离散傅里叶变换(DFT)课件

离散傅里叶变换(DFT)DiscreteFourierTransform作业：1(1)(2)(3);8;9;14;15;16;18;19精选课件离散傅里叶变换(DFT)DiscreteFourier14.2.1离散傅里叶变换（DFT）1．DFT的定义用计算机进行傅里叶变换运算时，要求（1）时、频域均为离散的；（2）时、频域的点数均为有限的。1、连续时间、连续频率——傅立叶变换(FT)2、连续时间、离散频率——傅立叶级数(FS)3、离散时间、连续频率——序列的傅立叶变换(DTFT)4、离散时间、离散频率——离散傅立叶级数(DFS)精选课件4.2.1离散傅里叶变换（DFT）1．DFT的定义2主值序列主值序列DFT变换对DFS变换对…………精选课件主值序列主值序列DFT变换对DFS变换对…………精选课件3N点DFT变换对x(n)的长度为M点，N≥M精选课件N点DFTx(n)的长度为M点，N≥M精选课件4【例3.1.1】x(n)=R4(n),求x(n)的4点和8点DFT。

解设变换区间N=4，则精选课件【例3.1.1】x(n)=R4(n),求x(n)的45精选课件精选课件6有限长序列的DFT是有限长的DFT与DFS无本质区别，DFT是DFS的主值一般是复数，可表示为直角坐标形式也可以表示为极坐标形式精选课件有限长序列的DFT是有限长的精选课件73.1.2DFT和DTFT，ZT，DFS的关系设序列x(n)的长度为MDFT与ZT关系：DFT与DTFT关系：DFT与DFS的关系：精选课件3.1.2DFT和DTFT，ZT，DFS的关系DFT与Z83.1.3DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于的周期性，使X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有均为整数所以X(k)满足同理可证明x(n+mN)=x(n)精选课件3.1.3DFT的隐含周期性均为整数所以X(k)9(3.1.5)(3.1.6)(3.1.7)((n))N表示模N对n求余，即如果n=MN+n10≤n1≤N－1,M为整数则((n))N=n1例如，

,则有主值区间，主值序列，周期延拓精选课件(3.1.5)(3.1.6)(3.1.7)((n))N10图3.1.2x(n)及其周期延拓序列(3.1.5)(3.1.6)(3.1.7)精选课件图3.1.2x(n)及其周期延拓序列(3.1.5)(113.1.4用MATLAB计算序列的DFT【例3.1.2】设x(n)=R4(n)，X(ejω)=FT［x(n)］。分别计算X(ejω)在频率区间［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，并绘制X(ejω)采样的幅频特性图和相频特性图。%例3.1.2程序ep312.m%DFT的MATLB计算xn=［1111］;%输入时域序列向量xn=R4(n)Xk16=fft(xn,16);%计算xn的16点DFTXk32=fft(xn,32);%计算xn的32点DFT%以下为绘图部分（省略，程序集中有）程序运行结果如图3.1.3所示。精选课件3.1.4用MATLAB计算序列的DFT【例3.1.125．DFT的性质（1）线性时域频域（2）圆周移位（循环移位）若，称f(n)为x(n)的m点圆周移位序列。步骤：ⅱ）移位m点；ⅲ）取主值序列。ⅰ）将x(n)以N为周期周期延拓；精选课件5．DFT的性质（1）线性时域频域（2）圆周移位（循13图3.2.1x(n)及其循环移位过程精选课件图3.2.1x(n)及其循环移位过程精选课件14若则且

证明：令n+m=n′，则有：求和项以N为周期，因此对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区，则得精选课件若则且证明：令n+m=n′，则有：求和项以N为周期，153.2.3循环卷积定理

1．两个有限长序列的循环卷积设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为 （3.2.5）yc(n)=h(n)x(n)L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。精选课件3.2.3循环卷积定理yc(n)=h(n)x(n)16用矩阵计算循环卷积的公式当n=0,1,2,…,L－1时，由x(n)形成的序列为:{x(0),x(1),…,x(L－1)}令n=0,m=0,1,…,L－1，(3.2.5)中x((n-m))L形成的循环倒相序列为令n=1,m=0,1,…,L-1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成的序列为（3.2.6）精选课件用矩阵计算循环卷积的公式当n=0,1,2,…17上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度M<L，则需要在x(n)末尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。精选课件上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:精选18【例3.2.1】计算两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积

解按照式（3.2.21）写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为精选课件【例3.2.1】计算两个长度为4的序列h(n)与x(n)19精选课件精选课件20图3.2.2序列及其循环卷积波形精选课件图3.2.2序列及其循环卷积波形精选课件21

