二次函数中考压轴题平行四边形解析

二次函数中考压轴题（平行四边形）分析优选22【例一】（2013?嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）﹣m+m的极点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延伸CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．1）当m=2时，求点B的坐标；2）求DE的长？3）①设点D的坐标为（x，y），求y对于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确立的函数图象的另一个交点为P，当m为什么值时，以，A，B，D，P为极点的四边形是平行四边形？考点：二次函数综合题．专题：数形联合．剖析：（1）将m=2代入原式，获得二次函数的极点式，据此即可求出B点的坐标；（2）延伸EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，从而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；22（3）①依据点A和点B的坐标，获得x=2m，y=﹣m+m+4，将m=代入y=﹣m+m+4，即可求出二次函数的表达式；②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，而后分（如图1）和（图2）两种状况解答．解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2，∴点B的坐标为（0，2）．（2）延伸EA，交y轴于点F，∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF=AE，2∵点A（m，﹣m+m），点B（0，m），22∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m+m）=m，∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，∴△ABF∽△DAE，∴=，即：∴DE=4．

=，（3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m），2∴点D的坐标为（2m，﹣m+m+4），2∴x=2m，y=﹣m+m+4，∴y=﹣?++4，∴所求函数的分析式为：y=﹣x2+x+4，②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，222点P的纵坐标为：（﹣m+m+4）﹣（m）=﹣m+m+4，把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：22+×（3m）+4，﹣m+m+4=﹣×（3m）解得：m=0（此时A，B，D，P在同向来线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m，22点P的纵坐标为：（﹣m+m+4）+（m）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：2m+4=﹣m+m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同向来线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．评论：此题是二次函数综合题，波及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形联合及分类议论．【例二】已知抛物线的极点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。求抛物线的分析式；若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为极点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；连结OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上能否存在点P，使得△OBP与△OAB相像？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明原因。【例三】（2013?湘潭）如图，在座标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．1）求抛物线的分析式；2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l挪动到哪处时，恰巧将△ABC的面积分为相等的两部分？3）点P是抛物线上一动点，能否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明原因．考点：二次函数综合题．剖析：如解答图所示：（1）第一结构全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；而后利用点C的坐标求出抛物线的分析式；（2）第一求出直线BC与AC的分析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；依据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的分析式；（3）第一作出?PACB，而后证明点P在抛物线上即可．解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB与△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴抛物线的分析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．2∴S△ABC=AB=．设直线BC的分析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，y=﹣x+2．同理求得直线AC的分析式为：y=x﹣．如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．由题意得：S△CEF=S△ABC，即：EF?h=S△ABC，∴（﹣x）?（3﹣x）=×，整理得：（3﹣x）2=3，解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），∴当直线l分析式为x=3﹣时，恰巧将△ABC的面积分为相等的两部分．（3）存在．如答图2所示，过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．过点A作AP∥BC，且AP=BC，连结BP，则四边形PACB为平行四边形．过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．抛物线分析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．∴存在切合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．评论：此题是二次函数综合题型，考察了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要认真剖析，认真计算．【例四】（2013?盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴订交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴订交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连结DE、OF．1）求抛物线的分析式；2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分红面积相等的两部分，求这条直线的分析式．（不用说明均分平行四边形面积的原因）考点：二次函数综合题．剖析：（1）利用待定系数法求出抛物线的分析式；（2）平行四边形的对边相等，所以EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；（3）本问利用中心对称的性质求解．平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线均分平行四边形的面积，因此过点A与?ODEF对称中心的直线均分?ODEF的面积．解答：解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的分析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）在抛物线分析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．设直线BC的分析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：，解得k=﹣1，b=3，y=﹣x+3．设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．∵四边形ODEF是平行四边形，∴EF=OD=2，∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2，∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线均分平行四边形的面积，所以过点A与?ODEF对称中心的直线均分?ODEF的面积．①当P（1，0）时，点F坐标为（1，2），又D（0，2），设对角线DF的中点为G，则G（，2）．设直线AG的分析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），G（，2）坐标代入得：，解得k=b=，∴所求直线的分析式为：y=x+；②当P（2，0）时，点F坐标为（2，1），又D（0，2），设对角线DF的中点为G，则G（1，）．设直线AG的分析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），G（1，）坐标代入得：，解得k=b=，∴所求直线的分析式为：y=x+．综上所述，所求直线的分析式为：y=x+或y=x+．评论：此题是二次函数的综合题型，考察了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点．第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只需求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的分析式．【例五】（2013?沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．1）求抛物线的函数表达式；2）点D在对称轴的右边，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；3）在（2）的条件下，连结BD，交抛物线对称轴于点E，连结AE．①判断四边形OAEB的形状，并说明原因；②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．考点：二次函数综合题．剖析：（1）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x轴，点B与点D纵坐标同样，解一元二次方程求出点D的坐标；（3）①由BE与OA平行且相等，可判断四边形OAEB为平行四边形；②点M在点B的左右双侧均有可能，需要分类议论．综合利用相像三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，求出线段BM的长度．解答：解：（1）将A（，0）、B（1，）代入抛物线分析式y=x2+bx+c，得：，解得：．∴y=x2x+．（2）当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴．∵B（1，），当y=时，=x2x+，解得：x=1或x=4，∴D（4，）．（3）①四边形OAEB是平行四边形．原因以下：抛物线的对称轴是x=，∴BE=﹣1=．∵A（，0），∴OA=BE=．又∵BE∥OA，∴四边形OAEB是平行四边形．②∵O（0，0），B（1，），F为OB的中点，∴F（，）．过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=﹣=，BN=1﹣=．在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF==．∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，∴∠FBM=2∠BMF．（I）当点M位于点B右边时．在直线BD上点B左边取一点G，使BG=BF=，连结FG，则GN=BG﹣BN=1，在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG=∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，∴△GFB∽△GMF，

