基本不等式(第一课时) 人教A版高中数学必修第一册全文课件

2.2基本不等式（第一课时）2.2基本不等式（第一课时）1

重要不等式：a2＋b2≥2ab基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于几何平均数．创设情境如果a＞0，b＞0，用

代替a，b，得到：当且仅当a＝b时取等号．几何平均数代数平均数基本不等式重要不等式：a2＋b2≥2ab基本不等式表明两个正数的算术2

证明：要证明

，只需证明

，所以原不等式成立．只需证

，只要证

而

显然成立．过程：执果索因分析法新知探究分析法证明：要证明，3基本不等式的几何解释ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD≥几何意义：半径不小于半弦长当点C在什么位置时OD=CD？此时a与b的关系是？基本不等式的几何解释ABCDEabO如图,AB是圆的直径,4重要不等式与基本不等式的比较适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】重要不等式与基本不等式的比较适用范围文字叙述“=”成立条件a5例1若,求的最小值.例1若,求6

新知探究基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】新知探究基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修7归纳：利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足(1)a，b必须是正数.（一正）(2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值；

在ab为定值时，便可以知道a+b的最值.（二定）(3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）归纳：利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足8积定问题例2已知x

，y都是正数，求证：

如果积xy

等于定值P，那么当x=y时，和

x+y有最小值

；

证明：基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】积定问题例2已知x，y都是正数，求证：9和定问题例2已知x

，y都是正数，求证：

如果和

x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.

证明：和定问题例2已知x，y都是正数，求证：10配凑系数分析:

x+(1-2x)

不是

常数.2=1为

解:∵0<x<，∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤

∙[]22x+(1-2x)21218=.

当且仅当

时，取“=”号.2x=(1-2x)，即

x=

14∴当

x=时，

函数

y=x(1-2x)

的最大值是.14181.若

0<x<，求函数

y=x(1-2x)

的最大值.12针对练习基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】配凑系数分析:x+(1-2x)不是常数.2=1112.已知x>0，y>0，xy=24，求4x+6y的最小值，并说明此时x，y的值．3已知x>0，y>0，且x+2y=1求的最小值.当x=6，y=4时，最小值为48针对练习基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】2.已知x>0，y>0，xy=24，求4x+6y的最小值，并121、（作业B本）课本P42习题2.2第1，2，4，5题2、金版P29-P32P30第5题P317,8,9P32例题2的3,5不用做，其他的都做

作业基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】1、（作业B本）作业基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高13

目标检测只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立．即，即

，即需证

，而

显然成立，已知a，b∈R，求证

1证明：要证明

，只需证明

，基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】目标检测只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立．即14

目标检测（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应的x值．当且仅当

，即

时，等号成立．所以

的最小值为

，这时

．（1）已知x＞0，求

的最小值及相应的x值．2解：（1）∵x＞0，∴

，基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】目标检测（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应15目标检测由当且仅当1－x＝x，即

时取等号．（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应的x值．（1）已知x＞0，求

的最小值及相应的x值．2解：（2）∵0＜x＜1，∴1－x＞0，基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】目标检测由当且仅当1－x＝x，即时取等号16

目标检测（1）

；

（2）

．又由于x≠y，所以等号取不到．∴

，∴．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：3证明：（1）∵x，y都是正数，基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】目标检测（1）；17

目标检测又由于x≠y，所以等号取不到．∴，∴．两边同乘

，得

．（1）

；

（2）

．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：3证明：（2）∵x，y都是正数，基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】目标检测又由于x≠y，所以等号取不到．∴18

目标检测当两条直角边的长度各为10cm时，两条直角边的和最小，最小值为20．则由已知得＝50，即ab＝100，∵

，当且仅当a＝b＝10时取等号．已知直角三角形的面积等于50cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？4解：设直角三角形两边为a，b，1目标检测当两条直角边的长度各为10cm时，两条直角边的和192.2基本不等式（第一课时）2.2基本不等式（第一课时）20

重要不等式：a2＋b2≥2ab基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于几何平均数．创设情境如果a＞0，b＞0，用

代替a，b，得到：当且仅当a＝b时取等号．几何平均数代数平均数基本不等式重要不等式：a2＋b2≥2ab基本不等式表明两个正数的算术21

证明：要证明

，只需证明

，所以原不等式成立．只需证

，只要证

而

显然成立．过程：执果索因分析法新知探究分析法证明：要证明，22基本不等式的几何解释ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD≥几何意义：半径不小于半弦长当点C在什么位置时OD=CD？此时a与b的关系是？基本不等式的几何解释ABCDEabO如图,AB是圆的直径,23重要不等式与基本不等式的比较适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】重要不等式与基本不等式的比较适用范围文字叙述“=”成立条件a24例1若,求的最小值.例1若,求25

新知探究基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】新知探究基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修26归纳：利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足(1)a，b必须是正数.（一正）(2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值；

在ab为定值时，便可以知道a+b的最值.（二定）(3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）归纳：利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足27积定问题例2已知x

，y都是正数，求证：

如果积xy

等于定值P，那么当x=y时，和

x+y有最小值

；

证明：基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】积定问题例2已知x，y都是正数，求证：28和定问题例2已知x

，y都是正数，求证：

如果和

x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.

证明：和定问题例2已知x，y都是正数，求证：29配凑系数分析:

x+(1-2x)

不是

常数.2=1为

解:∵0<x<，∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤

∙[]22x+(1-2x)21218=.

当且仅当

时，取“=”号.2x=(1-2x)，即

x=

14∴当

x=时，

函数

y=x(1-2x)

的最大值是.14181.若

0<x<，求函数

y=x(1-2x)

的最大值.12针对练习基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】配凑系数分析:x+(1-2x)不是常数.2=1302.已知x>0，y>0，xy=24，求4x+6y的最小值，并说明此时x，y的值．3已知x>0，y>0，且x+2y=1求的最小值.当x=6，y=4时，最小值为48针对练习基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】2.已知x>0，y>0，xy=24，求4x+6y的最小值，并311、（作业B本）课本P42习题2.2第1，2，4，5题2、金版P29-P32P30第5题P317,8,9P32例题2的3,5不用做，其他的都做

作业基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】1、（作业B本）作业基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高32

目标检测只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立．即，即

，即需证

，而

显然成立，已知a，b∈R，求证

1证明：要证明

，只需证明

，基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】目标检测只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立．即33

目标检测（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应的x值．当且仅当

，即

时，等号成立．所以

的最小值为

，这时

．（1）已知x＞0，求

的最小值及相应的x值．2解：（1）∵x＞0，∴

，基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】目标检测（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应34目标检测由当且仅当1－x＝x，即

时取等号．（2）已知0＜x＜1，求x（1－x）的最大值及相应的x值．（1）已知x＞0，求

的最小值及相应的x值．2解：（2）∵0＜x＜1，∴1－x＞0，基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】基本不等式（第一课时）-【新】人教A版高中数学必修第一册PPT全文课件【完美课件】目标检测由当且仅当1－x＝x，即时取等号3