2.循环卷积定理有限长序列x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］，x1(n)和x2(n)的N点循环卷积为

（3.2.8）则x(n)的N点DFT为

其中N

（3.2.9）精选课件2.循环卷积定理N（3.2.9）精选课件22

证明直接对(3.2.8)式两边进行DFT，则有令n－m=n′，则有精选课件证明直接对(3.2.8)式两边进行DFT，则有令n－23由于，因此即循环卷积亦满足交换律。精选课件由于，因此精选课件24频域循环卷积定理:如果x(n)=x1(n)x2(n)，则(3.2.10a)N

精选课件频域循环卷积定理:(3.2.10a)N精选课件253.2.4复共轭序列的DFT设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为NX(k)=DFT［x(n)］则DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7)且X(N)=X(0)精选课件3.2.4复共轭序列的DFT精选课件263.2.5DFT的共轭对称性1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列，下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列(圆周对称序列)和共轭反对称序列，则二者满足如下定义式：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1(3.2.13a)xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1(3.2.13b)(3.2.14)(3.2.16a)(3.2.16b)精选课件3.2.5DFT的共轭对称性(3.2.14)(327图3.2.3共轭对称与共轭反对称序列示意图精选课件图3.2.3共轭对称与共轭反对称序列示意图精选课件28DFT对称性的结论：结论一：结论二：精选课件DFT对称性的结论：结论一：结论二：精选课件29设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则(1)X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.23)所以只需要计算一半，后头一半是前一半取共轭(2)如果x(n)=x(N-n)则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k)(3.2.24)(3)如果x(n)=-x(N-n)，则X(k)纯虚奇对称，即X(k)=-X(N-k)(3.2.25)

精选课件设x(n)是长度为N的实序列，精选课件30例3.2.2利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个N点DFT，就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT。

解构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对x(n)进行DFT，得到：精选课件例3.2.2利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通31图1.5.3采样信号的频谱图1.5.4采样恢复1.时域采样造成频域以采样角频率为周期,周期延拓。2.时域采样后频域不会发生混叠的条件是：…。3.时域无失真采样后可以通过理想低通滤波器恢复原信号。精选课件图1.5.3采样信号的频谱图1.5.4采样恢复1.时32频率抽样定理设任意序列x(n)的Z变换为且X(z)的收敛域包含单位圆（即x(n)存在傅里叶变换）。在单位圆上对X(z)等间隔采样N点,得到：序列xN(n)与原序列x(n)之间的关系是怎样的？精选课件频率抽样定理设任意序列x(n)的Z变换为序列xN(n)与原序331.X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的N点IDFT是原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列。2.如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数N≥M时，才xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n)，即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。精选课件1.X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的N点IDF34式(3.3.6)称为用X(k)表示X(z)的内插公式，φk(z)称为内插函数。精选课件式(3.3.6)称为用X(k)表示X(z)的内插公式，φk(35【例3.3.1】长度为26的三角形序列x(n)如图3.3.1(a)所示。编写MATLAB程序验证频域采样理论。

解图3.3.1频域采样定理验证精选课件【例3.3.1】长度为26的三角形序列x(n)如图3363.4DFT的应用举例3.4.1用DFT计算线性卷积用DFT计算循环卷积很简单。设h(n)和x(n)的长度分别为N和M,其L点循环卷积为且L精选课件3.4DFT的应用举例且L精选课件37假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：

其中所以(3.4.1)(3.4.2)L精选课件假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。38对照(3.4.1)式可以看出，上式中即(3.4.3)说明，yc(n)等于yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。我们知道，yl(n)长度为N＋M－1，因此只有当循环卷积长度L≥N＋M－1时，yl(n)以L为周期进行周期延拓时才无时域混叠现象。此时取其主值序列显然满足yc(n)=yl(n)。精选课件对照(3.4.1)式可以看出，上式中说明，yc(n)等于yl39取L≥N＋M-1，则可用DFT(FFT)计算线性卷积。其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)来实现，故常称其为快速卷积。精选课件取L≥N＋M-1，则可用DFT(FFT)计算线性卷积。其中D40实际上，经常遇到两个序列的长度相差很大的情况，例如M>>N。解决这个问题的方法是将长序列分段计算，这种分段处理方法有重叠相加法和重叠保留法两种。设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长序列。将x(n)等长分段，每段长度取M，则每一分段卷积yk(n)的长度为N＋M－1，因此相邻分段卷积yk(n)与yk＋1(n)有N－1个点重叠，必须把重叠部分的yk(n)与yk＋1(n)相加，才能得到正确的卷积序列y(n)。精选课件实际上，经常遇到两个序列的长度相差很大的情况，例如M>>N41图3.4.3用重叠相加法计算线性卷积时域关系示意图精选课件图3.4.3用重叠相加法计算线性卷积时域关系示意图精选42例3.4.1假设h(n)=R5(n)，x(n)=［cos(πn/10)+cos(2πn/5)］u(n)，用重叠相加法计算y(n)=h(n)*x(n)，并画出h(n)、x(n)和y(n)的波形。精选课件例3.4.1假设h(n)=R5(n)，x(n)=［cos(433.4.2用DFT对信号进行谱分析

