北师大版高中数学必修4第一章周期现象课件

1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质(一)第一章

§1.4

三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)第一章§1.4学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考1

知识点一函数的周期性如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？答案答案不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以说3是f(x)的周期.思考2

所有的函数都具有周期性吗？答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考1知识点一函数的周期性如果函数f(x)满足f(x＋3思考3

周期函数都有最小正周期吗？答案答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.思考3周期函数都有最小正周期吗？答案答案周期函数不一定存函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个

，使得当x取定义域内的______值时，都有

，那么函数f(x)就叫做周期函数，

叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

，那么这个最小正数叫做f(x)的

.梳理非零常数T每一个f(x＋T)＝f(x)非零常数T最小的正数最小正周期函数的周期性梳理非零常数T每一个f(x＋T)＝f(x)非零常思考1

知识点二正弦函数、余弦函数的周期性证明函数y＝sinx和y＝cosx都是周期函数.答案答案∵sin(x＋2π)＝sinx，cos(x＋2π)＝cosx，∴y＝sinx和y＝cosx都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考1知识点二正弦函数、余弦函数的周期性证明函数y＝si思考2

证明函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是周期函数.答案由诱导公式一知，对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，同理，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)也是周期函数.答案思考2证明函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝梳理由sin(x＋2kπ)＝

，cos(x＋2kπ)＝

(k∈Z)知，y＝sinx与y＝cosx都是

函数，

都是它们的周期，且它们的最小正周期都是

.sinxcosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2π梳理由sin(x＋2kπ)＝，cos(x＋2思考知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性对于x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案答案

奇偶性.思考知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性对于x∈R，sin(梳理(1)对于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函数y＝sinx是

函数，正弦曲线关于

对称.(2)对于y＝cosx，x∈R恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函数y＝cosx是

函数，余弦曲线关于

对称.原点奇偶y轴梳理(1)对于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－s题型探究题型探究解答类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.(1)y＝sin(2x＋

)(x∈R)；解答类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.函数f(x)＝sinz的最小正周期是2π，即变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重复取得.函数f(x)＝sinz的最小正周期是2π，(2)y＝|sinx|(x∈R).解因为y＝|sinx|其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.解答(2)y＝|sinx|(x∈R).解因为y＝|sinx反思与感悟对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T＝

来求解，对于y＝|Asinωx|的周期情况常结合图象法来求解.反思与感悟对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0时的解答跟踪训练1求下列函数的周期.(2)y＝|cos2x|.解答跟踪训练1求下列函数的周期.(2)y＝|cos2x|例2判断下列函数的奇偶性.类型二三角函数的奇偶性解答∴f(x)是偶函数.例2判断下列函数的奇偶性.类型二三角函数的奇偶性解答∴f(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；解答∴f(x)的定义域关于原点对称.又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定义域不反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(－x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：解答跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.解f(x)＝sin2x＋x2sinx，∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.解答跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.解f(x)＝sin解答∴f(x)既是奇函数又是偶函数.解答∴f(x)既是奇函数又是偶函数.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用解答解∵f(x)的最小正周期是π，∵f(x)是R上的偶函数，类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用解答解∵f(x)反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自解答解答解答类型四函数周期性的综合应用解答类型四函数周期性的综合应用∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在跟踪训练4设函数f(x)＝

，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝

.0答案解析∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2011)＋f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)跟踪训练4设函数f(x)＝，则f(1当堂训练当堂训练答案23451√答案23451√2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是答案23451√2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是答案23451√答案23451解析√答案23451解析√23451∴f(x)＝－cos2x.又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.23451∴f(x)＝－cos2x.4.函数y＝sin(ωx＋

)的最小正周期为2，则ω的值为

.答案23451解析±π4.函数y＝sin(ωx＋)的最小正周期为2，则ω的值23451答案解析23451答案解析规律与方法1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sinx|.(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝

.规律与方法1.求函数的最小正周期的常用方法：2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函本课结束本课结束1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质(一)第一章

§1.4

三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)第一章§1.4学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考1

知识点一函数的周期性如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？答案答案不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以说3是f(x)的周期.思考2

所有的函数都具有周期性吗？答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考1知识点一函数的周期性如果函数f(x)满足f(x＋3思考3

周期函数都有最小正周期吗？答案答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.思考3周期函数都有最小正周期吗？答案答案周期函数不一定存函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个

，使得当x取定义域内的______值时，都有

，那么函数f(x)就叫做周期函数，

叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

，那么这个最小正数叫做f(x)的

.梳理非零常数T每一个f(x＋T)＝f(x)非零常数T最小的正数最小正周期函数的周期性梳理非零常数T每一个f(x＋T)＝f(x)非零常思考1

知识点二正弦函数、余弦函数的周期性证明函数y＝sinx和y＝cosx都是周期函数.答案答案∵sin(x＋2π)＝sinx，cos(x＋2π)＝cosx，∴y＝sinx和y＝cosx都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考1知识点二正弦函数、余弦函数的周期性证明函数y＝si思考2

证明函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是周期函数.答案由诱导公式一知，对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，同理，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)也是周期函数.答案思考2证明函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝梳理由sin(x＋2kπ)＝

，cos(x＋2kπ)＝

(k∈Z)知，y＝sinx与y＝cosx都是

函数，

都是它们的周期，且它们的最小正周期都是

.sinxcosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2π梳理由sin(x＋2kπ)＝，cos(x＋2思考知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性对于x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案答案

奇偶性.思考知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性对于x∈R，sin(梳理(1)对于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函数y＝sinx是

函数，正弦曲线关于

对称.(2)对于y＝cosx，x∈R恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函数y＝cosx是

函数，余弦曲线关于

对称.原点奇偶y轴梳理(1)对于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－s题型探究题型探究解答类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.(1)y＝sin(2x＋

)(x∈R)；解答类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.函数f(x)＝sinz的最小正周期是2π，即变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重复取得.函数f(x)＝sinz的最小正周期是2π，(2)y＝|sinx|(x∈R).解因为y＝|sinx|其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.解答(2)y＝|sinx|(x∈R).解因为y＝|sinx反思与感悟对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T＝

来求解，对于y＝|Asinωx|的周期情况常结合图象法来求解.反思与感悟对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0时的解答跟踪训练1求下列函数的周期.(2)y＝|cos2x|.解答跟踪训练1求下列函数的周期.(2)y＝|cos2x|例2判断下列函数的奇偶性.类型二三角函数的奇偶性解答∴f(x)是偶函数.例2判断下列函数的奇偶性.类型二三角函数的奇偶性解答∴f(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；解答∴f(x)的定义域关于原点对称.又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定义域不反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(－x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：解答跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.解f(x)＝sin2x＋x2sinx，∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.解答跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.解f(x)＝sin解答∴f(x)既是奇函数又是偶函数.解答∴f(x)既是奇函数又是偶函数.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用解答解∵f(x)的最小正周期是π，∵f(x)是R上的偶函数，类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用解答解∵f(x)反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自解答解答解答类型四函数周期性的综合应用解答类型四函数周期性的综合应用∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在跟踪训练4设函数f(x)＝

，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝

.0答案解析∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(