《微积分》教学大纲

《微积分》教学大纲微积分是非数学专业本科生的最重要的基础课程之一，单变量微积分的主要内容是讲述最基本的实数理论和单变量函数的概念，数列的极限和函数的极限及函数的连续性及一致连续性；单变量函数的微分学，积分学和微分方程。多变量微积分的主要内容是讲述多变量函数的极限，连续，微分学，积分学，无穷级数和傅里叶分析。要求学生掌握数学分析领域的最基本知识、方法与技巧；培养在数学领域里初步的分析问题和解决问题的能力，熟练的运算能力和逻辑推理能力，为进一步学习后续数学奠定坚实的基础。课程内容及学时分配极限理论（22+6学时）第1节数列极限第2节函数极限第3节连续函数第二章单变量函数的微分学（22+6学时）

第1节函数的微商

第2节函数的微分第3节高阶微商与高阶微分第4节微分学基本定理

第5节泰勒展开第6节未定式的极限第7节函数的增减与极值第8节函数图形的描述第9节平面曲线的曲率单变量函数的积分学（30+4学时）第1节不定积分

第2节定积分的概念和可积函数

第3节定积分的性质及其计算第4节定积分的近似计算

第5节定积分应用

第6节广义积分第四章微分方程（12+2学时）

第1节微分方程基本概念

第2节一阶微分方程

第3节可降阶的二阶微分方程

第4节二阶线性微分方程的解的结构

第5节二阶常系数线性微分方程

第6节n阶线性微分方程和微分方程组第五章实数与函数（3学时）

第1节实数

第2节函数第六章多变量函数的微分学（25+4学时）

第1节多变量函数的极限与连续

第2节多变量函数的偏微商和全微分

第3节复合函数的偏导数

第4节隐函数与反函数的微分法第5节多元函数的泰勒公式与极值

第6节空间中的曲线与曲面第七章多变量函数的积分学（34+4学时）

第1节二重积分

第2节三重积分

第3节第一型曲线积分与曲面积分

第4节重积分的应用

第5节第二型曲线积分与格林公式

第6节第二型曲面积分与高斯定理

第7节斯托克斯定理

第8节场论初步第八章无穷级数（22+2学时）

第1节数项级数

第2节函数项级数

第3节幂级数与泰勒展开式第九章含参变量的积分（6学时）

第1节广义积分收敛判别法

第2节含参变量的常义积分

第3节含参变量的广义积分

第4节含参变量积分的应用第十章傅里叶分析（10+2学时）

第1节周期函数的傅里叶级数

第2节广义傅里叶级数与傅里叶变换

注：10+2表示10是课程学时，2是习题课学时教学方式：课堂讲授，习题课演习教学要求极限理论1）熟悉各种形式极限的定义，会使用“ε—N”、“ε—δ”语言。2）熟悉极限的性质和运算，熟练掌握极限存在的判别法。3）熟悉无穷小量与无穷大量的定义，并熟练运用无穷小量与无穷大量的等阶代换方法。4）熟悉函数在一点和区间上连续的定义，及连续函数的性质和运算。5）熟练运用闭区间上连续函数的性质。单变量函数的微分学1）熟悉导数的定义，熟记求导的基本公式，熟练掌握求导的基本法则。2）熟悉微分的定义和运算法则，掌握函数连续、可导与可微的关系，正确理解微分的形式不变性。3）熟悉高阶导数的定义，掌握求高阶导数的Leibniz公式。4）熟练掌握由参数方程确定的函数的求导方法5）熟悉费马定理，并能熟练使用Rolle定理和Lagrange中值公式，会简单运用Cauchy中值公式。6）熟悉导数与函数增减的关系，并能熟练运用以证明不等式。7）熟练掌握最值、极值问题的基本方法。8）掌握并熟练运用Taylor公式处理微分学中的问题，能正确写出几个重要初等函数的Maclaurin公式。9）熟悉求未定式极限的L’Hospital法则。10）运用函数的导数处理函数的凸、凹性质。单变量函数的积分学1）熟知原函数的定义和基本性质。2）熟练掌握不定积分的基本方法：ⅰ）变量代换法；ⅱ）分部积分法。