量子力学第二章课件

第二章波函数和薛定谔方程

微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。

这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。主要介绍：1.二个基本假设：A.微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。B.描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。2.用定态薛定谔方程求解三个简单问题：A.一维无限深势阱B.

一维谐振子C.势垒贯穿（隧道效应）§2.1.物质波的波函数及其统计解释1.波函数：类似于经典波的数学表达形式，描述微观客体的运动状态一般表示为复指数函数形式推广：三维自由粒子波函数二、波函数的物理意义如何理解波函数和粒子之间的关系？

1物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞了粒子性。

2大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验，电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单个电子就具有波动性。3波函数的统计解释（Born1926）:波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子的几（概）率成比例。即物质波是几率波。波函数与其共轭复数的积例：一维自由粒子：光栅衍射电子衍射类比

波函数描述的物质波不像经典波代表实际物理量的波动,只是刻画粒子在空间的几率分布的几率波。光子电子对比分析I大处到达光子数多I小处到达光子数少I=0无光子到达各光子起点、终点、路径均不确定用I对屏上光子数分布作概率性描述各电子起点、终点、路径均不确定对屏上电子数分布作概率性描述电子到达该处概率大电子到达该处概率为零电子到达该处概率小光栅衍射电子衍射一般t时刻,到达空间r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数

t时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比

t时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的概率

t

时刻，粒子在空间分布的概率密度

的物理意义：4、波函数的归一化条件和标准条件粒子在整个空间出现的概率为1

归一化条件对微观客体的数学描述：脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾

标准化条件在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为：（3）概率最大的位置应满足因0<x<a/2,故得粒子出现的概率最大。一、量子态和波函数

用波函数Ψ（r,t）来描述微观粒子的量子态。当Ψ（r,t）给定后，如果测量其位置，粒子出现在该点的几率密度为。波函数的统计解释也是波粒二象性的一种体现。经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相同？二、量子力学的态的迭加原理1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波φ1与φ2线性相加，φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以说明的。量子力学的二个态的迭加原理：如果Ψ1与Ψ2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1、c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。干涉项2、例：以双缝衍射实验（见上面图），衍射图样的产生证实了干涉项的存在。推广到任意多态的一般态迭加原理：

3、态的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态Ψi。

4、说明：（1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解为某一个算符本征态的迭加。（2）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的迭加也是波函数的迭加。三、一个结论：任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的迭加。

数学表示式：

其中，是动量一定的平面波。这在数学上是成立的，这正好是非周期函数的傅里叶展开。说明：1、在态Ψ（r,t）的粒子，它的动量没有确定的值，由上式可知：粒子可处于任何一个态Ψp（r,t），但是当粒子的状态确定后，粒子动量处于某一确定值的几率是一定的。2、由于量子力学的态的迭加原理是几率波的迭加，所以φ1+φ1=2φ1不是新的态，只不过未归一化。在态φ=c1φ1+c2φ1进行测量时，发现粒子要么处在φ1，要么处在φ2。§2.3

薛定谔方程粒子状态随时间变化遵从怎样的规律呢？

薛定谔建立的适用于低速情况的、描述微观粒子在外力场中运动的微分方程,称为薛定谔方程。薛定谔方程应满足的条件：1线性方程。态迭加原理所要求的。2方程的系数不应包含状态参量，如动量、能量等。可以含有质量、电量等粒子内禀量，应含有普朗克常数是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。同理有(2.3-3)由得此式满足前面所述条件。改写2.3-2和2.3-3为式中是劈形算符：(2.3-5)(2.3-6)(2.3-7)由（2.3-6）(2.3-7)式可看出，E,p各与以下算符相当：（2.3-8）分别称为能量算符和动量算符。对于多粒子体系(2.3-11)薛定谔方程为(2.3-12)式中——多粒子体系的薛定谔方程讨论：1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。2、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。5、薛定谔方程是非相对论的方程。

用薛定谔方程求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程2.用分离变量法求解3.用归一化条件和标准条件确定积分常数只有E取某些特定值时才有解本征值本征函数4.讨论解的物理意义，即求|

|2，得出粒子在空间的概率分布。作业：2.1代入（2.4-2）式得(2.4-3)令(2.4-4)可得(2.4-5)此式具有连续性方程的性质。将其对空间某体积积分(2.4-6)由高斯定理得(2.4-7)等式左边表示单位时间内体积V中几率的增加,右边是矢量J在体积V的边界面上法向分量的面积分。故可把J解释为几率流密度矢量，Jn表示单位时间内流过S上单位面积的几率。若波函数在无限远处为零，则有(2.4-8)表明整个空间内找到粒子的几率与时间无关。若波函数是归一的，则将保持其归一性不变。这就是几率守恒定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。定义质量密度质量流密度由（2.4-5）可得2.4-9——质量守恒定律，单位时间内体积V内质量的改变，等于穿过V的边界S流进或流出的质量。定义电荷密度电流密度则有2.4-10——电荷守恒定律，粒子的电荷总量不随时间改变。§2.5定态薛定谔方程讨论势能函数与时间无关的情形，即U(r)不含时间，此时粒子的能量是一个与时间无关的常量，这种状态称为定态，对应的波函数称为定态波函数。说明：

