坐标变换与电机统一理论课件

-1-第5章坐标变换与电机统一理论5.1坐标变换理论5.2电机统一理论5.3直流电动机模型5.4交流异步电动机模型5.5交流同步电动机模型-1-第5章坐标变换与电机统一理论5.1坐标变换理论-2-

电机种类很多，普通的就有直流电机、交流异步电机和交流同步电机，还有许许多多的特种电机或控制电机。这些电机虽然结构各异，但在电磁本质上却都是一种具有相对运动的耦合电路，因此其数学模型的建立应具有相似性或统一性。

坐标变换理论和电机统一理论就是建立电机通用数学模型的基础。-2-电机种类很多，普通的就有直流电机、交流-3-5.1坐标变换理论

坐标变换是一种线性变换（线性代数），在高等数学里已初步涉及到这些内容，不过那里只限于平面坐标的变换，并且变换也只在同一平面内进行，原坐标系与新坐标系之间无相对运动，问题比较简单，内容容易理解。对电动机做系统分析时，所用的坐标变换，其内容就十分丰富，不仅可以将坐标系统扩展为n维空间，还可以将原坐标变换到另一个旋转平面上的坐标，或者由笛卡儿平面坐标变换到复平面坐标。这些理论与方法都是针对电动机这种复杂机电系统的实情所做出的对策，在电机学科的发展史上具有划时代的重要意义。-3-5.1坐标变换理论-4-5.1.1线性变换简介线性变换的定义是：对于某一组变量，用另一组新的变量去代替，这些新变量与原变量之间有着线性的关系，表现为一组线性方程，即（5-1）-4-5.1.1线性变换简介（5-1）-5-矩阵形式向量形式-5-矩阵形式向量形式-6-

在引入这些新的变量之后，新变量就成为待求的未知数，需要求解新的方程。如有必要，可将新的变量求得之后，再变换成原变量。为了使新变量和原来的变量之间有单值的联系，要求由线性变换系数所组成的行列式不等于零，或者说矩阵C是非奇异的。线性变换实质上是以适应某种需要而创建的一种十分有效的数学方法，在对电力电子与交流传动系统进行分析与设计时，具有特殊的应用价值。事实上，第4章在讨论SVPWM逆变器时已对空间矢量及坐标变换的基本概念有所涉及。

-6-在引入这些新的变量之后，新变量就成为-7-5.1.2坐标空间的确定以三相交流电机为例，用正交三维空间中的坐标系来表征电机各相的瞬时值，如电流，电压，磁链等。为了便于讨论问题，可设交流电机一组对称三相稳态电流的瞬时值为（5-4）同步角速度（角频率）-7-5.1.2坐标空间的确定（5-4）同步角速度（-8-

这组对称三相稳态电流的瞬时值可用正交三维空间A、B、C坐标系中的旋转向量I

在各轴上的投影表示，即旋转向量I每一瞬间在三维空间A、B、C坐标轴上的投影为，用向量形式表示如下：（5-5）轴线单位向量-8-这组对称三相稳态电流的瞬时值可用正交三-9-向量I的长度为（5-6）

由此可知，旋转向量I在过原点O的平面P内，以同步角速度旋转，其大小是恒定的，向量端头的运动轨迹是一个圆，如图5-1所示。为了易于建立旋转向量运动轨迹的概念，表5-1列出了旋转向量运动时所经过的特定点的值。-9-向量I的长度为（5-6）由此可知，旋-10--10--11-

如图5-2所示，A、B、C轴线在P平面上的投影分别为a、b、c轴线，它们互差120电角度。由于a轴与A轴之间的夹角为（5-7）若A、B、C轴线上的坐标直接用a、b、c轴线上的投影来表示，则需将该投影乘以一个系数“”。下面我们就用a、b、c轴线上的投影值来表示三相电流。媒介坐标系统a-b-c-11-如图5-2所示，A、B、C轴线在P平面-12-5.1.3坐标变换的一般方法在静止的正交三维空间A、B、C系统中，所表征的电磁量经坐标变换，可变换到旋转正交三维空间x、y、z系统。该坐标系统中由互相垂直的x轴与y轴所组成的平面，与旋转向量I所在的P平面重合，且以同步角速度绕垂直于x、y轴的第三轴线z旋转。y轴超前x轴90电角度。该x、y、z旋转坐标系统与A、B、C静止坐标系统均表示在图5-3中，可见旋转向量I相对于x、y、z旋转坐标系统是静止的。由于旋转向量I的线速度可表示为其角速度与I的向量积，即（5-8）-12-5.1.3坐标变换的一般方法（5-8）-13-ω1是旋转向量I相对于静止的A、B、C系统的角速度，其向量的表示式为（5-9）z轴单位向量-13-ω1是旋转向量I相对于静止的A、B、C系统的角速度-14-

设t=0时，I与a轴重合，则任何时刻I与a轴的夹角（也就是x轴与a轴的夹角）。由于向量I与a、b、c轴线在同一平面P之内，从空间向量的基本关系可知（5-10）由式（5-6）可知，向量I方向上的单位向量应为（5-11）-14-设t=0时，I与a轴重合，则任何时刻I-15-该单位向量就是x轴的单位向量，它与单位向量的关系为（5-12）y轴的单位向量可定义为（5-10）（5-14）-15-该单位向量就是x轴的单位向量，它与单位向-16-

