专升本高等数学知识点

PAGEPAGE14/14专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：xyx

根式的形式定义域：x≥0ylog x a二、函数的性质1、函数的单调性当x x1

时，恒有f(x1

)f(x2

)，f(x)在x，x1 2

所在的区间上是增加的。当x x1

时，恒有f(x1

)f(x2

)，f(x)在x，x1 2

所在的区间上是减少的。2、函数的奇偶性yf(xD关于坐标原点对称（即若xD，则有xD）fxDf(x)f(x。fxDf(x)f(x。三、基本初等函数1、常数函数：yc，定义域是(,)，图形是一条平行于x轴的直线。2、幂函数：yxu，(u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。3、指数函数定义:yf(x)axa是常数且a0a1).图形过（0,1）点。4、对数函数定义:yf(x)log x，(a是常数且a0，a1)。图形过点。a5、三角函数正弦函数:ysinxT2，D(f)(,)，f(D)[1,1]。余弦函数:ycosx.T2，D(f)(,)，f(D)[1,1]。正切函数:ytanx.T，D(f){x|xR,x(2k余切函数:ycotx.

2

kZ}，f(D)(,).(1)反正弦函数:yarcsinxDf(2)反余弦函数:yarccosx，D(f)[1,1]，f(D)[0,]。(3)(1)反正弦函数:yarcsinxDf(2)反余弦函数:yarccosx，D(f)[1,1]，f(D)[0,]。(3)反正切函数:yarctanxD(f)(,)(4)反余切函数:yarccotx，D(f)(,)，f(D)(0,)。极限一、求极限的方法1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。2、传统求极限的方法利用极限的四则运算法则求极限。利用等价无穷小量代换求极限。利用两个重要极限求极限。利用罗比达法则就极限。二、函数极限的四则运算法则设limuA，limvB，则x xlim(uv)limulimvABx x xlim(uv)limulimvAB.x x x推论（a)lim(CvClimvC为常数)。x x（b）limun(limu)nx x3，(B0.P(xPx

xnaxn

，则limP(xP(x)0 1

xx0 0P(xQ(x均为多项式，且Q(x)0，则三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：当x0时sinx~xtanx~xarctanx~x，arcsinx~xx)~xex1~x对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当□0时，sin□~□，其余类似。四、两个重要极限重要极限I 。它可以用下面更直观的结构式表示重要极限II 。其结构可以表示为：八、洛必达(L’Hospital)法则0”型不定式，存在有

f(x)

lim

f'(x)

A（或。0 xa

g(x)

xa

g'(x)一元函数微分学一、导数的定义设函数yf(x)在点x 的某一邻域内有定义，当自变量 x在x 处取得增量x（点0 0x仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量yf(x x)f(x)。如果当0 0 0x0时，函数的增量y与自变量x的增量之比的极限limy=lim=f（x）注意两个符号x和x

在题目中可能换成其他的符号表示。x0x x0 0 0二、求导公式1、基本初等函数的导数公式（1）(C)0 C)（2）(x)x（为任意常数）(ax)axlna(aa特殊情况(ex)ex(loga

x)1logx

e 1 (xaa，xlna(sinx)cosx(cosx)sinx（9）1x2（10）(arccosx)'1x2

(1x1)（12）2、导数的四则运算公式（1）[u(x)v(x)]u(x)v(x)（2）[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)（3）[ku]ku（k为常数）u(x)（4）v(x)

u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x) 3、复合函数求导公式：设yf(u),u(x)，且f(u)及(x)都可导，则复合函数yf(xdy

dydu

f'(u).(x)。dx du dx三、导数的应用1、函数的单调性f(x)0f(x)在(ab内严格单调增加。f(x)0f(x)在(ab内严格单调减少。2、函数的极值f'(x)0的点——函数f(x)的驻点。设为x0xx0xx0

(x)0xx0(x0xx0

(x)0f(xf(x的极大值点。0(x)0f(xf(x的极小值点。0

'(xxf(x不是极值点。0 03、曲线的凹凸性f(x0yf(x在(ab内是凹的。f(x0yf(x在(ab内是凸的。4、曲线的拐点

''(x)在x 的左、右两侧异号时，点(x,f(x))为曲线yf(x)的拐点，此时0 0 0f''(x)0.0

(x)x的左、右两侧同号时，点(x,f(xyf(x的拐点。0 0 05、函数的最大值与最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式dyf(x)dx，求微分就是求导数。一元函数积分学一、不定积分1+C式来记忆。2、不定积分的性质（1）[

f(x)dx]'f(x或d

f(x)dxf(x)dx（2）

F(x)dxF(xC或dF(x)F(xC（3）[f(x(x)(x)]dxf(x)dx(x)(x)dx。（4）kf(x)dxk

f(x)dx（k为常数且k0。2、基本积分公式（要求熟练记忆）0dxCxadx（3）.

1a

xa1

C (a.（4）(a0,a1)（5）

exdxexC（6）sinxdxcosxC（7）

cosxdxsinxC（8）.（9）

1sin2x

dxcotxC.（10） 11x

dxarcsinxC.

