河北鸡泽县第一中学2023学年高三3月份模拟考试数学试题（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()A． B． C． D．2．已知，则下列说法中正确的是（）A．是假命题 B．是真命题C．是真命题 D．是假命题3．设复数z＝，则|z|＝（）A． B． C． D．4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是()A．18种 B．36种 C．54种 D．72种5．函数（且）的图象可能为（）A． B． C． D．6．已知某口袋中有3个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是．若，则=()A． B．1 C． D．27．若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．8．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（）A． B． C． D．9．计算等于()A． B． C． D．10．已知集合，，则（）A． B． C． D．11．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，若球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.14．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________.15．在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为______.16．平行四边形中，，为边上一点（不与重合），将平行四边形沿折起，使五点均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球的表面积为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求和的普通方程；（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，∠，是边长为2的正三角形，，为线段的中点．（1）求证：平面平面；（2）若为线段上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．19．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，，，求证：.20．（12分）在等比数列中，已知，.设数列的前n项和为，且，（，）.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列是等差数列；（3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由.21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若射线与曲线C交于点A（不同于极点O），与直线l交于点B，求的最大值.22．（10分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B．2、D【答案解析】

举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案．【题目详解】当时，故命题为假命题；记f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命题为真命题；∴是假命题故选D【答案点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．3、D【答案解析】

先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.【题目详解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,则|z|＝＝＝＝.故选：D.【答案点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.4、B【答案解析】

把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.【题目详解】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，则不同的分配方案有种.故选：.【答案点睛】本题考查排列组合，属于基础题.5、D【答案解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.6、B【答案解析】由题意或4，则，故选B．7、A【答案解析】

由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【题目详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【答案点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.8、C【答案解析】

由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可.【题目详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选：C.【答案点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.9、A【答案解析】

利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【题目详解】原式.故选：A【答案点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.10、B【答案解析】

求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论.【题目详解】由，得，则集合，所以，.故选：B.【答案点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题.11、D【答案解析】

通过列举法可求解，如两角分别为时【题目详解】当时，，但，故充分条件推不出；当时，，但，故必要条件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【答案点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题12、B【答案解析】

由题意画出图形，设球0得半径为R，AB=x,AC=y,由球0的表面积为20π，可得R2=5，再求出三角形ABC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱锥体积公式得答案.【题目详解】设球的半径为，，，由，得．如图：设三角形的外心为，连接，，，可得，则．在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，，．则三棱锥的体积的最大值为．故选：．【答案点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【题目详解】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.【答案点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.14、【答案解析】

利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．【题目详解】解：设点，，其中，，由，，，可设，导数为，由，可得，可得或，由，，可得，即，可得，由可得函数递减；由，可得函数递增，可得时，函数取得最小值，且为，则的最小值为1．故答案为：1．【答案点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．15、【答案解析】

先求出球O1的半径，再求出球的半径，即得球的表面积.【题目详解】解：,，,，设球O1的半径为，由题得，所以棱柱的侧棱为.由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为，所以球的表面积为.故答案为：【答案点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.16、【答案解析】

依题意可得、、、四点共圆，即可得到，从而得到三角形为正三角形，利用余弦定理可得，且，要使四棱锥体积最大，当且仅当面面时体积取得最大值，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再又可证面，则外接球的半径，即可求出球的表面积；【题目详解】解：依题意可得、、、四点共圆，所以因为，所以，，所以三角形为正三角形，则，，利用余弦定理得即，解得，则所以，当面面时，取得最大，所以的外接圆的半径，又面面，，且面面，面所以面，所以外接球的半径所以故答案为：【答案点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）【答案解析】

（1）消去曲线参数方程中的参数，求得和的普通方程.（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.【题目详解】（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：.（2）设过原点的直线的极坐标方程为；由得，所以曲线的极坐标方程为在曲线中，.由得曲线的极坐标方程为，所以而到直线与曲线的交点的距离为，因此，即的最小值为.【答案点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.18、（1）见解析；（2）.【答案解析】

（1）先证明，可证平面，再由可证平面，即得证；（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值为，可求解，转化即得解.【题目详解】（1）证明：因为是正三角形，为线段的中点，所以．因为是菱形，所以．因为，所以是正三角形，所以，所以平面．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面，所以，．而，所以，．又，所以平面．以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则．于是，，．设面的一个法向量，由得令，则，即．设，易得，．设面的一个法向量，由得令，则，，即．依题意，即，令，则，即，即．所以．【答案点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合，考查了面面垂直的判断，二面角的向量求解，三棱锥的体积等知识点，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.19、（1）；（2）证明见解析.【答案解析】

（1）分、、三种情况解不等式，即可得出该不等式的解集；（2）利用分析法可知，要证，即证，只需证明即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【题目详解】（1）.当时，由，解得，此时；当时，不成立；当时，由，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）要证，即证，因为，，所以，，，.所以，.故所证不等式成立.【答案点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.20、（1）（2）见解析（3）存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设【答案解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得数列的递推公式，即可知结果为常数，即得证；（3）由（2）可得数列的通项公式，，设出等差数列，再根据不等关系来算出的首项和公差即可.【题目详解】（1）设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得.所以数列的通项公式为：.（2）由（1）得，当，时，可得①，②②①得，，则有，即，，.因为，由①得，，所以，所以，.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.（3）由（2）得，所以，.假设存在等差数列，其通项，使得对任意，都有，即对任意，都有.③首先证明满足③的.若不然，，则，或.（i）若，则当，时，，这与矛盾.（ii）若，则当，时，.而，，所以.故，这与矛盾.所以.其次证明：当时，.因为，所以在上单调递增，所以，当时，.所以当，时，.再次证明.（iii