根据线性变换的基本原理，静止的a、b、c系统三个单位向量与旋转的x、y、z系统三个单位向量互做变换时，需要三个关系式。与之间的关系式已定，即式（5-12）和式（5-14），可再定义与之间的关系式如下：（5-15）

-16-根据线性变换的基本原理，静止的a、b-17-（5-16）（5-17）-17-（5-16）（5-17）-18-将上式代入式（5-10），得（5-18）-18-将上式代入式（5-10），得（5-18）-19-写成矩阵形式（5-20）（5-21）-19-写成矩阵形式（5-20）（5-21）-20-

式（5-20）与式（5-21）为一般的静止坐标系统A、B、C与旋转坐标系统x、y、z之间的变换关系式。由于和

分别为旋转向量I在静止坐标系统与旋转坐标系统中各轴线上的投影，且之瞬时值可通过与旋转坐标系统同一平面P的“媒介坐标系统a、b、c”去表征，旋转坐标系统的转速，若从与a、b、c系统的相对转速去理解，显然不一定是同步转速，可以是任意转速，即式（5-20）与式（5-21）可适用于任意转速的旋转坐标系统。

转速问题？-20-式（5-20）与式（5-21）为一般-21-

另外，旋转向量的大小也不一定是恒定的，可为时间t的函数。设为一不对称的三相系统的电流量，其中含有正序、负序和零序三个分量，即大小问题？（5-22）-21-另外，旋转向量的大小也不一定是恒定的，-22-（5-23）（5-19）

（5-24）-22-（5-23）（5-19）（5-24）-23-

由于正序系统与负序系统从坐标变换来说是一样的，所以上式可写成（5-25）同理可得（5-26）

由此可知，式（5-20）与式（5-21）无论三相系统的量对称与否都适用。-23-由于正序系统与负序系统从坐标变换来说-24-5.1.4坐标变换的性质及约束坐标变换是一种线性变换，如无约束，变换就不是唯一的。在电机的系统分析中，所应用的坐标变换可有两种约束：1)功率不变约束，即变换前后功率保持不变。2)合成磁动势不变约束，即变换前后合成磁动势保持不变。下面首先介绍功率不变约束及其坐标变换的性质。两个约束同时满足？-24-5.1.4坐标变换的性质及约束两个约束-25-设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为和，在新的坐标系统中电压和电流向量变为和。新向量与原向量的坐标变换关系为（5-27）电压变换阵电流变换阵功率不变（5-30）-25-设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为-26-其中E为单位矩阵。式（5-30）就是功率不变约束下坐标变换阵和需要满足的关系式。在一般情况下，电压变换阵与电流变换阵可以取为同一矩阵，即令，则式（5-30）成为（5-32）

由此可知，在功率不变约束下，当电压向量和电流向量选取相同的变换阵时，变换阵的转置与其逆矩阵相等，这样的坐标变换属于正交变换。容易证明，式（5-20）与式（5-21）所示的坐标变换就属于正交变换，满足功率不变约束。-26-其中E为单位矩阵。式（5-30）就是功率不变约束下-27-

至于合成磁动势不变约束，因为绕组电流与磁动势成正比，只要把电流的合成向量分别在新坐标系和原坐标系进行投影，就可以确定新向量与原向量之间的坐标变换关系，式（4-28）和式（4-29）就是一种满足合成磁动势不变约束的坐标变换式。-27-至于合成磁动势不变约束，因为绕-28-5.1.5常用的坐标系统进行电机系统分析时，所应用的坐标变换可分为两大类：

1)坐标轴旋转的坐标系统。其旋转速度可以是电机转子的转速或同步转速，也可以是任意转速。这类系统的典型代表是d-q-0坐标系统；

2)坐标轴静止的坐标系统。这类系统除a-b-c相坐标系统外，比较典型的是α-β-0坐标系统。下面分别介绍d-q-0坐标系统和α-β-0坐标系统。-28-5.1.5常用的坐标系统-29-1.d-q-0坐标系统

电机转子上总认为有两条轴线，如旋转磁极式的同步电机，一条是和磁极轴线方向一致的轴线，称为直轴，以“d”表征；另一条是与直轴正交，且按顺时针方向滞后直轴90电角度，称为交轴，以“q”表征。如上述所选x-y-z坐标系，以转子转速旋转，将x轴放在d轴上，y轴放在q轴上，z轴则垂直通过d-q平面，为0轴，并且d、q轴绕0轴旋转。这样的坐标系统称为d-q-0坐标系，如图5-4所示。-29-1.d-q-0坐标系统如上-30-

在式（5-20）与式（5-21）x-y-z坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式中，将x、y、z下标分别换以d、q、0，即得d-q-0坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式-30-在式（5-20）与式（5-21）x--31-若用C表示变换矩阵，上标表示新坐标系，下标表示原坐标系，则相应的变换矩阵可表示为-31-若用C表示变换矩阵，上标表示新坐标系，下标表示原坐标-32-

2.α-β-0坐标系统

α-β-0坐标系统是一种静止的坐标系统，其α轴与a轴重合，β轴按顺时针方向滞后α轴90电角度，0轴垂直于α、β轴所组成的平面，如图5-5所示。-32-2.α-β-0坐标系统-33-

在式（5-20）与式（5-21）x-y-z坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式中，将θ=0代入，即得α-β-0坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式-33-在式（5-20）与式（5-21）x--34-相应的变换矩阵可表示为-34-相应的变换矩阵可表示为-35-