11x

dxarctanxC.3、第一类换元积分法对不定微分g(x)dxg(x)dx凑成g(x)dxf[(x)](x)dxf(x)d(x，这是关键的一步。常用的凑微分的公式有：1f(axb)dxa

f(axb)d(axb)1f(axk

b)xk1dx f(axkb)d(axkb)xkaxx（3）f( x) x

dx2f xd1（4）f( )1x

1 1 1dx f( )dx2 x f(ex)exdxf(ex)d(ex)1f(lnx)

dxf(lnx)d(lnx)xf(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx)f(cosx)sinxdxf(cosx)d(cosx)1f(tanx)

cos21

dxf(tanx)d(tanx)f(cotx) dxf(cotx)d(cotx)sin2x1x2f(arcsinx)1x2

dxf(arcsinx)d(arcsinx)1x21f(arccosx) dxf(arccosx)d1x21f(arctanx)（14）(x)4、分部积分法udvuvvdu

11x

dxf(arctanx)d(arctanx)二、定积分公式1（牛顿—莱布尼茨公式）F(x)是连续函数fx在区间[ab上的任意一个原函数，bfx)dxF(bF(a。ayyyyf(x)yg(x)aob x如果某平面图形是由两条连续曲线g(x),y1

f(x)及两条直线x1

a和x2

b所围成的（其中y是下面的曲线，y是上面的曲线，则1 2其面积可由下式求出：Sb[f(x)g(x)]dx.a3、计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线yf(x)(f(x)0)和直线yyf(x)o ax x+dxb xxa,xb(ayyf(x)o ax x+dxb x多元函数微分学1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。2、全微分公式：。3、复合函数的偏导数——利用函数结构图如果、在点处存在连续的偏导数 ， ，

v，且在对应于(x,y的点(uv)yzzf(uv存在连续的偏导数

zf[(xy),(xy在点(x,y)处存在对x及y的连续偏导数，且4、隐函数的导数F(x,y)0yf(xyxy：，2、隐函数的偏导数F(xyz)0zf(xy，可用下列公式求偏导数：，，5、二元函数的极值zf(xy在点(xy的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且0 0 0 0f'(x,yx 0

)0

'(x,yy 0

0f''xx

(x,y0

)A''xy

(x,y0

)B''yy

(x,y0

)C，则：B

AC0f(xy在点(xyA00 0时有极大值，当A0时有极小值。B2B

AC0f(xy在点(xy处无极值。0 0AC0f(xy在点(xy处是否有极值不能确定，要用其它方0 0法另作讨论。平面与直线平面与直线1、平面方程（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点M(x,y1、平面方程（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点M(x,y,z)，以n{,B,C}为0 0 0 0法向量的平面方程为A(xx)B(yy)C(zz)00 00称之为平面的点法式方程（2）平面的一般式方程AxByCzD0称之为平面的一般式方程2、特殊的平面方程AxByCz0表示过原点的平面方程AxByD0表示平行于Oz轴的平面方程AxBy0表示过Oz轴的平面方程CzD0表示平行于坐标平面xOy的平面方程3、两个平面间的关系设有平面1 1:AxByCzD01 1 12:AxByCzD2 2 220平面和A平面和AA1 21 2BB CC1 21 20平面和平行的充分必要条件是：1 2平面和重合的充分必要条件是：1 24、直线的方程（1）M(xyz且平行于向量sn的直线方程0 0 0 0xxm0yyn0zzp0称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程。sn为所给直线的方向向量（2）直线的一般式方程AxByCzD 0AxByCzD 01111称之为直线的一般式方程22225、两直线间关系设直线ll5、两直线间关系设直线ll的方程为1 2l:1x1m1yy1n1zp11l:1xxm22yyn22zp22直线ll平行的充分必要条件为；1 2直线ll互相垂直的充分必要条件为mm1 21 2nn pp1 21 2066、直线l与平面间的关系设直线l与平面的方程为l:l:xxm0yyn0zzp0:A(xx)B(yy)C(zz)00 0 0直线直线l与平面垂直的充分必要条件为：直线与平面平行的充分必要条件为：直线与平面平行的充分必要条件为：lAmBnCp0Am Bn Cp D00o0直线直线l落在平面上的充分必要条件为AmBnCp0Am Bn Cp D00o0将初等函数展开成幂级数将初等函数展开成幂级数1fx在1fx在Ux,0limR(x)0，R(x)f(n1))(xx)n1nnn(n1)!0则在U(x,)内0f(x)n0f (x)(n)0(xx)0nfxxfxxx的幂级数。0 02、几个常用的标准展开式①②③④sinx()nn0x2n1(2n⑤⑥⑦常微分方程常微分方程11、一阶微分方程（1）可分离变量的微分方程若一阶微分方程F(x,y,y)0通过变形后可写成g(y)dyf(x)dx 或 yf(x)g(y)则称方程F(x,y,y)0为可分离变量的微分方程.2、、可分离变量微分方程的解gy)dyf(x)dx必存在隐式通解Gy)F(xC。其中：G(y)g(y)dy,F(x)f(x)dx.即两边取积分。即两边取积分。（2）一阶线性微分方程1、定义：方程yP(x)yQ(x)称为一阶线性微分方程.(1)Q(x)0；(2)齐次方程——yP(x)y0.22、求解一阶线性微分方程（（1）先求齐次方程yP(x)y0的通解：yCeP(x)dx,其中C为任意常数。（2（2）将齐次通解的C换成u(x)。即yu(x)eP(x)dx（3）代入非齐次方程yP(x)yQ(x),得yyeP(x)dxq(xeP(x)dxdxC2、二阶线性常系数微分方程（1）可降阶的二阶微分方程11、yf(x)型的微分方程3.yy1

1e24

cosxC；1yydx e2xsinxCxC .8 1 222、yf(x,y)型的微分方程解法：py，方程化为pf(x,p；解此方程得通解p(xC；1再解方程y(xC1

) 得原方程的通解y(x,CC.1 233、yf(y,y)型的微分方程解法：py,py的函数,y

dpdpdypdp,dx dy dx dy,得解此方程得通解pyC；1再解方程y(y,C) 得原方程的通解1.例4：求方程yyy20的通解.分析：(1)令py,并视p为y的函数,那么y

dpdpdypdp,dx dy dx dy/r/