隐函数求导方法总结

-.z.河北地质大学课程设计〔论文〕题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016年05月27日-.z.TOC\o"1-3"\h\u摘要3一．隐函数的概念3二．隐函数求偏导PAGEREF_Toc2117831.隐函数存在定理1 32.隐函数存在定理2 33.隐函数存在定理3 3三.隐函数求偏导的方法PAGEREF_Toc1245831.公式法32.直接法33.全微分法3参考文献3摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数偏导数方法一．隐函数的概念一般地，如果变量满足方程，在一定条件下，当取*区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，则就说方程在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程表示一个函数，因为当变量在内取值时，变量有确定的值与其对应。如。二．隐函数求偏导1.隐函数存在定理1设函数在P〔*。，y。〕在*一领域内具有连续偏导数，且，，则方程在点〔*。，y。〕的*一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有。例1:验证方程-=0在点〔1,1〕的*一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当*=1时y=1的隐函数y=，并求该函数的导数在*=1处的值。解令=-,则=2*，=-2y，=0，=-2≠0由定理1可知，方程-=0在点〔1,1〕的*一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当*=1时，y=1的隐函数为y=*，且有===故==12.隐函数存在定理2设函数在点的*一邻域内具有连续偏导数，且=0，，则方程在点的*一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件并有。例2：设函数由方程所确定，求解：设则〔将*，y当常数，对z求偏导〕〔将*，y当做常数，对y求偏导〕根据定理2：3.隐函数存在定理3设、在点的*一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，且偏导数所组成的函数行列式〔或称雅可比(Jacobi)〕在点不等于零，则方程组在点的*一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数,它们满足条件，，并有例3：设，求解：由定理3可求则同上可求得三.隐函数求偏导的方法1.公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F,注意应将*,y,z看作独立变量，对F(*,y,z)=0分别求导，利用公式-,-。类型条件公式类型条件公式，，2.直接法：分别将F(*,y,z)=0两边同时对*,y看作独立变量，z是*,y的函数，得到含的两个方程，解方程可求出.3.全微分法：利用微分形式的不变性，对所给方程两边求微分，整理成则的系数便是，在求全微分时，应看做自变量.例1.，求.解.方法一：令-则所以上式再对*求导得方法二：方程两端分别对*求导得方法三：方程，两端分别求微分得利用全微分不定性，上式化为由全微分运算法则计算并化简得-.z.参考文献【1】同济大学数学系.高等数学第七版下册【M】：高等教育出版社，2014.7【2】段生贵，曹南斌.高等数学学习指导【M】：电子科技大学出版社，2014.8【3】邵燕南.高等数学【/