图5-4所示的d-q平面与图5-5所示的α-β平面是重合的，只不过前者旋转，后者静止。将两者画在一起，可得图5-6。根据向量的投影关系，可以得到α-β-0坐标系与d-q-0坐标系的变换关系式-35-图5-4所示的d-q平面与图5-5所-36-相应的变换矩阵可表示为

上述变换均由式（5-20）与式（5-21）演变而来，显然满足功率不变约束。另外，为简便计，d-q-0坐标系与α-β-0坐标系的0轴分量往往不予考虑，这样，上述变换实际上可以完成静止三相坐标系与静止两相坐标系、以及静止两相坐标系与旋转两相坐标系之间的坐标变换。-36-相应的变换矩阵可表示为上述变换均由-37-5.2电机统一理论5.2.1统一理论的要点旋转电机形式各异，但就其本质而言，都是由若干具有相对运动的电磁耦合线圈所组成的，因此各种电机的电磁关系和运动方程应具有统一性。能否在共性问题的基础上，建立统一的数学模型，并推导出不同电机的基本方程呢？上世纪三十年代，克朗（G.Kron）提出了原型电机的概念，分析了原型电机的基本电磁关系，并研究了原型电机与其它各种电机之间的联系。研究结果表明，任何电机的数学模型都可以从原型电机中导出，并用统一的方法求解。原型电机又称为一般化电机，这一理论就称为电机统一理论或一般化理论（GeneralTheory），它是电机理论的一个重大发展。-37-5.2电机统一理论-38-

电机统一理论的要点：

1）运用电磁学和力学的基本定律，建立原型电机的基本方程；

2）提出所研究电机的动态电路模型；

3）把所研究的电机和具有相应数量线圈的原型电机加以对比，建立联系矩阵；

4）通过联系矩阵，从原型电机的基本方程出发，导出所研究电机的数学模型；

5）再通过特定的坐标变换，把数学模型进一步变换成易于求解的形式，然后求解。

这样，分析各种电机时，不再需要从基本电磁定律出发，而可以通过统一的原型电机模型，经过一定的坐标变换，直接建立所研究电机的数学模型。-38-电机统一理论的要点：-39-

克朗所提出的原型电机有两种：一种是定、转子绕组的轴线在空间均为固定不动的d-q原型电机，另一种是转子绕组轴线在空间旋转的α-β原型电机，下面分别予以介绍。5.2.2d-q原型电机

1.基本结构

d-q原型电机也称为第一种原型电机，它是从一般的直流电机抽象得出的，是一种具有d、q轴线的装有换向器的理想电机，其特点就是定、转子绕组的轴线在空间均是固定不动的，如图5-7a所示。-39-克朗所提出的原型电机有两种：一种-40--40--41--41--42-

通常采用图5-7b的形式，即把转子的换向器绕组用两个等效线圈d和q来代替，这两个线圈不同于普通的线圈，它们虽然放置在转子上，其导体随转子一起以转速相对于定子旋转，但其轴线却被直轴和交轴的电刷所限定，固定在静止的直轴和交轴上。这种导体旋转、轴线静止的线圈，称为“伪静止线圈”。

伪静止线圈的基本特点是：

1）线圈中的电流产生沿相应轴线方向的在空间静止的磁场；

2）除了因磁场变化而在线圈中产生变压器电动势外，由于转子旋转，线圈中还会产生运动电动势。-42-通常采用图5-7b的形式，即把转子的-43-

2.基本方程电机的基本方程由定、转子各线圈的电压平衡方程（包括磁链方程）和转子运动方程（包括转矩方程）组成，下面按照电动机惯例来列写d-q原型电机的基本方程。

-43-2.基本方程电机的基本方-44-

2.基本方程电机的基本方程由定、转子各线圈的电压平衡方程（包括磁链方程）和转子运动方程（包括转矩方程）组成，下面按照电动机惯例来列写d-q原型电机的基本方程。

(1)电压平衡方程定子的两个线圈D和Q是普通线圈，其中只有变压器电动势，其电压平衡方程为（5-45）（5-46）磁链方程-44-2.基本方程电机的基本方-45-

转子的两个线圈d和q是伪静止线圈，其中除变压器电动势外，还有运动电动势，其电压平衡方程为（5-47）线圈d在q轴磁场中旋转而产生的运动电动势的系数线圈q在d轴磁场中旋转而产生的运动电动势的系数磁链方程（5-48）-45-转子的两个线圈d和q是伪静止线圈，其-46-

运动电动势的方向可由右手定则来确定，即如果运动电动势的实际方向与电流的规定正方向相反，取负值（图5-8a），运动电压则取正号，如式（5-47）的第一式；如果运动电动势的实际方向与电流的规定正方向相同，取正值（图5-8b），运动电压则取负号，如式（5-47）的第二式。-46-运动电动势的方向可由右手定则来确定，-47-

若用矩阵形式表示电压平衡方程，则式（5-45）、式（5-47）可写为（5-49）（5-50）电阻矩阵、电感矩阵、运动电动势系数矩阵、阻抗矩阵-47-若用矩阵形式表示电压平衡方程，则式（-48-电阻矩阵、电感矩阵、运动电动势系数矩阵、阻抗矩阵-48-电阻矩阵、电感矩阵、运动电动势系数矩阵、阻抗矩阵-49-当磁通密度沿电机气隙圆周作正弦分布时，研究表明（5-51）电机极对数把式（5-51）代入式（5-47），并利用式（5-48），可得（5-52）电角速度