1．用DFT对连续信号进行谱分析

2．用DFT对序列进行谱分析

3．Chirp－Z变换

4．用DFT进行谱分析的误差问题

1．用DFT对连续信号进行谱分析假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号设连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fcxa(t)的傅里叶变换为Xa(jΩ)，对xa(t)进行时域采样形成序列x(n)=xa(nT)，x(n)的傅里叶变换为X(ejω)精选课件3.4.2用DFT对信号进行谱分析1．用DFT对连44由假设条件可知x(n)的长度为(3.4.5)用X(k)表示x(n)的N点DFT，下面推导出X(k)与Xa(jΩ)的关系(3.4.6)式中def表示模拟信号频谱Xa(jΩ)的周期延拓函数。精选课件由假设条件可知x(n)的长度为(3.4.6)式中def表45由x(n)的N点DFT的定义有(3.4.7)将(3.4.7)式代入(3.4.6)式,得到：(3.4.8)(3.4.8)式说明了X(k)与Xa(jΩ)的关系。为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量，整理（3.4.8）式。精选课件由x(n)的N点DFT的定义有精选课件46def令精选课件def令精选课件47N11spFNTTF===图3.4.6用DFT分析连续信号谱的原理示意图精选课件N11spFNTTF===图3.4.6用DFT分析连续信481.可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T，近似得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期［0,fs］上的N点等间隔采样，如图3.4.6所示。2.对满足假设的持续时间有限的带限信号，在满足时域采样定理时，包含了模拟信号频谱的全部信息（k=0,1,2,…,N/2,表示正频率频谱采样;k=N/2+1，N/2+2，…，N－1,表示负频率频谱采样），对实序列可以只分析其正频率频谱分量。3.可由X(k)恢复Xa(jΩ)或xa(t)，但直接由分析结果X(k)看不到Xa(jΩ)的全部频谱特性，而只能看到N个离散采样点的谱线，这就是所谓的栅栏效应。精选课件1.可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T，近似得到模49截断效应截取一段Tp，假设Tp=8s，采样间隔T=0.25s(即采样频率Fs=4Hz)，采用点数N=Tp/T=32；频域采样间隔F=1/Tp=0.125Hz；由于ha(t)为实信号，因此仅取正频率［0,fs/2］频谱采样：精选课件截断效应截取一段Tp，假设Tp=8s，采样间隔T=0.250在对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题，这就是谱分析范围和频率分辨率。谱分析范围为［0,Fs/2］，直接受采样频率Fs的限制。为了不产生频率混叠失真，通常要求信号的最高频率fc<Fs/2。频率分辨率用频率采样间隔F描述，F表示谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔。显然，F越小，谱分析就越接近Xa(jf)，所以F较小时，我们称频率分辨率较高。N11spFNTTF===精选课件在对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题，这就是谱分析51DFT对连续信号分析时的参数选择原则fc----信号最高截止频率

F-----频(谱)率分辨率（频域采样时的最小频率间隔）

Fs----采样频率

Tp----信号记录时间T----采样间隔N-----采样点数精选课件DFT对连续信号分析时的参数选择原则精选课件52【例3.4.2】对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F≤10Hz，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间Tpmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率提高1倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少？

解因此Tpmin=0.1s。因为要求Fs≥2fc，所以精选课件【例3.4.2】对实信号进行谱分析，要求谱分辨率53为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此选用N=512点。为使频率分辨率提高1倍，即F=5Hz，要求：用快速算法FFT计算时，选用N=1024点。精选课件为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此54思考题时域对一段有限长模拟信号以4kHz采样，对得到的N个抽样信号做N点DFT，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100Hz。如果想使得频谱看得更清楚，每50Hz就有一根谱线，采用8kHz采样，对得到的2N个抽样信号做2N点DFT，能达到目的吗？为什么？不能达到目的，因为，采样间隔提高一倍，采样点数N也提高一倍，那么频率分辨率F应该保持不变。精选课件思考题时域对一段有限长模拟信号以4kHz采样，对得到的N个抽55

