人教版数学九年级下册2721相似三角形的判定课件

27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定(第1课时)

27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定11.相似多边形的特征是什么？2.怎样判定两个多边形相似？3.什么叫相似比？4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A

＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？

ABCA1B1C11.相似多边形的特征是什么？ABCA1B1C12证明：∵DF∥AC，1cmB.的三角形与原三角形相似.已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D、E．设菱形的边长为xcm，则CD=AD=xcm，DF=(4－x）cm，FC=4，那么AF的长是多少？如图，在△ABC中，EF∥BC.∴.3cmD.如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．如图，DE∥BC，，；∴.解：∵l1∥l2∥l3，证明：∵DF∥AC，利用平行线分线段成比例定理及推论求线段长度的三角形与原三角形相似.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.请分别度量l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,

BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB：BC与DE：EF相等吗？任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,它们的比值还相等吗？

????猜想ABCDEF

l2l1

除此之外，还有其他对应线段成比例吗？l2l3l4l5知识点1平行线分线段成比例定理若，那么若，那么即证明：∵DF∥AC，请分别度量l3,l4,事实上，当l3//l4//l5时，都可以得到，

还可以得到，，等.

ABCDEFl3l4l5

l1l2

通过探究，你得到了什么规律呢？事实上，当l3//l4//l5时，都可以得到

一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：若a∥b∥c

，则，，

归纳：

A1A2A3B1B2B3bca一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：符号语言51.如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

【想一想】

【想一想】

如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()

A.B.C.D.

DACEBDFl2l1l3如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(

如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，ABCDEFl4l5l1l2l3把直线l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.知识点2平行线分线段成比例定理的推论如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ABCDEFl3l4l5

l1l2图1图2（1）A（D）EFCB【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点9【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？图1图2（2）ABCDEFl3l4l5

l1l2BCEADl1l2l3l4l5【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落10l2l3l1l3ll

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

归纳：

l2l3l1l3ll平行于三角形一边的直线截其他11如图,l1∥l2∥l3，

，DE＝6，求DF的长．解：∵l1∥l2∥l3，

∴.

又∵，DE＝6，

∴，解得EF＝4.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.l1l2l3如图,l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的例

如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

∴AE=3.

解：∵AC=4，EC=1，

∵DE∥BC，

∴∴AD=2.25，

∴BD=0.75.素养考点1利用平行线分线段成比例定理及推论求线段长度例如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=313

如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，

BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．1cm如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，1cm14

如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1

△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？问题2

分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？BCADE知识点3相似三角形的判定定理如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC问题3

你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.探究新知BCADE问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE

【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？

2.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？用相似的定义证明△ADE∽△ABCBCADE【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.怎样判定两个多边形相似？如图,l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的长．如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若，那么（1）如果E、F分别是AB和AC上的点，AE=BE=7，的三角形与原三角形相似.已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D、E．如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.求证：△ADE∽△ABC.的三角形与原三角形相似.=AD=xcm，DF=(4－x）cm，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图，DE∥BC，，；BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？的三角形与原三角形相似.∴.如图，DE∥BC，，；3cmD.ABCDE证明:在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.∵

DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，过E作EF//AB交BC于F,∵四边形DBFE是平行四边形,F∴DE=BF.∴△ADE∽△ABC.∴.∴.则已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D、E．

求证：△ADE∽△ABC.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.ABCDE证明:在△ADE“A”型“X”型（图2）DEOBCABCDE（图1）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.符号语言：∵DE//BC,∴△ADE∽△ABC．“A”型“X”型（图2）DEOBCABCDE（图1）定理【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式．【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.B.的三角形与原三角形相似.如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.怎样判定两个多边形相似？的三角形与原三角形相似.∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC与【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式．事实上，当l3//l4//l5时，都可以得到，

还可以得到，，等.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.证明：∵DF∥AC，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.请分别度量l3,l4,l5.长是否对应成比例？求证：△ADE∽△ABC.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.用相似的定义证明△ADE∽△ABC∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.（1）如果E、F分别是AB和AC上的点，AE=BE=7，的三角形与原三角形相似.已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.3CDABEFO相似具有传递性如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线A如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．

B．

C．

D．A如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于1.如图，在△ABC

中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC=4cm，EF

长（）

AABCEFA.1cmB.cm

C.3cmD.2cm1.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BEABCEDFG2.如图，DE∥BC，，

；FG∥BC，，则

.ABCEDFG2.如图，DE∥BC，3.如图，在△ABC中，EF∥BC.（1）如果E、F分别是AB和AC上的点，AE=BE=7，

FC=4，那么AF的长是多少？ABCEF解：∵∴解得AF=4.3.如图，在△ABC中，EF∥BC.ABCEF解：∵∴解得(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？解：∵∴解得

