2021年湖南省湘潭市县白石乡联校马家堰中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021年湖南省湘潭市县白石乡联校马家堰中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在内，使的的取值范围是A．

B．C．

D．参考答案：答案：A2.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=6，利用列举法求出一次试验中，事件A+发生包含的基本事件个数，由此能求出一次试验中，事件A+发生的概率．【解答】解：掷一个骰子的试验，基本事件总数n=6，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生包含的基本事件有：1，2，3，4，共有4个元素，∴一次试验中，事件A+发生的概率为：p==．故选：C．3.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，则函数的图象与函数的图象

（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点（1，0）对称 D．关于点（0，1）对称参考答案：D略4.已知函数的导函数为，且满足，则A．

B．

C．

D．参考答案：5.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D本题考查了统计中的基本统计量，中位数、众数、均值之间的计算。难度较小。计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D6.若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为A．B．

C．D．参考答案：答案：C解析：不妨设椭圆的方程为，由题意得椭圆上的点坐标为，代入椭圆方程可得，即，∴，∴，∴．7.在等差数列中，，那么（A）14

（B）21

（C）28

（D）35参考答案：C8.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（

）A．[-,+∞)

B．[-,0)∪(0,+∞)C．[-,+∞)

D．(-,0)∪(0,+∞)参考答案：B9.已知集合，，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知O为坐标原点，F是双曲线：(a＞0，b＞0)的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3 B．2 C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF⊥x轴，∴设M（﹣c，0），则A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率k=﹣，则AE的方程为y=﹣（x﹣a），令x=0，则y=，即N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=，则2（c﹣a）=a+c，即c=3a，则离心率e==3，故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列满足，，则的值为

．参考答案：12.已知且,则存在,使得的概率为

参考答案：略13.如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为

．参考答案：9考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．解答： 解：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域．因为，=（x，y），则=2x+y，令z=2x+，则，由图象可得当目标函数z=2x+y过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值，此时=9．故答案为9．点评：本题主要考查向量在几何中的应用，以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．14.设函数，且，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是_____▲_____.参考答案：略15.展开式的常数项为__________.参考答案：【分析】写出展开式的通项，整理可知当时为常数项，代入通项公式求得结果.【详解】展开式的通项公式为：当，即时，常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理中的求解指定项系数的问题，属于基础题.16.已知圆的方程为．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

．

参考答案：略17.已知集合,,则

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知整数的所有3个元素的子集记为A1，A2，…，AC。

（1）当n=5时，求集合A1，A2，…，AC中所有元素之和；

（2）设mi为Ai中的最小元素，设参考答案：（1）当n=5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有=6个，所以含有数字1的几何有6个．同理含2，3，4，5的子集也各有6个，

于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)×=6×15=90…（5分）

（2）证明：不难得到1≤mi≤n-2，mi∈Z，并且以1为最小元素的子集有个，以2为最小元素的子集有个，以3为最小元素的子集有，…，以n-2为最小元素的子集有个。则19.定义：在平面内，点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：及点，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，记P点的轨迹为曲线W．（Ⅰ）求曲线W的方程；（Ⅱ）过原点的直线l（l不与坐标轴重合）与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且CE⊥CD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE，CF的斜率分别为k1，k2，求．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）判断P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆，设椭圆方程为，求出a，b，即可求解曲线W的方程．（Ⅱ）设C（x1，y1）（x1y1≠0），E（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），则直线CD的斜率为，利用CE⊥CD，求出直线CE的斜率是，设直线CE的方程为y=kx+m，联立通过韦达定理，求出直线DE的方程为，顶点F（2x1，0）．可得，然后推出斜率比值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：点P在圆内且不为圆心，圆M：及点，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，故，所以P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆，（2分）设椭圆方程为，则，所以b2=1，故曲线W的方程为．（Ⅱ）设C（x1，y1）（x1y1≠0），E（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），则直线CD的斜率为，又CE⊥CD，所以直线CE的斜率是，记，设直线CE的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0，由得：（1+3k2）x2+6mkx+3m2﹣3=0．∴，∴，由题意知，x1≠x2，所以，（9分）所以直线DE的方程为，令y=0，得x=2x1，即F（2x1，0）．可得．（11分）所以，即．（12分）（其他方法相应给分）【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.（本小题满分14分）

已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围；（Ⅲ）若对任意，且恒成立，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，.………………2分因为.所以切线方程是

…………4分（Ⅱ）函数的定义域是.

………………5分当时，令，即，所以或.

……7分当，即时，在［1，e]上单调递增，所以在［1，e]上的最小值是；当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意；当时，在（1，e）上单调递减，所以在［1，e]上的最小值是，不合题意………………9分（Ⅲ）设，则，只要在上单调递增即可.…………10分而当时，，此时在上单调递增；……11分当时，只需在上恒成立，因为，只要，则需要，………………12分对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，即.综上.

………………14分

21.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．参考答案：考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据正弦定理和已知条件求得sinB的值，进而求得B，最后利用三角形内角和求得C．（Ⅱ）用余弦定理列出关于b的表达式，整理求得b．解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理=，∴sinB=sinA=×=，∴B=或，∵b＜a，∴，∴．（Ⅱ）依题意，，即．∴b2﹣2b﹣8=0，又b＞0，∴b=4．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．灵活运用正弦和余弦定理解三角形问题．22.（本小题满分14分)已知函数．(1