几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。2.5-1把此式带入方程2.3-10中，两边除以若等式成立，需两边等于一常量，设该常量为E，则有2.5-22.5-3可考虑用分离变量法求薛定谔方程的一种特解。设2.5-2的解为C为任意常数，此式代入2.5-1得到薛定谔方程的特解2.5-4可看出，这个波函数与时间成正弦关系，其角频率是，根据德布罗意关系，E就是体系处于这个波函数所描写的状态时的能量。此时能量具有确定值，称这种状态为定态。该波函数称为定态波函数。在定态中，几率密度、几率流密度都与时间无关。2.5-3式称为定态薛定谔方程。函数也称为波函数，可由2.5-3式和具体条件求出,且有分别乘以2.5-2和2.5-3式两边得2.5-52.5-6算符完全相当，都称为能量算符。也称为哈密顿算符，表示为，2.5-6式可写为2.5-7本征值方程，本征值，本征函数，能量本征态讨论定态问题就是求出体系可能的定态波函数，和这些态中的能量E；亦即解定态薛定谔方程，求出能量的可能值E和波函数。表示能量算符的第n个本征值En对应的波函数，则有含时薛定谔方程的一般解可写为式中cn是常系数§2.6一维无限深势阱一维空间中运动的粒子，其势能分布为（如图）2.6-1U(x)x-a0a一维无限深势阱这种势称为一维无限深势阱。在阱内，体系满足定态薛定谔方程2.6-2在阱外，体系满足定态薛定谔方程2.6-3式中，。根据波函数的连续性、有限性条件，2.6-3式成立需满足2.6-4引入符号2.6-52.6-2式简化为其通解为2.6-6根据边界条件2.6-4式可得两式分别相加减可得2.6-7由于A、B不能同时为零，得到两组解2.6-82.6-9解得（n为奇数，对应第一组解n为偶数，对应第二组解）2.6-10由此可得到体系的能量为n=整数2.6-11结果说明粒子被束缚在势阱中，体系能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。两组解对应的波函数分别为2.6-122.6-13两式合并得2.6-14波函数已进行了归一化。粒子的定态波函数为2.6-15可看出波函数是驻波。束缚态：无限远处波函数为零的状态基态：体系能量最低的态n为偶数时，由2.6-12式可得n为奇数时，由2.6-13式可得一维无限深势阱中=1=2=3=4x粒子的波函数0nnnnax0a例题：势垒贯穿（隧道效应）在经典力学中,若,粒子的动能为正,它只能在I区中运动。即粒子运动到势垒左边缘就被反射回去，不能穿过势垒。OIIIIII在量子力学中,无论粒子能量是大于还是小于都有一定的几率穿过势垒，也有一定的几率被反射。这种现象已经实验证实。我们下面只就时，讨论薛定谔方程的解。势垒的势场分布写为：在三个区间内波函数应遵从的薛定谔方程分别为：OIIIIII定态薛定谔方程的解又如何呢？令：定态解的含时部分：三个区间的薛定谔方程化为：若考虑粒子是从I区入射，在I区中有入射波反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III区，在III区只有透射波。粒子在

处的几率要大于在处出现的几率。其解为：根据边界条件：求出解的形式画于图中。定义粒子穿过势垒的贯穿系数：IIIIII隧道效应当

时，势垒的宽度约50nm以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。作业：2.2,3,4

§2.7线性谐振子

什么叫谐振子？弹簧振子、单摆就是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。双原子分子的振动可化为谐振子。这节介绍求解线性谐振子（一维）的定态薛定谔方程，解出波函数与能量，并作些讨论。

若选取线性谐振子平衡位置为坐标原点，并选取其为势能的零点，则线性谐振子的势能表示为：μ是粒子的质量，k是谐振子的弹性系数。对经典谐振子它是角频率。线性谐振子的定态薛定谔方程为：它是变系数二阶常微分方程，可解。2.7-1引进参量和方程化为：*波函数在时的渐近行为：方程化为：其渐近解为：因为谐振子是处于束缚态应舍弃解。所以有当时2.7-22.7-32.7-4根据渐近行为方程解可写为：2.7-5求导得代入原方程应满足：上述厄密微分方程的解是个无穷级数。为了保证束缚态边界条件的成立，必须使这个级数只包含有限项，其条件是：2.7-6*得出满足束缚边界条件的级数解是：称为厄密多项式。它的前几个为：普遍表达式：2.7-72.7-152.7-142.7-11λ为奇数，即*能量本征值和零点能因为：所以线性谐振子的能级只能取分立值，能级间隔相等。线性谐振子基态能：称为零点能。有关光被晶体散射的实验，证明在趋于绝对零度时，散射光的强度趋于一确定值。说明原子有零点振动存在。常压下，温度趋于零度附近，液态氦也不会变成固体，具有显著的零点能效应。实验事实：*能量本征函数和宇称线性谐振子的定态波函数——归一化系数线性谐振子波函数线性谐振子位置几率密度线性谐振子n