-49-当磁通密度沿电机气隙圆周作正弦分布时，研究表明（5-50-

综上分析，在普通的静止线圈中只有变压器电动势，没有运动电动势，故G矩阵的有关各项都为零。只有在伪静止线圈中，既有变压器电动势，又有运动电动势，该运动电动势是由与伪静止线圈轴线正交方向上的磁场产生的。

(2)转子运动方程根据式（5-50），由外部电源输入电机的电功率为（5-53）电阻损耗磁场储能的增长率

转换功率

-50-综上分析，在普通的静止线圈中只有变压-51-于是电磁转矩为（5-54）转换矩阵（5-55）d-q原型电机的转子运动方程（5-56）负载转矩转动惯量阻尼系数-51-于是电磁转矩为（5-54）转换矩阵（5-55）-52-5.2.3α-β原型电机

1.基本结构

d-q原型电机的电枢绕组是换向器绕组，它与大多数交流电机的结构不同，不能直接从它导出交流电机的基本方程。为此，克朗提出了第二种原型电机，这是一种通过集电环向转子回路输入或输出电能的电机，即转子具有旋转轴线，称为α-β原型电机。图5-9是α-β原型电机的模型，其定子与d-q原型电机完全一样，转子上装有两个轴线相互正交的线圈α、β，它们通过集电环接到外部电源。由于转子电流是通过集电环引入的，所以当转子旋转时，α、β线圈电流所产生磁动势的轴线将随转子一起旋转。-52-5.2.3α-β原型电机-53--53--54-2.基本方程

(1)电压平衡方程根据电磁感应定律和基尔霍夫电压定律，α-β原型电机的电压平衡方程为（5-57）-54-2.基本方程（5-57）-55-

由于α-β原型电机的定子为凸极，故除定子线圈D、Q的自感LD、LQ为常值外，转子线圈α、β的自感和互感，以及定、转子线圈之间的互感都与转角θ有关。当气隙磁场为正弦分布时，转子线圈α、β的自感近似为（5-58）转子线圈α、β的互感近似为（5-59）-55-由于α-β原型电机的定子为凸极，故除-56-定、转子线圈之间的互感为（5-60）式中，分别是定、转子线圈轴线重合时，相应线圈之间互感的最大值，并且-56-定、转子线圈之间的互感为（5-60）式中，-57-(2)转子运动方程所有电动机的转子运动方程都是一样的，即式（5-56），关键是电磁转矩Tem的计算。在式（5-57）中，p(LI)

项并未完全展开，也就是式（5-50）所示的转换矩阵G未知，因而计算电磁转矩的公式（5-54）不能直接使用。这里介绍一种更为一般的电磁转矩计算方法。（5-50）（5-54）-57-(2)转子运动方程（5-50）-58-

根据机电能量转换的基本原理，电磁转矩Tem应等于电流保持不变而只有机械位移变化时磁场储能Wm对机械角位移θm的偏导数。磁场储能为，所以（5-61）电角位移-58-根据机电能量转换的基本原理，电磁转矩-59-5.3直流电动机模型

直流电动机与d-q原型电机最为接近，如图5-10所示。以最常见的他励直流电动机为例，其定子上有励磁绕组F和补偿绕组C，励磁绕组F位于直轴方向上，补偿绕组C位于交轴方向上；转子上只有电枢绕组A，并且是换向器绕组，即伪静止绕组，其轴线位于交轴方向上。-59-5.3直流电动机模型以最常见的他励-60-

可见，直流电动机与d-q原型电机对应的变量是相同的，只要将定子绕组D替换为励磁绕组F，定子绕组Q替换为补偿绕组C，转子绕组q替换为电枢绕组a，并且去掉与转子绕组d相对应的量，由式（5-50）就可直接得到直流电动机的电压平衡方程（5-62）-60-可见，直流电动机与d-q原型电机对应-61-电磁转矩则为（5-63）

同理，从d-q原型电机出发，也容易导出并励、串励等其它励磁方式的直流电动机的数学模型，这里不再赘述。当不计补偿绕组作用时，上述模型将更加简单。-61-电磁转矩则为（5-63）同理，-62-5.4交流异步电动机

交流异步电动机又称为感应电动机，按转子结构可分为绕线转子异步电动机和笼型转子异步电动机两大类。笼型转子的绕组是一个对称的多相绕组，经过一定的变换可以等效为对称的三相绕组或两相绕组，所以下面就三相绕线转子异步电动机的数学模型进行分析。如图5-11所示的一台三相绕线转子异步电动机，定子三相绕组分别用A、B、C表示，转子三相绕组分别用a、b、c表示，定子A相与转子a相绕组轴线间的夹角为θ，转子以机械角速度Ω逆时针旋转。-62-5.4交流异步电动机-63-

由于异步电动机的定、转子绕组都是对称的多相绕组，并且定、转子之间的气隙是均匀的，因此把坐标轴线固定在定子上比较方便。-63-由于异步电动机的定、转子绕组都是对称-64-

先对定子和转子变量同时进行静止三相到静止两相的变换，则图5-11的模型可以变换成图5-12a所示的等效α-β原型电机模型。-64-先对定子和转子变量同时进行静-65-