2．用DFT对序列进行谱分析我们知道单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换，即X(ejω)是ω的连续周期函数。如果对序列x(n)进行N点DFT得到X(k)，则X(k)是在区间［0，2π］上对X(ejω)的N点等间隔采样，频谱分辨率就是采样间隔2π/N。因此序列的傅里叶变换可利用DFT(即FFT)来计算。精选课件2．用DFT对序列进行谱分析精选课件56使用DFT对周期序列进行频谱分析精选课件使用DFT对周期序列进行频谱分析精选课件57如果截取长度M等于的整数个周期，即M=mN，m为正整数，即（3.4.17）令n=n′＋iN;i=0,1,…,m－1;n′=0,1,…,N－1，则精选课件如果截取长度M等于的整数个周期，即M=mN，m为正58因为精选课件因为精选课件59所以（3.4.18）举例：如果m=2M301.MM3011.M精选课件所以举例：如果m=2M301.MM3011.M精选60如果的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即再将截取长度扩大1倍，截取比较XM(k)和X2M(k)，如果二者的主谱差别满足分析误差要求，则以XM(k)或X2M(k)近似表示的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。设最后截取长度为iM，则XiM(k0)表示ω=［2π/(iM)］k0点的谱线强度。精选课件如果的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即精选611.频谱混叠对连续信号进行分析时，需要首先进行时域离散，如果采样频率Fs不能够满足采样定理，则将会在Fs/2附近发生频率混叠现象，此时用DFT进行分析结果必然在Fs/2附近产生较大误差。一般取Fs＝(3~5)fc。在Fs确定时，一般在采样前进行预滤波，以滤除高于折叠频率的频率成分。解决办法:预滤波增大采样频率精选课件1.频谱混叠对连续信号进行分析时，需要首先进行时域离散，62

2.栅栏效应

1.通过DFT来分析连续时间信号的频谱特性，而DFT是对DTFT在一个周期内的N点等间隔采样2.所以DFT的结果只能表示信号的频谱特性在一些频域采样点上的值。仿佛是隔着栅栏看风景解决途径：减小栅栏效应的一个方法是在所取数据的末端加一些零值点，使一个周期内点数增加,但是不改变原有的记录数据。精选课件

2.栅栏效应

1.通过DFT来分析连续时间信号的频谱特63(3)截断效应。实际中遇到的序列x(n)可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时，必须将其截短，形成有限长序列y(n)=x(n)w(n)，w(n)称为窗函数，长度为N。w(n)=RN(n),称为矩形窗函数。根据傅里叶变换的频域卷积定理，有精选课件(3)截断效应。实际中遇到的序列x(n)可能是无限64其中对矩形窗数w(n)=RN(n)，有精选课件其中精选课件65例如，x(n)=cos(ω0n)，ω0=π/4,其频谱为精选课件例如，x(n)=cos(ω0n)，ω0=π/4,其频谱66比较截断前、后的幅度谱的差别：谱线加宽，频谱泄露定义：原来的离散谱线向两边展宽，这种将谱线展宽的现象称为频谱泄漏。约束因素：矩形窗的长度越长，展宽的宽度就越窄。影响：泄漏会使频谱模糊，谱的分辨率降低。谱间干扰出现原因：频谱卷积以后存在着的旁瓣影响：降低谱分辨率泄漏和谱间干扰统称为信号的截断效应。减轻截断效应的方法---（1）适当加大窗口宽度；（2）采用适当形状的窗函数截断

精选课件比较截断前、后的幅度谱的差别：精选课件67最后要说明的是，栅栏效应与频率分辨率是不同的两个概念。如果截取长度为N的一段数据序列，则可以在其后面补N个零，再进行2N点DFT，使栅栏宽度减半，从而减轻了栅栏效应。但是这种截短后补零的方法不能提高频率分辨率。因为截短已经使频谱变模糊，补零后仅使采样间隔变小，但得到的频谱采样的包络仍是已经变模糊的频谱，所以频率分辨率没有提高。因此，要提高频率分辨率，就必须对原始信号截取的长度加长（对模拟信号，就是增加采样时间Tp的长度）。M302.M精选课件最后要说明的是，栅栏效应与频率分辨率是不同的两个概念。68时域离散信号的时域分析时域离散信号的频域分析用计算机来辅助分析频谱非周期信号的频谱--DTFT（）周期信号的频谱--DFS(or引入冲激的DTFT)将DTFT推广到ZT1.由DFS推出DFT2.DFT的物理含义，与ZT,DTFT,DFS关系3.性质：隐含周期；线性；循环移位；循环卷积；复共轭的DFT；共轭对称性4.频域采样理论（三点）5.应用：（1）计算线卷，计算长线卷的方法（2）分析信号频谱（连续，离散，误差）

