〔1〕式得整理得将数据代入计算结果如下：σ1Σ3φc179.95.154.4756520.8539332920.451.5765828.05152161035.0996341.81673计算结果分析，第一组数据与第三组数据计算结果明显低于第一组与第二组数据和第二组与第三组数据的计算结果，考虑包络线为外包，故剔除第一组数据与第三组数据计算结果，取平均后得：φ=53.02611°，c=24.45272MPa。(7)*岩石的单轴抗压强度为164.5MPa，φ=35.2°，如果在侧压力σ3=40.8MPa下作三轴试验，请估计破坏时的轴向荷载是多少？解：如下图：ΔAOC≌ΔABC得：即：因为：r1=82.25MPa，φ=35.2°，所以求得：c=42.64MPa所以：AO=cctanφ=60.45MPaΔABC≌ΔADE得：解得：r2=137.76MPa所以σ1=40.8+2×137.76=316.32MPa(8)在威克尔(Wuerker)假定条件下，岩石抗压强度是它的抗拉强度的多少倍？解：由上述题(5)知：故φ(1+sinφ)(1-sinφ)σc/σt251.4226180.5773822.463913301.50.53351.5735760.4264243.690172401.6427880.3572124.59891451.7071070.2928935.828427501.7660440.2339567.548632551.8191520.18084810.05901601.8660250.13397513.9282根据此式点绘的图如下：五、岩石的变形特征(1)试导出体积应变计算式：εv=εa-2εc解：如上图所示得：V=πc2a/4V´=π(c+Δc)2(a+Δa)/4其中略去了Δc、Δa的高次项，整理得：(2)岩石变形实验数据如下，a.作应力应变曲线(εa、εc、εv)。b.求初始模量、切线模量、50%σc的割线模量和泊松比。σ(MPa)163047627792154164εa(×10-6)18837555074093014121913破坏εc(×10-6)63100175240300350550破坏解：由公式：εv=εa-2εc得：εv=250、175、200、260、330、712、713则初始模量：Ei=σi/εi=16/188=0.085切线模量：Et=(σ2-σ1)/(ε2-ε1)=(77-62)/(930-740)=0.079割线模量：Es=σ50/ε50=77/930=0.083泊松比：μ=εc/εa=319.48/990.39=0.32岩石的强度理论(1)导出莫尔–库伦强度准则。解：如图：由图中几何关系，在ΔABO1中，是直角，(3)对岩石试样作卸载试验，C=12kPa，φ=36º，σy=100MPa，当σ1=200MPa时，按莫尔–库论判据，卸载到达破坏的最大围压σ3是多少？如果按米色士判据又是多少？解：由上题Mohr判据按米色士判据：(4)岩体内存在不同方向裂纹，σt=–8MPa，a.当σ1=42MPa，σ3=–6MPa时，按格里菲斯准则是否破坏，沿哪个方向破坏？b.当σ1=20MPa，σ3=–8MPa时，是否破坏，沿哪个方向破坏？解：a.由于σ1+3σ3=42+3×(-6)=24>0，所以其破坏准则为：把σ1=42MPa，σ3=–6MPa，σt=8MPa〔σt取绝对值〕代入上式，左边=右边，刚好到达破坏。其破坏面与最大主应力之间的夹角为：，b.由于σ1+3σ3=20+3×(-8)=-4<0，所以其准则为：σ3=-σt。σ3=-8=-σt，按格里菲斯准则可判断其刚好破坏，其破坏方向为沿σ1的方向。(5)岩体中*点应力值为：σ1=61.2MPa，σ3=–19.1MPa，c=50MPa，φ=57º，σt=–8.7MPa，试用莫尔–库论判据和格里菲斯准则分别判断其是否破坏，并讨论其结果。解：a、用莫尔–库论判据：等式不成立，所以岩体不破坏。b、用格里菲斯准则：，所以岩体要发生破坏。c、根据莫尔–库伦判据岩体不破坏，而根据格里菲斯准则岩体要发生破坏。即可认为该岩体不会发生剪切破坏，但由于岩体内部存在微裂纹和微孔洞，在外力作用下，即使作用的平均应力不大，在微裂纹和微孔洞的周围将出现应力集中，并可能产生很大的拉应力，这时就要用格里菲斯准则判断是否破坏，此题可认为岩体不产生剪切破坏，但会拉裂破坏，所以此岩体将破坏。七、岩体构造面的力学性质(2)*岩石构造面壁抗压强度为70MPa，根本摩擦角35º，野外确定JRC为11，试按巴顿(Barton)公式绘出该构造面的σ-τ曲线，并试比拟该曲线与库伦强度曲线的异同。