再进行α-β坐标系到d-q坐标系的变换，把转子绕组从旋转轴线变换到固定轴线，定子绕组则保持不变，即把转子绕组变换为伪静止绕组，而把定子绕组直接替换为静止绕组，如图5-12b所示。这样，根据式（5-50）可以直接得到交流异步电动机的电压平衡方程（5-64）-65-再进行α-β坐标系到d-q坐标系的变-66--66--67-参数关系-67-参数关系-68-（5-65）电角速度电磁转矩为（5-66）-68-（5-65）电角速度电磁转矩为（5-66）-69-5.5交流同步电动机交流同步电动机的定子与交流异步电动机基本相同，其定子绕组也是一对称的三相绕组。转子一般为凸极结构，其上装有励磁绕组，以及类似于笼型转子异步电动机的阻尼绕组。为简便计，这里先考虑转子仅有励磁绕组的情况。如图5-13所示的一台三相电励磁式凸极同步电动机，定子三相绕组分别用A、B、C表示，转子直轴方向上有励磁绕组F，定子A相绕组轴线与转子直轴间的夹角为θ，转子以机械角速度Ω逆时针旋转。-69-5.5交流同步电动机-70--70--71-

利用三相到两相的变换，可以把静止的定子三相绕组变换为静止的等效两相绕组，即从A-B-C坐标系变换为α-β坐标系。为了与标准的α-β原型电机模型相一致，可以认为转子励磁绕组F固定不动，而定子绕组α、β围绕转子在旋转，也就是说我们可以站在转子上观察同步电动机的运行。这样，定子的转向应为顺时针方向，如图5-14a所示，这就构成了与图5-13等效的α-β原型电机模型。再进行α-β坐标系到d-q坐标系的变换，把定子绕组从旋转轴线变换到固定轴线，即把定子绕组α、β变换为伪静止绕组d、q，而转子绕组F保持不变，如图5-14b所示（注意这里的旋转方向与图5-7b相反）。-71-利用三相到两相的变换，可以把静止的定-72-定子定子-72-定子定子-73-

这样，根据式（5-50）可以直接得到交流同步电动机的电压平衡方程（5-67）-73-这样，根据式（5-50）可以直接得到-74-参数关系-74-参数关系-75-（5-68）电角速度电磁转矩为（5-69）因直、交轴磁路磁阻不相等而产生的磁阻转矩。-75-（5-68）电角速度电磁转矩为（5-69）因直-76-

当转子上装有阻尼绕组时，要精确地表示这些阻尼绕组的作用，需要分别用直轴和交轴方向上若干个闭合回路来表征（称为阻尼绕组多回路模型），这将大大增加电机系统的阶数，求解也是比较困难的。在不需要精确计算阻尼绕组各导条与端环电流的场合下，可以采用直轴和交轴方向上各一个阻尼绕组来等效（称为直轴阻尼绕组D和交轴阻尼绕组Q），其等效的d-q原型电机模型如图5-15所示，相应的电压平衡方程与电磁转矩计算公式容易导出，此处从略。-76-当转子上装有阻尼绕组时，要精确地表-77-定子-77-定子-78--78--79-第5章坐标变换与电机统一理论5.1坐标变换理论5.2电机统一理论5.3直流电动机模型5.4交流异步电动机模型5.5交流同步电动机模型-1-第5章坐标变换与电机统一理论5.1坐标变换理论-80-

电机种类很多，普通的就有直流电机、交流异步电机和交流同步电机，还有许许多多的特种电机或控制电机。这些电机虽然结构各异，但在电磁本质上却都是一种具有相对运动的耦合电路，因此其数学模型的建立应具有相似性或统一性。

坐标变换理论和电机统一理论就是建立电机通用数学模型的基础。-2-电机种类很多，普通的就有直流电机、交流-81-5.1坐标变换理论

坐标变换是一种线性变换（线性代数），在高等数学里已初步涉及到这些内容，不过那里只限于平面坐标的变换，并且变换也只在同一平面内进行，原坐标系与新坐标系之间无相对运动，问题比较简单，内容容易理解。对电动机做系统分析时，所用的坐标变换，其内容就十分丰富，不仅可以将坐标系统扩展为n维空间，还可以将原坐标变换到另一个旋转平面上的坐标，或者由笛卡儿平面坐标变换到复平面坐标。这些理论与方法都是针对电动机这种复杂机电系统的实情所做出的对策，在电机学科的发展史上具有划时代的重要意义。-3-5.1坐标变换理论-82-5.1.1线性变换简介线性变换的定义是：对于某一组变量，用另一组新的变量去代替，这些新变量与原变量之间有着线性的关系，表现为一组线性方程，即（5-1）-4-5.1.1线性变换简介（5-1）-83-矩阵形式向量形式-5-矩阵形式向量形式-84-

在引入这些新的变量之后，新变量就成为待求的未知数，需要求解新的方程。如有必要，可将新的变量求得之后，再变换成原变量。为了使新变量和原来的变量之间有单值的联系，要求由线性变换系数所组成的行列式不等于零，或者说矩阵C是非奇异的。线性变换实质上是以适应某种需要而创建的一种十分有效的数学方法，在对电力电子与交流传动系统进行分析与设计时，具有特殊的应用价值。事实上，第4章在讨论SVPWM逆变器时已对空间矢量及坐标变换的基本概念有所涉及。

-6-在引入这些新的变量之后，新变量就成为-85-5.1.2坐标空间的确定以三相交流电机为例，用正交三维空间中的坐标系来表征电机各相的瞬时值，如电流，电压，磁链等。为了便于讨论问题，可设交流电机一组对称三相稳态电流的瞬时值为（5-4）同步角速度（角频率）-7-5.1.2坐标空间的确定（5-4）同步角速度（-86-

