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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数在上的图象大致为()A. B. C. D.2.在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)4.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是()A. B. C. D.5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则6.已知函数,若有2个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.已知复数满足(其中为的共轭复数),则的值为()A.1 B.2 C. D.8.要得到函数的图象,只需将函数图象上所有点的横坐标()A.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度B.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度C.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度D.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度9.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸10.已知集合,,则()A. B. C. D.11.已知中,角、所对的边分别是,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件12.已知集合,,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在数列中,,,曲线在点处的切线经过点,下列四个结论:①;②;③;④数列是等比数列;其中所有正确结论的编号是______.14.在回归分析的问题中,我们可以通过对数变换把非线性回归方程,()转化为线性回归方程,即两边取对数,令,得到.受其启发,可求得函数()的值域是_________.15.已知函数,,若函数有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),则的取值范围是_________.16.平行四边形中,,为边上一点(不与重合),将平行四边形沿折起,使五点均在一个球面上,当四棱锥体积最大时,球的表面积为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设点,直线l与曲线C交于不同的两点A、B,求的值.18.(12分)已知函数,.(1)判断函数在区间上的零点的个数;(2)记函数在区间上的两个极值点分别为、,求证:.19.(12分)设抛物线过点.(1)求抛物线C的方程;(2)F是抛物线C的焦点,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若,求的值.20.(12分)已知.(1)若的解集为,求的值;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).(1)求椭圆的方程;(2)已知直线,为椭圆的右顶点.若直线交于点,直线交于点,试判断是否为定值,若是,求出定值;若不是,说明理由.22.(10分)已知a>0,证明:1.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】
根据函数的奇偶性及函数在时的符号,即可求解.【题目详解】由可知函数为奇函数.所以函数图象关于原点对称,排除选项A,B;当时,,,排除选项D,故选:C.【答案点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性,属于中档题.2、C【答案解析】
化简复数为、的形式,可以确定对应的点位于的象限.【题目详解】解:复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选:.【答案点睛】本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内点的对应关系,属于基础题.3、C【答案解析】
利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.【题目详解】与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C正确.故答案为C【答案点睛】(1)本题主要考查终边相同的角的公式,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与终边相同的角=+其中.4、A【答案解析】
化简为,求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式,利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得,问题得解。【题目详解】函数可化为:,将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,又所得到的图象关于轴对称,所以,解得:,即:,又,所以.故选:A.【答案点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识,考查转化能力,属于中档题。5、C【答案解析】
在A中,与相交或平行;在B中,或;在C中,由线面垂直的判定定理得;在D中,与平行或.【题目详解】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则:在A中,若,,则与相交或平行,故A错误;在B中,若,,则或,故B错误;在C中,若,,则由线面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若,,则与平行或,故D错误.故选C.【答案点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.6、C【答案解析】
令,可得,要使得有两个实数解,即和有两个交点,结合已知,即可求得答案.【题目详解】令,可得,要使得有两个实数解,即和有两个交点,,令,可得,当时,,函数在上单调递增;当时,,函数在上单调递减.当时,,若直线和有两个交点,则.实数的取值范围是.故选:C.【答案点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围,解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.7、D【答案解析】
按照复数的运算法则先求出,再写出,进而求出.【题目详解】,,.故选:D【答案点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模,考查基本运算能力,属于基础题.8、B【答案解析】
