2015年普通高等学校全国统一考试(安徽卷)

）））））））2015年普通高等学校全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，第 I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分 150分，考试时间 120分钟。考生注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2．答第I卷时，每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3．答第II卷时，必须使用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写，要求字体工整、笔迹．．．．清晰。作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出， 确认后再用 0.5毫米的黑色墨水签字．．．笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题．．．．．．．．．．．．．．．．．卷、草稿纸上答题无效 。．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共 10个小题；每小题 5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，则复数 2i在复平面内所对应的点位于1 i（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A）ycosx（B）ysinx（C）ylnx（D）yx21（3）设p:1x2,q:2x1，则p是q成立的A）充分不必要条件（B）必要不充分条件C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件、）））））））））））））））4、下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是（）（A）x2y21（B）x2y21（C）y2x21（D）y2x2144445、已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A）若，垂直于同一平面，则与平行（B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线（D）若m，n不平行，则 m与n不可能垂直于同一平面6、若样本数据 x1，x2， ，x10的标准差为8，则数据2x1 1，2x2 1， ，2x10 1的标准差为（ ）（A）8 （B）15 （C）16 （D）327、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A）13（B）23（C）122（D）228、 C是边长为2的等边三角形，已知向量 a，b满足 2a， C 2a b，则下列结论正确的是（ ）、）））））））））））））））（A）b1（B）ab（C）ab1（D）(4ab)BC9、函数fxaxb2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）xc（A）a0，b0，c0（B）a0，b0，c0（C）a0，b0，c0（D）a0，b0，c010、已知函数fxsinx（，，均为正的常数）的最小正周期为2，当x3时，函数fx取得最小值，则下列结论正确的是（）（A）f2f2f0（B）f0f2f2（C）f2f0f2（D）f2f0f2第二卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共25分。11.(x3 1)7的展开式中x3的系数是 （用数字填写答案）x12.在极坐标中，圆 8sin 上的点到直线 ( R)距离的最大值是313.执行如图所示的程序框图（算法流程图） ，输出的n为、）））））））））））））））14.已知数列{an}是递增的等比数列，a2a49,a2a38，则数列{an}的前n项和等于15.设x3axb0，其中a,b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）(1)a3,b3；(2)a3,b2；(3)a3,b2；(4)a0,b2;(5)a1,b2.三.解答题：本大题共 6小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）在ABC中，A3,AB6,AC32，点D在BC边上，ADBD，求AD的长。417.（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）18）（本小题满分12分）设n N*，xn是曲线y x2n2 1在点(1，2)处的切线与 x轴交点的横坐标，、）））））））））））））））（1）求数列{xn}的通项公式；（2）记Tnx12x32x22n1，证明Tn1.4n19.（本小题满分13分）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D,E的平面交CD1于F1）证明：EF//B1C（2）求二面角 E A1D B1余弦值.（20）（本小题满分13分）设椭圆E的方程为x2y21ab0，点O为坐标原点，点A的坐标为a，0，点B的a2b2坐标为0，b，点M在线段AB上，满足BM2MA，直线OM的斜率为5.10（I）求E的离心率e；II）设点C的坐标为为7，求E的方程.

0，b，N为线段AC的中点，点 N关于直线 AB的对称点的纵坐标2（本小题满分13分）设函数f(x)x2axb.、）））））））））））））））（1）讨论函数f(sinx)在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；22（2）记f0(x)x2a0xb0,求函数f(sinx)f0(sinx)在[,]上的最大值D；a2满足D22（3）在（2）中，取a0b00,求zb1时的最大值。4、）））））））））））））））参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。（1）B（2）A（3）A（4）C（5）D（6）C（7）B（8）D（9）C（10）A二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，共25分。（11）35（12）6（13）4（14）2n1（15）①③④⑤三．解答题：本大题共 6小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。（16）（本小题满分 12分）解：设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(32)2622326cos341836(36)90所以a310又由正弦定理得sinBbsinBAC310a31010由题设知0B，所以cosB1sin2B1131041010在ABD中，由正弦定理得ADABsinB6sinB3sin(2B)2sinBcosB10cosB（17）（本小题满分 12分）解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，A21A313P(A)10A52（2）的可能取值为200,300,400、）））））））））））））））P(200)A221A5210P(300)A33C21C31A223A5310P(400)1P(200)P(300)1136101010故的分布列为200300400P136101010E200130036350101040010（18）（本小题满分12分）（1）解：y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线yx2n21在点（1,2）处的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1)令y0，解得切线与x轴交点的横坐标xn11nn1n1（2）证：由题设和（1）中的计算结果知Tx2x2...x21(1)2(3)2...(2n1)2n132n242n当n1时，T114当n2时，因为x2n21(2n1)2(2n1)2(2n1)212n2n12n(2n)2(2n)22nn所以Tn(1)212...n11223n4n综上可得对任意的nN*，均有Tn14n（19）（本小题满分13分）（1）证：由正方形的性质可知A1B1//AB//DC，且A1B1ABDC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C//A1D，又A1D面A1DE，B1C面A1DE，于是B1C//面A1DE，又B1C面B1CD1，面A1DE面B1CD1EF，所以EF//B1C、）））））））））））））））（2）解：因为四边形 AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形，所以AA1 AB,AA1 AD,AB AD，且AA1 AB AD，以A为原点，分别以AB,AD,AA1为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为（0.5,0.5,1）设面ADE的法向量n(r,s,t)，而该面上向量（0.5,0.5,0），（，，），11111A1E=A1D=01-1由nAE，nAD得r1,s1,t1应满足的方程组11110.5r1 0.5s1 0,s1 t1 0,-1,1,1）为其一组解，所以可取n1=（-1,1,1）设面A1B1CD的法向量n2(r2,s2,t2)，而该面上向量AB=（0.5,0.5,0），AD=（0，1，111-1），由此同理可得 n2 (0,1,1)所以结合图形知二面角EA1D|n1n2|26B1的余弦值为323|n1||n2|（20）（本小题满分13分）解：（1）由题设条件知，点M的坐标为(2a,1b)，又kOM5，从而b5，33102a10进而得a5b,ca2b22b，故ec25a5（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB的方程为xy1，点N的坐标为(5b,1b)，5bb22、）））））））））））））））设点N关于直线AB的对称点S的坐标为(x1,7)，2则线段NS的中点T的坐标为(5bx1,1b7)，又点T在直线AB上，且kNSkAB1，42445bx11b742441,5bb解得b3从而有712b25,5bx12所以a35，故椭圆E的方程为x2y2145921）（本小题满分13分）解：（1）f(sinx)sin2xasinxbsinx(sinxa)b,x22[f(sinx)](2sinxa)cosx,x22因为2x，所以cosx0,22sinx22①a2,bR时，函数f(sinx)单调递增，无极值②a2,bR时，函数f(sinx)单调递减，无极值③对于2a2，在(,)内存在唯一的x0，使得2sinx0a，222xx0时，函数f(sinx)单调递减；x0x时，函数f(sinx)单调递增2因此2a2，bR时，函数f(sinx)在x0处有极小值f(sinx0)f(a)ba224（2）x时，|f(sinx)f0(sinx)||(a0a)sinxb