精选课件时域离散信号的时域分析时域离散信号的频域分析用计算机来辅助分69习题与上机题1．计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，序列定义为(1)x(n)=1(2)x(n)=δ(n)(3)x(n)=δ(n－n0)0<n0<N精选课件习题与上机题精选课件708．若X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，Y(k)=X((k+l))NRN(k)，证明精选课件8．若X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y719．已知x(n)长度为N，X(k)=DFT［x(n)］，求Y(k)与X(k)的关系式。精选课件9．已知x(n)长度为N，X(k)=DFT［x(n)］，精7214．两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0n<0,8≤ny(n)=0n<0,20≤n对每个序列作20点DFT，即F(k)=X(k)·Y(k)k=0，1，…，19f(n)=IDFT［F(k)］k=0，1，…，19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等,为什么？精选课件14．两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为F(k)7315．已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25,0.125－j0.3018,0,0.125－j0.0518,0。（1）求X(k)的其余3点的值；（2），求（3）x2(n)=x(n)ejπn/4，求x2(k)=DFT［x2(n)］8。精选课件15．已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.27416．x(n)、x1(n)和x2(n)分别如题16图(a)、(b)和(c)所示，已知X(k)=DFT［x(n)］8。求X1(k)=DFT［x1(n)］8和X2(k)=DFT［x2(n)］8［注:用X(k)表示X1(k)和X2(k)。］精选课件16．x(n)、x1(n)和x2(n)分别如题16图(7518．用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F≤50Hz，信号最高频率为1kHz，试确定以下各参数：(1)最小记录时间Tpmin；(2)最大取样间隔Tmax；(3)最少采样点数Nmin；(4)在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。精选课件18．用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F≤57619．已知调幅信号的载波频率fc=1kHz，调制信号频率fm=100Hz，用FFT对其进行谱分析，试求：(1)最小记录时间Tp;(2)最低采样频率fs;(3)最少采样点数N。精选课件19．已知调幅信号的载波频率fc=1kHz，调制信号77离散傅里叶变换(DFT)DiscreteFourierTransform作业：1(1)(2)(3);8;9;14;15;16;18;19精选课件离散傅里叶变换(DFT)DiscreteFourier784.2.1离散傅里叶变换（DFT）1．DFT的定义用计算机进行傅里叶变换运算时，要求（1）时、频域均为离散的；（2）时、频域的点数均为有限的。1、连续时间、连续频率——傅立叶变换(FT)2、连续时间、离散频率——傅立叶级数(FS)3、离散时间、连续频率——序列的傅立叶变换(DTFT)4、离散时间、离散频率——离散傅立叶级数(DFS)精选课件4.2.1离散傅里叶变换（DFT）1．DFT的定义79主值序列主值序列DFT变换对DFS变换对…………精选课件主值序列主值序列DFT变换对DFS变换对…………精选课件80N点DFT变换对x(n)的长度为M点，N≥M精选课件N点DFTx(n)的长度为M点，N≥M精选课件81【例3.1.1】x(n)=R4(n),求x(n)的4点和8点DFT。

解设变换区间N=4，则精选课件【例3.1.1】x(n)=R4(n),求x(n)的482精选课件精选课件83有限长序列的DFT是有限长的DFT与DFS无本质区别，DFT是DFS的主值一般是复数，可表示为直角坐标形式也可以表示为极坐标形式精选课件有限长序列的DFT是有限长的精选课件843.1.2DFT和DTFT，ZT，DFS的关系设序列x(n)的长度为MDFT与ZT关系：DFT与DTFT关系：DFT与DFS的关系：精选课件3.1.2DFT和DTFT，ZT，DFS的关系DFT与Z853.1.3DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于的周期性，使X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有均为整数所以X(k)满足同理可证明x(n+mN)=x(n)精选课件3.1.3DFT的隐含周期性均为整数所以X(k)86(3.1.5)(3.1.6)(3.1.7)((n))N表示模N对n求余，即如果n=MN+n10≤n1≤N－1,M为整数则((n))N=n1例如，