这组对称三相稳态电流的瞬时值可用正交三维空间A、B、C坐标系中的旋转向量I

在各轴上的投影表示，即旋转向量I每一瞬间在三维空间A、B、C坐标轴上的投影为，用向量形式表示如下：（5-5）轴线单位向量-8-这组对称三相稳态电流的瞬时值可用正交三-87-向量I的长度为（5-6）

由此可知，旋转向量I在过原点O的平面P内，以同步角速度旋转，其大小是恒定的，向量端头的运动轨迹是一个圆，如图5-1所示。为了易于建立旋转向量运动轨迹的概念，表5-1列出了旋转向量运动时所经过的特定点的值。-9-向量I的长度为（5-6）由此可知，旋-88--10--89-

如图5-2所示，A、B、C轴线在P平面上的投影分别为a、b、c轴线，它们互差120电角度。由于a轴与A轴之间的夹角为（5-7）若A、B、C轴线上的坐标直接用a、b、c轴线上的投影来表示，则需将该投影乘以一个系数“”。下面我们就用a、b、c轴线上的投影值来表示三相电流。媒介坐标系统a-b-c-11-如图5-2所示，A、B、C轴线在P平面-90-5.1.3坐标变换的一般方法在静止的正交三维空间A、B、C系统中，所表征的电磁量经坐标变换，可变换到旋转正交三维空间x、y、z系统。该坐标系统中由互相垂直的x轴与y轴所组成的平面，与旋转向量I所在的P平面重合，且以同步角速度绕垂直于x、y轴的第三轴线z旋转。y轴超前x轴90电角度。该x、y、z旋转坐标系统与A、B、C静止坐标系统均表示在图5-3中，可见旋转向量I相对于x、y、z旋转坐标系统是静止的。由于旋转向量I的线速度可表示为其角速度与I的向量积，即（5-8）-12-5.1.3坐标变换的一般方法（5-8）-91-ω1是旋转向量I相对于静止的A、B、C系统的角速度，其向量的表示式为（5-9）z轴单位向量-13-ω1是旋转向量I相对于静止的A、B、C系统的角速度-92-

设t=0时，I与a轴重合，则任何时刻I与a轴的夹角（也就是x轴与a轴的夹角）。由于向量I与a、b、c轴线在同一平面P之内，从空间向量的基本关系可知（5-10）由式（5-6）可知，向量I方向上的单位向量应为（5-11）-14-设t=0时，I与a轴重合，则任何时刻I-93-该单位向量就是x轴的单位向量，它与单位向量的关系为（5-12）y轴的单位向量可定义为（5-10）（5-14）-15-该单位向量就是x轴的单位向量，它与单位向-94-

根据线性变换的基本原理，静止的a、b、c系统三个单位向量与旋转的x、y、z系统三个单位向量互做变换时，需要三个关系式。与之间的关系式已定，即式（5-12）和式（5-14），可再定义与之间的关系式如下：（5-15）

-16-根据线性变换的基本原理，静止的a、b-95-（5-16）（5-17）-17-（5-16）（5-17）-96-将上式代入式（5-10），得（5-18）-18-将上式代入式（5-10），得（5-18）-97-写成矩阵形式（5-20）（5-21）-19-写成矩阵形式（5-20）（5-21）-98-

式（5-20）与式（5-21）为一般的静止坐标系统A、B、C与旋转坐标系统x、y、z之间的变换关系式。由于和

分别为旋转向量I在静止坐标系统与旋转坐标系统中各轴线上的投影，且之瞬时值可通过与旋转坐标系统同一平面P的“媒介坐标系统a、b、c”去表征，旋转坐标系统的转速，若从与a、b、c系统的相对转速去理解，显然不一定是同步转速，可以是任意转速，即式（5-20）与式（5-21）可适用于任意转速的旋转坐标系统。

转速问题？-20-式（5-20）与式（5-21）为一般-99-

另外，旋转向量的大小也不一定是恒定的，可为时间t的函数。设为一不对称的三相系统的电流量，其中含有正序、负序和零序三个分量，即大小问题？（5-22）-21-另外，旋转向量的大小也不一定是恒定的，-100-（5-23）（5-19）

（5-24）-22-（5-23）（5-19）（5-24）-101-

由于正序系统与负序系统从坐标变换来说是一样的，所以上式可写成（5-25）同理可得（5-26）

由此可知，式（5-20）与式（5-21）无论三相系统的量对称与否都适用。-23-由于正序系统与负序系统从坐标变换来说-102-5.1.4坐标变换的性质及约束坐标变换是一种线性变换，如无约束，变换就不是唯一的。在电机的系统分析中，所应用的坐标变换可有两种约束：1)功率不变约束，即变换前后功率保持不变。2)合成磁动势不变约束，即变换前后合成磁动势保持不变。下面首先介绍功率不变约束及其坐标变换的性质。两个约束同时满足？-24-5.1.4坐标变换的性质及约束两个约束-103-设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为和，在新的坐标系统中电压和电流向量变为和。新向量与原向量的坐标变换关系为（5-27）电压变换阵电流变换阵功率不变（5-30）-25-设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为-104-其中E为单位矩阵。式（5-30）就是功率不变约束下坐标变换阵和需要满足的关系式。在一般情况下，电压变换阵与电流变换阵可以取为同一矩阵，即令，则式（5-30）成为（5-32）

由此可知，在功率不变约束下，当电压向量和电流向量选取相同的变换阵时，变换阵的转置与其逆矩阵相等，这样的坐标变换属于正交变换。容易证明，式（5-20）与式（5-21）所示的坐标变换就属于正交变换，满足功率不变约束。-26-其中E为单位矩阵。式（5-30）就是功率不变约束下-105-