3）会计算以下三类函数的积分：ⅰ）有理函数；ⅱ）三角函数有理式；ⅲ）简单带根式的函数。4）准确掌握定积分的定义和定积分的性质，并正确理解原函数存在与可积的关系。5）能熟练使用积分中值定理、Newton-Leibniz公式和微积分基本定理。6）熟练使用定积分的换元法和分部积分法。7）熟悉利用定积分求下列几何量的基本方法：ⅰ）平面曲线的弧长；ⅱ）平面图形的面积；ⅲ）旋转体的体积；ⅳ）旋转体的侧表面积8）明了瑕积分和无穷积分的定义，熟练运用Newton-Leibniz公式、变量代换法及分部积分法计算广义积分。第四章微分方程1）熟练求解分离变量形式的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程。2）掌握可降阶的二阶方程的降阶方法。3）了解二阶线性微分方程的解的结构。4）熟练求解二阶常系数线性微分方程的方法，会用代数方法求解三阶常系数齐次线性微分方程。第五章实数与函数1）了解连续公理的几个连续性命题的内容和等价关系。2）了解连续函数的性质及其证明，熟悉一些重要的不等式。第六章多变量函数的微分学1）明了映射、多元函数、向量值函数的定义；2）熟悉在区域和闭域中多变量函数的极限与连续的概念，熟知多变量连续函数的性质。3）熟知多变量函数的微分和偏导数的定义，并熟练掌握多变量函数的偏导数和高阶偏导数的算法，正确理解函数连续、偏导数存在与可微的关系。4）熟练掌握复合函数求导的链式法则，明了一阶微分的形式不变性；5）会计算方向导数，明了梯度的概念和算法。6）明了隐函数和隐函数组的存在定理，熟练掌握隐函数和隐函数组的微分法。7）熟练掌握参数曲线的切向量的算法，及参数曲面和隐式曲面的法向量的计算。8）知道二元函数的Taylor公式；9）熟练掌握求多元函数极值的方法及求条件极值的Lagrange乘数法。第七章多变量函数的积分学1）明了二重积分的概念、定义、几何意义和基本性质；2）熟练掌握二维闭区间上及有界集上二重积分的累次积分法。3）熟练掌握极坐标变换和一些简单坐标变换计算二重积分。4）熟练掌握三重积分的各种累次积分法，并熟练使用球坐标变换和一些简单代换计算三重积分。5）熟练掌握曲线弧长的定义和算法和参数曲面的面积的定义和算法；6)熟练掌握第一型曲线、曲面积分的定义、性质和算法。7)熟悉第二型曲线积分的定义、性质和算法，熟练运用Green公式。8）熟悉第二型曲面积分的定义、性质和算法。9)熟知散度、旋度的定义和算法；10）熟练应用Gauss公式和Stokes公式；11）熟知恰当微分形式、有势场、势函数的定义及求势函数的算法；12）熟知有势场、积分与路径无关、沿任意闭路积分为零、保守场等的等价性，熟知保守场与无旋场的关系。第八章无穷级数1）熟悉数项级数收敛与发散的概念；2）熟悉正项级数收敛的几个基本判别法及交错级数的收敛判别法；3）明了级数收敛的Cauchy判别法及绝对收敛与条件收敛的概念；4）明了函数列和函数项级数收敛与一致收敛的概念；5）知道函数列和函数项级数一致收敛的比较判别法。6）熟悉幂级数的收敛区间和收敛半径的算法及在收敛区间内逐项积分和逐项求导的性质；7）熟记等的Taylor展开式，并会应用这些公式求有关函数的Taylor展开式；8）熟练掌握用幂级数逐项求导或逐项积分来求某些级数的方法。第九章含参变量的积分1）知道两种广义积分（特别是无穷积分）收敛的定义和常用判别法。2）知道含参变量的常义积分及积分限依赖于参变量的积分的性质，并会利用性质计算简单的积分；3）明了含参变量的广义积分一致收敛的定义及一致收敛的广义积分的性质，并会利用性质计算简单的积分。4）知道函数和B函数的基本性质，并会利用性质作简单的计算。第十章傅里叶分析1）熟知周期函数的Fourier级数的