,则有主值区间，主值序列，周期延拓精选课件(3.1.5)(3.1.6)(3.1.7)((n))N87图3.1.2x(n)及其周期延拓序列(3.1.5)(3.1.6)(3.1.7)精选课件图3.1.2x(n)及其周期延拓序列(3.1.5)(883.1.4用MATLAB计算序列的DFT【例3.1.2】设x(n)=R4(n)，X(ejω)=FT［x(n)］。分别计算X(ejω)在频率区间［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，并绘制X(ejω)采样的幅频特性图和相频特性图。%例3.1.2程序ep312.m%DFT的MATLB计算xn=［1111］;%输入时域序列向量xn=R4(n)Xk16=fft(xn,16);%计算xn的16点DFTXk32=fft(xn,32);%计算xn的32点DFT%以下为绘图部分（省略，程序集中有）程序运行结果如图3.1.3所示。精选课件3.1.4用MATLAB计算序列的DFT【例3.1.895．DFT的性质（1）线性时域频域（2）圆周移位（循环移位）若，称f(n)为x(n)的m点圆周移位序列。步骤：ⅱ）移位m点；ⅲ）取主值序列。ⅰ）将x(n)以N为周期周期延拓；精选课件5．DFT的性质（1）线性时域频域（2）圆周移位（循90图3.2.1x(n)及其循环移位过程精选课件图3.2.1x(n)及其循环移位过程精选课件91若则且

证明：令n+m=n′，则有：求和项以N为周期，因此对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区，则得精选课件若则且证明：令n+m=n′，则有：求和项以N为周期，923.2.3循环卷积定理

1．两个有限长序列的循环卷积设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为 （3.2.5）yc(n)=h(n)x(n)L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。精选课件3.2.3循环卷积定理yc(n)=h(n)x(n)93用矩阵计算循环卷积的公式当n=0,1,2,…,L－1时，由x(n)形成的序列为:{x(0),x(1),…,x(L－1)}令n=0,m=0,1,…,L－1，(3.2.5)中x((n-m))L形成的循环倒相序列为令n=1,m=0,1,…,L-1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成的序列为（3.2.6）精选课件用矩阵计算循环卷积的公式当n=0,1,2,…94上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度M<L，则需要在x(n)末尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。精选课件上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:精选95【例3.2.1】计算两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积

解按照式（3.2.21）写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为精选课件【例3.2.1】计算两个长度为4的序列h(n)与x(n)96精选课件精选课件97图3.2.2序列及其循环卷积波形精选课件图3.2.2序列及其循环卷积波形精选课件98

2.循环卷积定理有限长序列x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］，x1(n)和x2(n)的N点循环卷积为

（3.2.8）则x(n)的N点DFT为

其中N

（3.2.9）精选课件2.循环卷积定理N（3.2.9）精选课件99

证明直接对(3.2.8)式两边进行DFT，则有令n－m=n′，则有精选课件证明直接对(3.2.8)式两边进行DFT，则有令n－100由于，因此即循环卷积亦满足交换律。精选课件由于，因此精选课件101频域循环卷积定理:如果x(n)=x1(n)x2(n)，则(3.2.10a)N

精选课件频域循环卷积定理:(3.2.10a)N精选课件1023.2.4复共轭序列的DFT设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为NX(k)=DFT［x(n)］则DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7)且X(N)=X(0)精选课件3.2.4复共轭序列的DFT精选课件1033.2.5DFT的共轭对称性1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列，下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列(圆周对称序列)和共轭反对称序列，则二者满足如下定义式：xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1(3.2.13a)xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1(3.2.13b)(3.2.14)(3.2.16a)(3.2.16b)精选课件3.2.5DFT的共轭对称性(3.2.14)(3104图3.2.3共轭对称与共轭反对称序列示意图精选课件图3.2.3共轭对称与共轭反对称序列示意图精选课件105DFT对称性的结论：结论一：结论二：精选课件DFT对称性的结论：结论一：结论二：精选课件106设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则(1)X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.23)所以只需要计算一半，后头一半是前一半取共轭(2)如果x(n)=x(N-n)则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k)(3.2.24)(3)如果x(n)=-x(N-n)，则X(k)纯虚奇对称，即X(k)=-X(N-k)(3.2.25)

精选课件设x(n)是长度为N的实序列，精选课件107例3.2.2利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个N点DFT，就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT。