至于合成磁动势不变约束，因为绕组电流与磁动势成正比，只要把电流的合成向量分别在新坐标系和原坐标系进行投影，就可以确定新向量与原向量之间的坐标变换关系，式（4-28）和式（4-29）就是一种满足合成磁动势不变约束的坐标变换式。-27-至于合成磁动势不变约束，因为绕-106-5.1.5常用的坐标系统进行电机系统分析时，所应用的坐标变换可分为两大类：

1)坐标轴旋转的坐标系统。其旋转速度可以是电机转子的转速或同步转速，也可以是任意转速。这类系统的典型代表是d-q-0坐标系统；

2)坐标轴静止的坐标系统。这类系统除a-b-c相坐标系统外，比较典型的是α-β-0坐标系统。下面分别介绍d-q-0坐标系统和α-β-0坐标系统。-28-5.1.5常用的坐标系统-107-1.d-q-0坐标系统

电机转子上总认为有两条轴线，如旋转磁极式的同步电机，一条是和磁极轴线方向一致的轴线，称为直轴，以“d”表征；另一条是与直轴正交，且按顺时针方向滞后直轴90电角度，称为交轴，以“q”表征。如上述所选x-y-z坐标系，以转子转速旋转，将x轴放在d轴上，y轴放在q轴上，z轴则垂直通过d-q平面，为0轴，并且d、q轴绕0轴旋转。这样的坐标系统称为d-q-0坐标系，如图5-4所示。-29-1.d-q-0坐标系统如上-108-

在式（5-20）与式（5-21）x-y-z坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式中，将x、y、z下标分别换以d、q、0，即得d-q-0坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式-30-在式（5-20）与式（5-21）x--109-若用C表示变换矩阵，上标表示新坐标系，下标表示原坐标系，则相应的变换矩阵可表示为-31-若用C表示变换矩阵，上标表示新坐标系，下标表示原坐标-110-

2.α-β-0坐标系统

α-β-0坐标系统是一种静止的坐标系统，其α轴与a轴重合，β轴按顺时针方向滞后α轴90电角度，0轴垂直于α、β轴所组成的平面，如图5-5所示。-32-2.α-β-0坐标系统-111-

在式（5-20）与式（5-21）x-y-z坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式中，将θ=0代入，即得α-β-0坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式-33-在式（5-20）与式（5-21）x--112-相应的变换矩阵可表示为-34-相应的变换矩阵可表示为-113-

图5-4所示的d-q平面与图5-5所示的α-β平面是重合的，只不过前者旋转，后者静止。将两者画在一起，可得图5-6。根据向量的投影关系，可以得到α-β-0坐标系与d-q-0坐标系的变换关系式-35-图5-4所示的d-q平面与图5-5所-114-相应的变换矩阵可表示为

上述变换均由式（5-20）与式（5-21）演变而来，显然满足功率不变约束。另外，为简便计，d-q-0坐标系与α-β-0坐标系的0轴分量往往不予考虑，这样，上述变换实际上可以完成静止三相坐标系与静止两相坐标系、以及静止两相坐标系与旋转两相坐标系之间的坐标变换。-36-相应的变换矩阵可表示为上述变换均由-115-5.2电机统一理论5.2.1统一理论的要点旋转电机形式各异，但就其本质而言，都是由若干具有相对运动的电磁耦合线圈所组成的，因此各种电机的电磁关系和运动方程应具有统一性。能否在共性问题的基础上，建立统一的数学模型，并推导出不同电机的基本方程呢？上世纪三十年代，克朗（G.Kron）提出了原型电机的概念，分析了原型电机的基本电磁关系，并研究了原型电机与其它各种电机之间的联系。研究结果表明，任何电机的数学模型都可以从原型电机中导出，并用统一的方法求解。原型电机又称为一般化电机，这一理论就称为电机统一理论或一般化理论（GeneralTheory），它是电机理论的一个重大发展。-37-5.2电机统一理论-116-

电机统一理论的要点：

1）运用电磁学和力学的基本定律，建立原型电机的基本方程；

2）提出所研究电机的动态电路模型；

3）把所研究的电机和具有相应数量线圈的原型电机加以对比，建立联系矩阵；

4）通过联系矩阵，从原型电机的基本方程出发，导出所研究电机的数学模型；

5）再通过特定的坐标变换，把数学模型进一步变换成易于求解的形式，然后求解。

这样，分析各种电机时，不再需要从基本电磁定律出发，而可以通过统一的原型电机模型，经过一定的坐标变换，直接建立所研究电机的数学模型。-38-电机统一理论的要点：-117-

克朗所提出的原型电机有两种：一种是定、转子绕组的轴线在空间均为固定不动的d-q原型电机，另一种是转子绕组轴线在空间旋转的α-β原型电机，下面分别予以介绍。5.2.2d-q原型电机

1.基本结构

d-q原型电机也称为第一种原型电机，它是从一般的直流电机抽象得出的，是一种具有d、q轴线的装有换向器的理想电机，其特点就是定、转子绕组的轴线在空间均是固定不动的，如图5-7a所示。-39-克朗所提出的原型电机有两种：一种-118--40--119--41--120-

通常采用图5-7b的形式，即把转子的换向器绕组用两个等效线圈d和q来代替，这两个线圈不同于普通的线圈，它们虽然放置在转子上，其导体随转子一起以转速相对于定子旋转，但其轴线却被直轴和交轴的电刷所限定，固定在静止的直轴和交轴上。这种导体旋转、轴线静止的线圈，称为“伪静止线圈”。