.ABCEF(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么F如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD∶OA＝OE∶OB

证明：∵DF∥AC，∵EF∥BC，如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥A27如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.解：∵四边形ABCD为菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴设菱形的边长为xcm，则CD=AD=xcm，DF=(4－x

）cm，∴解得

∴菱形的边长为

cm.如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，A两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.相似三角形判定的引理平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本事实平行线分线段成比例定理及其推论两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论平行于三27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定(第1课时)

27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定301.相似多边形的特征是什么？2.怎样判定两个多边形相似？3.什么叫相似比？4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A

＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？

ABCA1B1C11.相似多边形的特征是什么？ABCA1B1C131证明：∵DF∥AC，1cmB.的三角形与原三角形相似.已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D、E．设菱形的边长为xcm，则CD=AD=xcm，DF=(4－x）cm，FC=4，那么AF的长是多少？如图，在△ABC中，EF∥BC.∴.3cmD.如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．如图，DE∥BC，，；∴.解：∵l1∥l2∥l3，证明：∵DF∥AC，利用平行线分线段成比例定理及推论求线段长度的三角形与原三角形相似.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.请分别度量l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,

BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB：BC与DE：EF相等吗？任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,它们的比值还相等吗？

????猜想ABCDEF

l2l1

除此之外，还有其他对应线段成比例吗？l2l3l4l5知识点1平行线分线段成比例定理若，那么若，那么即证明：∵DF∥AC，请分别度量l3,l4,事实上，当l3//l4//l5时，都可以得到，

还可以得到，，等.

ABCDEFl3l4l5

l1l2

通过探究，你得到了什么规律呢？事实上，当l3//l4//l5时，都可以得到

一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：若a∥b∥c

，则，，

归纳：

A1A2A3B1B2B3bca一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：符号语言341.如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

【想一想】

【想一想】

如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()

A.B.C.D.

DACEBDFl2l1l3如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(

如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，ABCDEFl4l5l1l2l3把直线l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.知识点2平行线分线段成比例定理的推论如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ABCDEFl3l4l5

l1l2图1图2（1）A（D）EFCB【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点38【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？图1图2（2）ABCDEFl3l4l5

l1l2BCEADl1l2l3l4l5【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落39l2l3l1l3ll

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

归纳：

l2l3l1l3ll平行于三角形一边的直线截其他40如图,l1∥l2∥l3，

，DE＝6，求DF的长．解：∵l1∥l2∥l3，

∴.

又∵，DE＝6，

∴，解得EF＝4.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.l1l2l3如图,l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的例

如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

∴AE=3.

解：∵AC=4，EC=1，

∵DE∥BC，

∴∴AD=2.25，

∴BD=0.75.素养考点1利用平行线分线段成比例定理及推论求线段长度例如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=342

如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，

BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．1cm如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，1cm43

如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1

△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？问题2

分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？BCADE知识点3相似三角形的判定定理如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC问题3

你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.探究新知BCADE问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE

【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？

2.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？用相似的定义证明△ADE∽△ABCBCADE【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.怎样判定两个多边形相似？如图,l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的长．如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若，那么（1）如果E、F分别是AB和AC上的点，AE=BE=7，的三角形与原三角形相似.已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D、E．如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.求证：△ADE∽△ABC.的三角形与原三角形相似.=AD=xcm，DF=(4－x）cm，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图，DE∥BC，，；BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？的三角形与原三角形相似.∴.如图，DE∥BC，，；3cmD.ABCDE证明:在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.∵

DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，过E作EF//AB交BC于F,∵四边形DBFE是平行四边形,F∴DE=BF.∴△ADE∽△ABC.∴.∴.则已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D、E．

求证：△ADE∽△ABC.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.ABCDE证明:在△ADE“A”型“X”型（图2）DEOBCABCDE（图1）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.符号语言：∵DE//BC,∴△ADE∽△ABC．“A”型“X”型（图2）DEOBCABCDE（图1）定理【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式．【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.B.的三角形与原三角形相似.如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.怎样判定两个多边形相似？的三角形与原三角形相似.∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC与【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式．事实上，当l3//l4//l5时，都可以得到，

还可以得到，，等.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.证明：∵DF∥AC，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.请分别度量l3,l4,l5.长是否对应成比例？求证：△ADE∽△ABC.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.用相似的定义证明△ADE∽△ABC∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.（1）如果E、F分别是AB和AC上的点，AE=BE=7，的三角形与原三角形相似.已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.3CDABEFO相似具有传递性如图，在△ABC