解：根据Barton公式，将JRC=11，=35，JCS=70MPa代入上式得：，将σ=10,20,…,100MPa代入计算得：στ(Barton)τ(Coulomb)109.7572557.0020752017.3763914.004153024.3349421.006234030.8858828.00835037.1433135.010386043.1722242.012457049.0145349.014538054.6994356.01669060.2484163.0186810065.6779270.02075点绘出的曲线如下：从上图可以看出：Bartong公式和Coulomb公式结果接近，在低正应力时〔低于JCS〕，Barton公式计算的剪应力高于Coulomb公式，在高正应力时，Barton公式计算的剪应力低于Coulomb公式。八、岩体的力学性质(1)如图a，在岩石试样中存在一构造面，a.试证明按莫尔–库伦强度准则导出的强度判据为：式中C、φ为构造面参数。b.当单轴压缩时，β为多少值该岩石的强度最低？提示：可按图b关系导出。.解：解：a.由图b，在任意ΔABO’中，化简即可得：证毕。b.单轴时，上式为求σ1对β的最小值。因此，当时，岩石强度最低。(2)地下岩体中有一构造面，其倾角为40º。当在地下200m深处开挖一洞室，如果利用上题的公式，仅考虑岩体自重应力，问该构造面在该洞室处会否滑动？(γ=26kN/m3，μ=0.17，构造面C=0.4MPa，φ=28º).解：由上题公式：右边得：计算说明，满足破坏所需要的σ1仅为4.743MPa，而此处的实际应力已达5.2MPa，故会滑动。此题有错误，十、地下洞室围岩稳定性分析三、计算题(1)考虑地应力为静水压力状态，分别计算并绘出r＝0、1a、2a、3a、4a、5a、6a时的σr/σ0与σθ/σ0随r的变化，并讨论其与σ0的误差。解：为静水压力状态即λ=1，洞室围岩中与洞轴垂直断面上任一点的应力由弹性理论的平面问题可得：将r＝0、1a、2a、3a、4a、5a、6a代入得：r1a2a3a4a5a6aσr/σ00〔0%〕3/4〔75%〕8/9〔89%〕15/16〔94%〕24/25〔96%〕35/36〔97%〕σθ/σ02〔200%〕5/4〔125%〕10/9〔111%〕17/16〔106%〕26/25〔104%〕37/36〔103%〕从上表可以看出：应力重分布与无关，而与测点径向距离有关，当洞径一定时，σθ随r增大而迅速减少，而σr随r增大而增大，并都趋近于天然应力值。当r=6a时，σθ、σr与σ0相差仅为1/36，小于2.8%，因此一般可认为应力重分布的影响范围为r=6a。(2)一圆形洞室的直径为5m，洞中心埋深610m，岩层密度27kN/m3，泊松比0.25，试求：a.洞壁上各点的应力值并绘成曲线(θ=0º、10º、20º、…、90º)；b.当洞内有0.15MPa的压力时，计算洞壁和拱顶的围岩应力。解：σv=γh=610×27=16.47MPa，λ=μ/(1-μ)=1/3=σh/σv，σh=σv/3洞壁上各点的应力，，。。0102030405060708090σθ43.9242.6038.7832.9425.7718.1510.985.141.320b、当洞内有压力P时，洞室周边围岩应力重分布公式为：，，。将条件代入得：，，洞壁：即=0时，，拱顶：即=90时，。(3)试导出芬纳(Fenner)公式。.解：由上图可知，在r=R处，既是弹性区又是塑性区，故：σe=σp=σ0所以其既满足弹性圈内的重分布应力，又满足塑性区内重分布应力在弹性区:当R=r时：〔1〕又因为其满足M-C准则：即：〔2〕把①代入②式整理得：假设松动圈已脱离原岩，则c=0,〔3〕在塑性区：平衡方程成立，考虑静水压力状态，有〔4〕由〔2〕变形整理〔5〕〔5〕代入〔4-1〕整理并别离变量两边积分后得〔6〕将边界条件代入〔6〕〔7〕〔7〕代入〔6〕取指数〔去掉ln〕整理后得塑性区应力〔8〕又因为：当R=r时，，即〔8〕=〔3〕=化简即得芬纳公式：(4)H=100m，a=3m，c=0.3MPa，φ=30º，γ=27kN/m3，试求：a.不出现塑性区时的围岩压力；b.允许塑性圈厚度为2m时的围岩压力；c.允许充分变形时的塑性圈半径。解：由题意得：a.当不出现塑性区时，即R=a时：b.当允许塑性圈厚度为2m时，即时，c.当允许充分变形时，即当时：(5)H=100m，a=3m，c=0.3MPa，φ=30º，γ=27kN/m3，同上，如果E=1200MPa，μ=0.2，分别求洞周位移u=1cm和u=3cm时的围岩压力。解：由公式：式中：Gm为塑性圈岩体的模量：,把条件代入上式：当：u=1cm时:当：u=3cm时：〔此值为负，即不可能产生3cm的位移〕边坡岩体稳定性分析1、如图，导出边坡不失稳的最大坡高Hma*。解：解：如上图所示：发仅考虑重力作用下的时，设滑动体的重力为G，则它对于滑动面的垂直分量为Gcosβ，