解构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对x(n)进行DFT，得到：精选课件例3.2.2利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通108图1.5.3采样信号的频谱图1.5.4采样恢复1.时域采样造成频域以采样角频率为周期,周期延拓。2.时域采样后频域不会发生混叠的条件是：…。3.时域无失真采样后可以通过理想低通滤波器恢复原信号。精选课件图1.5.3采样信号的频谱图1.5.4采样恢复1.时109频率抽样定理设任意序列x(n)的Z变换为且X(z)的收敛域包含单位圆（即x(n)存在傅里叶变换）。在单位圆上对X(z)等间隔采样N点,得到：序列xN(n)与原序列x(n)之间的关系是怎样的？精选课件频率抽样定理设任意序列x(n)的Z变换为序列xN(n)与原序1101.X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的N点IDFT是原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列。2.如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数N≥M时，才xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n)，即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。精选课件1.X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的N点IDF111式(3.3.6)称为用X(k)表示X(z)的内插公式，φk(z)称为内插函数。精选课件式(3.3.6)称为用X(k)表示X(z)的内插公式，φk(112【例3.3.1】长度为26的三角形序列x(n)如图3.3.1(a)所示。编写MATLAB程序验证频域采样理论。

解图3.3.1频域采样定理验证精选课件【例3.3.1】长度为26的三角形序列x(n)如图31133.4DFT的应用举例3.4.1用DFT计算线性卷积用DFT计算循环卷积很简单。设h(n)和x(n)的长度分别为N和M,其L点循环卷积为且L精选课件3.4DFT的应用举例且L精选课件114假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：

其中所以(3.4.1)(3.4.2)L精选课件假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。115对照(3.4.1)式可以看出，上式中即(3.4.3)说明，yc(n)等于yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。我们知道，yl(n)长度为N＋M－1，因此只有当循环卷积长度L≥N＋M－1时，yl(n)以L为周期进行周期延拓时才无时域混叠现象。此时取其主值序列显然满足yc(n)=yl(n)。精选课件对照(3.4.1)式可以看出，上式中说明，yc(n)等于yl116取L≥N＋M-1，则可用DFT(FFT)计算线性卷积。其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)来实现，故常称其为快速卷积。精选课件取L≥N＋M-1，则可用DFT(FFT)计算线性卷积。其中D117实际上，经常遇到两个序列的长度相差很大的情况，例如M>>N。解决这个问题的方法是将长序列分段计算，这种分段处理方法有重叠相加法和重叠保留法两种。设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长序列。将x(n)等长分段，每段长度取M，则每一分段卷积yk(n)的长度为N＋M－1，因此相邻分段卷积yk(n)与yk＋1(n)有N－1个点重叠，必须把重叠部分的yk(n)与yk＋1(n)相加，才能得到正确的卷积序列y(n)。精选课件实际上，经常遇到两个序列的长度相差很大的情况，例如M>>N118图3.4.3用重叠相加法计算线性卷积时域关系示意图精选课件图3.4.3用重叠相加法计算线性卷积时域关系示意图精选119例3.4.1假设h(n)=R5(n)，x(n)=［cos(πn/10)+cos(2πn/5)］u(n)，用重叠相加法计算y(n)=h(n)*x(n)，并画出h(n)、x(n)和y(n)的波形。精选课件例3.4.1假设h(n)=R5(n)，x(n)=［cos(1203.4.2用DFT对信号进行谱分析

1．用DFT对连续信号进行谱分析

2．用DFT对序列进行谱分析

3．Chirp－Z变换

4．用DFT进行谱分析的误差问题

1．用DFT对连续信号进行谱分析假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号设连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fcxa(t)的傅里叶变换为Xa(jΩ)，对xa(t)进行时域采样形成序列x(n)=xa(nT)，x(n)的傅里叶变换为X(ejω)精选课件3.4.2用DFT对信号进行谱分析1．用DFT对连121由假设条件可知x(n)的长度为(3.4.5)用X(k)表示x(n)的N点DFT，下面推导出X(k)与Xa(jΩ)的关系(3.4.6)式中def表示模拟信号频谱Xa(jΩ)的周期延拓函数。精选课件由假设条件可知x(n)的长度为(3.4.6)式中def表122由x(n)的N点DFT的定义有(3.4.7)将(3.4.7)式代入(3.4.6)式,得到：(3.4.8)(3.4.8)式说明了X(k)与Xa(jΩ)的关系。为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量，整理（3.4.8）式。精选课件由x(n)的N点DFT的定义有精选课件123def令精选课件def令精选课件124N11spFNTTF===图3.4.6用DFT分析连续信号谱的原理示意图精选课件N11spFNTTF===图3.4.6用DFT分析连续信1251.可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T，近似得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期［0,fs］上的N点等间隔采样，如图3.4.6所示。2.对满足假设的持续时间有限的带限信号，在满足时域采样定理时，包含了模拟信号频谱的全部信息（k=0,1,2,…,N/2,表示正频率频谱采样;k=N/2+1，N/2+2，…，N－1,表示负频率频谱采样），对实序列可以只分析其正频率频谱分量。3.可由X(k)恢复Xa(jΩ)或xa(t)，但直接由分析结果X(k)看不到Xa(jΩ)的全部频谱特性，而只能看到N个离散采样点的谱线，这就是所谓的栅栏效应。精选课件1.可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T，近似得到模126截断效应截取一段Tp，假设Tp=8s，采样间隔T=0.25s(即采样频率Fs=4Hz)，采用点数N=Tp/T=32；频域采样间隔F=1/Tp=0.125Hz；由于ha(t)为实信号，因此仅取正频率［0,fs/2］频谱采样：精选课件截断效应截取一段Tp，假设Tp=8s，采样间隔T=0.2127在对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题，这就是谱分析范围和频率分辨率。谱分析范围为［0,Fs/2］，直接受采样频率Fs的限制。为了不产生频率混叠失真，通常要求信号的最高频率fc<Fs/2。频率分辨率用频率采样间隔F描述，F表示谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔。显然，F越小，谱分析就越接近Xa(jf)，所以F较小时，我们称频率分辨率较高。N11spFNTTF===精选课件在对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题，这就是谱分析128DFT对连续信号分析时的参数选择原则fc----信号最高截止频率