伪静止线圈的基本特点是：

1）线圈中的电流产生沿相应轴线方向的在空间静止的磁场；

2）除了因磁场变化而在线圈中产生变压器电动势外，由于转子旋转，线圈中还会产生运动电动势。-42-通常采用图5-7b的形式，即把转子的-121-

2.基本方程电机的基本方程由定、转子各线圈的电压平衡方程（包括磁链方程）和转子运动方程（包括转矩方程）组成，下面按照电动机惯例来列写d-q原型电机的基本方程。

-43-2.基本方程电机的基本方-122-

2.基本方程电机的基本方程由定、转子各线圈的电压平衡方程（包括磁链方程）和转子运动方程（包括转矩方程）组成，下面按照电动机惯例来列写d-q原型电机的基本方程。

(1)电压平衡方程定子的两个线圈D和Q是普通线圈，其中只有变压器电动势，其电压平衡方程为（5-45）（5-46）磁链方程-44-2.基本方程电机的基本方-123-

转子的两个线圈d和q是伪静止线圈，其中除变压器电动势外，还有运动电动势，其电压平衡方程为（5-47）线圈d在q轴磁场中旋转而产生的运动电动势的系数线圈q在d轴磁场中旋转而产生的运动电动势的系数磁链方程（5-48）-45-转子的两个线圈d和q是伪静止线圈，其-124-

运动电动势的方向可由右手定则来确定，即如果运动电动势的实际方向与电流的规定正方向相反，取负值（图5-8a），运动电压则取正号，如式（5-47）的第一式；如果运动电动势的实际方向与电流的规定正方向相同，取正值（图5-8b），运动电压则取负号，如式（5-47）的第二式。-46-运动电动势的方向可由右手定则来确定，-125-

若用矩阵形式表示电压平衡方程，则式（5-45）、式（5-47）可写为（5-49）（5-50）电阻矩阵、电感矩阵、运动电动势系数矩阵、阻抗矩阵-47-若用矩阵形式表示电压平衡方程，则式（-126-电阻矩阵、电感矩阵、运动电动势系数矩阵、阻抗矩阵-48-电阻矩阵、电感矩阵、运动电动势系数矩阵、阻抗矩阵-127-当磁通密度沿电机气隙圆周作正弦分布时，研究表明（5-51）电机极对数把式（5-51）代入式（5-47），并利用式（5-48），可得（5-52）电角速度

-49-当磁通密度沿电机气隙圆周作正弦分布时，研究表明（5-128-

综上分析，在普通的静止线圈中只有变压器电动势，没有运动电动势，故G矩阵的有关各项都为零。只有在伪静止线圈中，既有变压器电动势，又有运动电动势，该运动电动势是由与伪静止线圈轴线正交方向上的磁场产生的。

(2)转子运动方程根据式（5-50），由外部电源输入电机的电功率为（5-53）电阻损耗磁场储能的增长率

转换功率

-50-综上分析，在普通的静止线圈中只有变压-129-于是电磁转矩为（5-54）转换矩阵（5-55）d-q原型电机的转子运动方程（5-56）负载转矩转动惯量阻尼系数-51-于是电磁转矩为（5-54）转换矩阵（5-55）-130-5.2.3α-β原型电机

1.基本结构

d-q原型电机的电枢绕组是换向器绕组，它与大多数交流电机的结构不同，不能直接从它导出交流电机的基本方程。为此，克朗提出了第二种原型电机，这是一种通过集电环向转子回路输入或输出电能的电机，即转子具有旋转轴线，称为α-β原型电机。图5-9是α-β原型电机的模型，其定子与d-q原型电机完全一样，转子上装有两个轴线相互正交的线圈α、β，它们通过集电环接到外部电源。由于转子电流是通过集电环引入的，所以当转子旋转时，α、β线圈电流所产生磁动势的轴线将随转子一起旋转。-52-5.2.3α-β原型电机-131--53--132-2.基本方程

(1)电压平衡方程根据电磁感应定律和基尔霍夫电压定律，α-β原型电机的电压平衡方程为（5-57）-54-2.基本方程（5-57）-133-

由于α-β原型电机的定子为凸极，故除定子线圈D、Q的自感LD、LQ为常值外，转子线圈α、β的自感和互感，以及定、转子线圈之间的互感都与转角θ有关。当气隙磁场为正弦分布时，转子线圈α、β的自感近似为（5-58）转子线圈α、β的互感近似为（5-59）-55-由于α-β原型电机的定子为凸极，故除-134-定、转子线圈之间的互感为（5-60）式中，分别是定、转子线圈轴线重合时，相应线圈之间互感的最大值，并且-56-定、转子线圈之间的互感为（5-60）式中，-135-(2)转子运动方程所有电动机的转子运动方程都是一样的，即式（5-56），关键是电磁转矩Tem的计算。在式（5-57）中，p(LI)

项并未完全展开，也就是式（5-50）所示的转换矩阵G未知，因而计算电磁转矩的公式（5-54）不能直接使用。这里介绍一种更为一般的电磁转矩计算方法。（5-50）（5-54）-57-(2)转子运动方程（5-50）-136-

根据机电能量转换的基本原理，电磁转矩Tem应等于电流保持不变而只有机械位移变化时磁场储能Wm对机械角位移θm的偏导数。磁场储能为，所以（