分析:根据三角函数的图象关系进行判断即可.详解:将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到再将得到的图象向左平移个单位长度得到故选B.点睛:本题主要考查三角函数的图象变换,结合和的关系是解决本题的关键.9、B【答案解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量,故选B.考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.10、B【答案解析】
求出集合,利用集合的基本运算即可得到结论.【题目详解】由,得,则集合,所以,.故选:B.【答案点睛】本题主要考查集合的基本运算,利用函数的性质求出集合是解决本题的关键,属于基础题.11、D【答案解析】
由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【题目详解】中,角、所对的边分别是、,由大边对大角定理知“”“”,“”“”.因此,“”是“”的充分必要条件.故选:D.【答案点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查三角形的性质等基础知识,考查逻辑推理能力,是基础题.12、D【答案解析】
根据集合的基本运算即可求解.【题目详解】解:,,,则故选:D.【答案点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①③④【答案解析】
先利用导数求得曲线在点处的切线方程,由此求得与的递推关系式,进而证得数列是等比数列,由此判断出四个结论中正确的结论编号.【题目详解】∵,∴曲线在点处的切线方程为,则.∵,∴,则是首项为1,公比为的等比数列,从而,,.故所有正确结论的编号是①③④.故答案为:①③④【答案点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法,考查根据递推关系式证明等比数列,考查等比数列通项公式和前项和公式,属于基础题.14、【答案解析】
转化()为,即得解.【题目详解】由题意:().故答案为:【答案点睛】本题考查类比法求函数的值域,考查了学生逻辑推理,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.15、【答案解析】
先根据题意,求出的解得或,然后求出f(x)的导函数,求其单调性以及最值,在根据题意求出函数有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),分情况讨论求出的取值范围.【题目详解】解:令t=f(x),函数有3个不同的零点,即+m=0有两个不同的解,解之得即或因为的导函数,令,解得x>e,,解得0<x<e,可得f(x)在(0,e)递增,在递减;f(x)的最大值为,且且f(1)=0;要使函数有3个不同的零点,(1)有两个不同的解,此时有一个解;(2)有两个不同的解,此时有一个解当有两个不同的解,此时有一个解,此时,不符合题意;或是不符合题意;所以只能是解得,此时=-m,此时有两个不同的解,此时有一个解此时,不符合题意;或是不符合题意;所以只能是解得,此时=,综上:的取值范围是故答案为【答案点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合,考查到了函数的零点,导函数的应用,以及数形结合的思想、分类讨论的思想,属于综合性极强的题目,属于难题.16、【答案解析】
依题意可得、、、四点共圆,即可得到,从而得到三角形为正三角形,利用余弦定理可得,且,要使四棱锥体积最大,当且仅当面面时体积取得最大值,利用正弦定理求出的外接圆的半径,再又可证面,则外接球的半径,即可求出球的表面积;【题目详解】解:依题意可得、、、四点共圆,所以因为,所以,,所以三角形为正三角形,则,,利用余弦定理得即,解得,则所以,当面面时,取得最大,所以的外接圆的半径,又面面,,且面面,面所以面,所以外接球的半径所以故答案为:【答案点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算,正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2)【答案解析】
(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程;(2)由于在直线上,写出直线的标准参数方程参数方程,代入曲线的方程利用参数的几何意义即可得出求解即可.【题目详解】(1)直线的普通方程为,即,根据极坐标与直角坐标之间的相互转化,,,而,则,即,故直线l的普通方程为,曲线C的直角坐标方程(2)点在直线l上,且直线的倾斜角为,可设直线的参数方程为:(t为参数),代入到曲线C的方程得,,,由参数的几何意义知.【答案点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键,难度一般.18、(1);(2)见解析.【答案解析】
(1)利用导数分析函数在区间上的单调性与极值,结合零点存在定理可得出结论;(2)设函数的极大值点和极小值点分别为、,由(1)知,,且满足,,于是得出,由得,利用正切函数的单调性推导出,再利用正弦函数的单调性可得出结论.【题目详解】(1),,,当时,,,,则函数在上单调递增;当时,,,,则函数在上单调递减;当时,,,,则函数在上单调递增.,,,,.所以,函数在与不存在零点,在区间和上各存在一个零点.综上所述,函数在区间上的零点的个数为;(2),.由(1)得,在区间与上存在零点,所以,函数在区间与上各存在一个极值点、,且,,且满足即,,,又,即,,,,,由在上单调递增,得,再由在上单调递减,得,即.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,同时也考查了利用导数证明不等式,考查分析问题和解决问题的能力,属于难题.19、(1)(2)【答案解析】
(1)代入计算即可.(2)设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.【题目详解】解:(1)因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为(2)由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,,.因为,所以,联立,化简得,所以,,所以,,解得,所以.【答案点睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20、(1);(2)【答案解析】
(1)利用两边平方法解含有绝对值的不等式,再根据根与系数的关系求出的值;(2)利用绝对值不等式求出的最小值,把不等式化为只含有的不等式,求出不等式解集即可.【题目详解】(1)不等式,即两边平方整理得由题意知和是方程的两个实数根即,解得(2)因为所以要使不等式恒成立,只需当时,,解得,即;当时,,解得,即;综上所述,的取值范围是【答案点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,也考查了分类讨论思想,是中档题.21、(1)(2)定值为0.【答案解析】
(1)根据直线方
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