F-----频(谱)率分辨率（频域采样时的最小频率间隔）

Fs----采样频率

Tp----信号记录时间T----采样间隔N-----采样点数精选课件DFT对连续信号分析时的参数选择原则精选课件129【例3.4.2】对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F≤10Hz，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间Tpmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率提高1倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少？

解因此Tpmin=0.1s。因为要求Fs≥2fc，所以精选课件【例3.4.2】对实信号进行谱分析，要求谱分辨率130为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此选用N=512点。为使频率分辨率提高1倍，即F=5Hz，要求：用快速算法FFT计算时，选用N=1024点。精选课件为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此131思考题时域对一段有限长模拟信号以4kHz采样，对得到的N个抽样信号做N点DFT，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100Hz。如果想使得频谱看得更清楚，每50Hz就有一根谱线，采用8kHz采样，对得到的2N个抽样信号做2N点DFT，能达到目的吗？为什么？不能达到目的，因为，采样间隔提高一倍，采样点数N也提高一倍，那么频率分辨率F应该保持不变。精选课件思考题时域对一段有限长模拟信号以4kHz采样，对得到的N个抽132

2．用DFT对序列进行谱分析我们知道单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换，即X(ejω)是ω的连续周期函数。如果对序列x(n)进行N点DFT得到X(k)，则X(k)是在区间［0，2π］上对X(ejω)的N点等间隔采样，频谱分辨率就是采样间隔2π/N。因此序列的傅里叶变换可利用DFT(即FFT)来计算。精选课件2．用DFT对序列进行谱分析精选课件133使用DFT对周期序列进行频谱分析精选课件使用DFT对周期序列进行频谱分析精选课件134如果截取长度M等于的整数个周期，即M=mN，m为正整数，即（3.4.17）令n=n′＋iN;i=0,1,…,m－1;n′=0,1,…,N－1，则精选课件如果截取长度M等于的整数个周期，即M=mN，m为正135因为精选课件因为精选课件136所以（3.4.18）举例：如果m=2M301.MM3011.M精选课件所以举例：如果m=2M301.MM3011.M精选137如果的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即再将截取长度扩大1倍，截取比较XM(k)和X2M(k)，如果二者的主谱差别满足分析误差要求，则以XM(k)或X2M(k)近似表示的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。设最后截取长度为iM，则XiM(k0)表示ω=［2π/(iM)］k0点的谱线强度。精选课件如果的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即精选1381.频谱混叠对连续信号进行分析时，需要首先进行时域离散，如果采样频率Fs不能够满足采样定理，则将会在Fs/2附近发生频率混叠现象，此时用DFT进行分析结果必然在Fs/2附近产生较大误差。一般取Fs＝(3~5)fc。在Fs确定时，一般在采样前进行预滤波，以滤除高于折叠频率的频率成分。解决办法:预滤波增大采样频率精选课件1.频谱混叠对连续信号进行分析时，需要首先进行时域离散，139

2.栅栏效应

1.通过DFT来分析连续时间信号的频谱特性，而DFT是对DTFT在一个周期内的N点等间隔采样2.所以DFT的结果只能表示信号的频谱特性在一些频域采样点上的值。仿佛是隔着栅栏看风景解决途径：减小栅栏效应的一个方法是在所取数据的末端加一些零值点，使一个周期内点数增加,但是不改变原有的记录数据。精选课件

2.栅栏效应

1.通过DFT来分析连续时间信号的频谱特140(3)截断效应。实际中遇到的序列