=

．∴

，即

，∴BM=；（II）当点M位于点B左边时．设BD与y轴交于点K，连结FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，∴KF=OB=FB=，∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，∴∠BMF=∠MFK，∴MK=KF=，∴BM=MK+BK=+1=．综上所述，线段BM的长为或．评论：此题是中考压轴题，考察了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、相像三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理等知识点．难点在于第（3）②问，知足条件的点M可能有两种情况，需要分类议论，分别计算，防止漏解．5【例六】如图，抛物线经过A(1,0),B(5,0),C(0,)三点.求抛物线的分析式；在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上能否存在一点N，使以A,C,M,N四点组成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明原因.分析：解：（1）设抛物线的分析式为yax2bxc，abc0,依据题意，得25a5bc0,，5.21,2解得b2,c5.2∴抛物线的分析式为：y1x22x5.(3分)22（2）由题意知，点A对于抛物线对称轴的对称点为点B,连结BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求.设直线BC的分析式为ykxb，5kb0,k1,由题意，得5.解得2b52b.2∴直线BC的分析式为15(6分)yx.22∵抛物线y1x22x5的对称轴是x2，22∴当x2时，y1x53.222∴点P的坐标是(2,3).(7分)2（3）存在(8分)(i)当存在的点

N在

x轴的下方时，以下图，∵四边形

ACNM是平行四边形，∴

CN∥x轴，∴点

C与点

N对于对称轴

x=2对称，∵

C点的坐标为

(0,

5)，∴点

N的坐标为25(4,).(11分)（II）当存在的点'在x轴上方时，以下图，作'Hx轴于点，∵四边形''是NNHACMN平行四边形，∴ACM'N',N'M'HCAO,∴Rt△CAO≌Rt△N'M'H,∴N'HOC.∵点C的坐标为(0,5),N'H5,即N点的纵坐标为5，222∴1x22x55,即x24x100222解得x1214,x2214.∴点N'的坐标为(214,5)和(214,5).22综上所述，知足题目条件的点N共有三个，分别为(4,5).，(214,5)，(214,5)(13分)22226．（2013山西，26，14分）（此题14分）综合与研究：如图,抛物线y=1x2-3x-4与x42轴交于A,B两点(点B在点A的右边)与y轴交于点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q1）求点A,B,C的坐标。2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。尝试究m为什么值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明原因。3）当点P在线段EB上运动时，能否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明原因。分析：（1）当y=0时，1x2-3x-4=0，解得，x1=-2,x2=842∵点B在点A的右边，∴点