辅助圆-重要的辅助线

辅助不太熟悉但很重要的辅助添加辅助圆解平面几何题7虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知7但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，車半功倍的效果.一r根据圆的定义作辅助圆例1如图，四边形ABCD中，AB〃CD,AB=AC=AD=p,BC=q,求BD的长.解析：以点A为圆心、AB为半径作0A・因为AB=AC=AD,所以B、C.D三点在0A±.延长BA交OA于点E,连结DE・因为DC/7EB,所以弧朋二弧眈，所以ED=BC=q.在RtABDE中，根据勾股定理，得BD二J4,一护.例2如图，PA=PB,ZAPB=2ZACB,AC与PB交于点D,旦PB=5,PD=3,求ADDC的值.解析：以点P为圆心、PB为半径的作0P.囲为PA=PB?ZAPB=2ZACB,所以点A、B、C在0P±,此时©P的直径BE-10,DE=8,DB=2,由相交弦定理7得AD・DC=DE・DB=8乂2=16二、作三角形的外接圆例3如图，D、E为AABC边BC上的两点，且BD=CE,ZBAD=ZCAE-求证：AB=AC・解析：作AADE的外接圆'分别交AB、AC于点M、N,连结MD、NE.因为ZBAD=ZCAE,所以ZBAD+ZDAE=ZCAE+ZDAE,即ZNAD=ZMAE.因为ZBDM=ZMAE?ZCEN^ZNAD,所以ZBDM=ZCEN.又BD=CE,DM=EN,所以△BDM竺△CEN,所以ZB=ZC,即AB=AC・例4如图，AABC中，BF.CE交于点I),BD=CD,ZBDE=ZA,求证：BE=CF.解析：作AABC的外按00,延长CE交©0于G,连摻BG.因为ZG二/A,ZBDE=ZA,所以ZG=ZBDE,所以BG=BD.又BD二CD,所以BG=CD・又因为ZG=ZCDF?ZGBE=ZDCF,所以△GBE丝△DCF.所以BE=CF.例5如图，在△ABC中,AB=AC,ZBAC=100°?ZB的平分线交AC于D,求证：BC=BD+AD・解析：作AABD的外接圆交BC于E,连结DE.因为BD是ZABC的平分线，所以弧弧DE,所以AD-DE・?£ABDE中，ZDBE=20°,ZBED=180°—100°=80%所以/BDE=所以BE=BD.在ADEC中.ZEDC=80°—40°=40°,所以EC=DE所以BC=BE+EC=BD+AD.

三、结论类似于圆鬲定理的形式时作辅助圆例6如圏，在AABC中，AB=AC=^§,D是边BC±的一点，且AD=1，求BD・DC的值.解析：以点A为圆心、AB为半径作0A,交直线AD于点E-.F,则点C在0A±,DE=、g—l,DF=G3+1.由相交弦定理，得BD・DC=DE・DF=(、@—1X、§+1)=2・例7如圈，在△ABC中，/DAB=ZC.NB的平分线BN交AD于M・求证：(1)AM=AN：(2JAB2-AN2=BM-BN・解析：(1)略；(2)由(1),得AM二AN.以点A为圆心、AM为半径柞©A,交AB于E,交BA的延长线于F,则N在0A上，且AE=AF=AN.由割线定理，得BMBN=BEBF=(AB-AE)(AB+AF)=(AB—AN)(AB+AN)=AB2-AN\即AB2—AN2=BMBN.四、探宠动点对定线段所张的角时作辅助圆例8如图，在直角梯形ABCD中，AB〃DC,ZB=90°,设AB=a?DC=b,AD=c,当肛b.c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P,使AP丄PD?解析二以AD为宜径作O0,根拯直径所对•的圆周角是直角，当©0与直线BC有公共点（相切或相交）时，在直线BC±徉在点P,使AP丄PD.因为©0的半径r=—=-,圆心O到宜线BC的距离d=M+凹2222.所以，当即卄b±c时，在直线BC上存在点P,使AP丄PD.例9如图，在平面直角坐标系xOy中’给定y轴正半轴上的两点A（（h2）.B（0,8）,试在x轴正半轴上求一点C,®ZACB取得最大值’解析：经过A.B.C三点作0M,设的半径为R,由正弦定理，得AB6sulZACB=——=——.2R2R由此可见，当R取得最小值时，ZACB取得最大值.而当点与工轴的相切于点C时，R取得最小值.根擔切割线定理，得OC-=OBOA,所以0C=4.故当点C的坐标为(4,0)时，ZACB取得最大值，例10已知RtAABC中，AC=5,BC=12,ZACB=90%P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且ZCPQ=90%求线段CQ的取值范围.解析：以CQ为直径作00,根据直径所对的圆周角是直角，若AB边上的动点P在圆上，ZCPQ就为直角.当OO与AB相切时，直径CQ最小.由切线长定理，得AP=AC=5,所以BP=13-5=8.再根揺切割线定理，得BP-=BQBC,所以BQ=y,20CQ=—.3当点Q与点B重合时，直径CQ最大，此时CQ=12.综上所述'y<CQ<12.五、四点共圆判断四点共圆的常用方法有(1)对角互补的四边形的四个顶点共圆：(2)同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆.判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题.例U如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交ZABC的外角平分线于点F,求证：FE=DE・解析：连接DB、DF.因为ZCBF=45°,ZDBC=45°,所以ZDBF=90°.又ZDEF=90°?所以6E.B.F四点共圆，所以ZDFE=ZDEE=45%所以FE=DE・例12如图等边APQR内接于正方形ABCD,其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点，求证：不论等边ZXPQR怎样运动，点M为不动点.解析=连AM.DM,因为M是QR的中点，所以ZPMQ=90°.又ZPAQ=90°,所以A.Q.M.P四点共圆，所以ZMAP=ZMQP=60°.同理，ZWP=60°.所以4MAD是等边三角形，即点M为不动点.例13如图，正方形ABCD的中心为0・面积为1989.P为正方形内的―点，且ZOPB=45°,PA:PB=5/