2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题12圆锥曲线【含答案】

专题12圆锥曲线一、选择题部分1.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T5)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A.13 B.12 C.9 D.C．由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．2.(2021•高考全国甲卷•理T5)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.A．根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选A．3.(2021•高考全国乙卷•文T11)设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（）A. B. C. D.2A．设点，因为，，所以，而，所以当时，的最大值为．故选A．4.(2021•浙江卷•T9)已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（）A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线D.直线和抛物线C．由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选C.5.(2021•江苏盐城三模•T7)设双曲线C：eq\f(x\s\up6(2),a\s\up6(2）－\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2）＝1(a，b＞0)的焦距为2，若以点P(m，n)(m＜a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切，则OP长的取值范围是A．(0，eq\f(1,2))B．(0，1)C．(eq\f(1,2)，1)D．(eq\f(1,4)，eq\f(1,2))B．【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质应用由题意可知，c＝1，渐近线方程为：bx±ay＝0，由圆P与渐近线相切可得，r＝EQ\F(|bm＋an|,c)＝EQ\F(|bm－an|,c)，解得n＝0，所以圆的半径r＝a－m＝bm，所以m＝EQ\F(a,b＋1)，则m2＝(EQ\F(a,b＋1))2＝EQ\F(1－b\S(2),(b＋1)\s\up3(2）＝EQ\F(1－b,b＋1)＝－1＋EQ\F(2,b＋1)，因为b∈(0，1)，所以－1＋EQ\F(2,b＋1)∈(0，1)，则m∈(0，1)，所以OP∈(0，1)，故答案选B．6.(2021•河南郑州三模•理T10)已知A，B是椭圆＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）．若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B． C． D．B．设P（t，s），Q（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1＝，k2＝﹣，|k1|+|k2|＝||+|﹣|≥2＝2，当且仅当，即t＝0时等号成立．∵A，B是椭圆＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，P（t，s），Q（t，﹣s），即s＝b，∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，即，得a＝b，∴|k1|+|k2|的最小值为．7.(2021•河南开封三模•文理T12)已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．C．在△PF1F2中，由正弦定理知＝，∵，∴＝e，即|PF1|＝e|PF2|，①又∵P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|＝2a，②联立①②得|PF2|＝∈（a﹣c，a+c），即a﹣c＜＜a+c，同除以a得，1﹣e＜＜1+e，得﹣1＜e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围为．8.(2021•河南开封三模•文理T3)“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（）A．m∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．m∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．m∈（﹣∞，﹣2） D．m∈（1，+∞）A．方程为双曲线时，（m+2）（m﹣1）＞0∴m∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），∵（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）⊊（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为m∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．9.(2021•河南焦作三模•理T12)已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）过第一、三象限的渐近线为l，过右焦点F作l的垂线，垂足为A，线段AF交双曲线于B，若|BF|＝2|AB|，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．C．由题意可得渐近线l的方程为bx﹣ay＝0，由，可得A，又BF＝2AB，即＝2，又F（c，0），即有B，将B的坐标代入双曲线的方程，可得（）2﹣（）2＝1，由e＝，可得（+）2﹣（）2＝1，解得e＝．10.(2021•河北张家口三模•T9)已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则（）A． B．点（2，0）是该双曲线的一个焦点 C． D．该双曲线的渐近线方程可能为x±2y＝0AC．因为方程表示的曲线是双曲线，所以（m2﹣2）（m2+2）＜3，解得；将化为，故选项B错误；因为2≤m3+2＜4，所以；因为双曲线的渐近线斜率的平方，所以选项D错误．11.(2021•山东聊城三模•T8.)已知A，B，C是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的三点，直线AB经过原点OA.B.C.D.17217332D．【考点】双曲线的简单性质设双曲线的左焦点为E，连接AE,CE,BE由题意知|BF|=|AE|,|BE|=|AF|,BF∴四边形AEBF为矩形，令|BF|=|AE|=m,|BE|=|AF|=n∵|CE|-|CF|=|AE|∴在Rt△EAC将2a=m-n∴n=∴在Rt△EAF即(12可得e=c故D．【分析】设双曲线的左焦点为E，连接AE,CE,BE，根据矩形判定可得四边形AEBF为矩形令|BF|=|AE|=m,|BE|=|AF|=n，根据双曲线定义和勾股定理结合已知可求得n=25a,m=125a，再在Rt12.(2021•四川内江三模•理T11．)已知椭圆C：的右焦点F，点P在椭圆C上（x+3）2+（y﹣4）2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|﹣|PF|的最小值为2，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为（）A． B． C． D．C．由题意可得2a＝2×4，所以a＝2，4），设左焦点F6，则|PF1|＝2a﹣|PF|，所以|PQ|﹣|PF|＝|PQ|﹣（7a﹣|PF1|）＝|PQ|+|PF1|﹣6≥|EF1|﹣r﹣4，而|EF7|取最小时为E，Q，P，F1三点共线时，且为：|EF1|﹣r﹣5＝﹣6＝3，解得c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，所以椭圆的方程为：+＝1．13.(2021•四川内江三模•理T7．)已知点A为抛物线C：x2＝4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F（）A．一定是直角 B．一定是锐角 C．一定是钝角 D．上述三种情况都可能A．由x2＝4y可得y＝x2，∴y′＝x，设A（x0，），则过A的切线方程为y﹣＝x0（x﹣x7），令y＝0，可得x＝x0，∴B（x0，0），∵F（5，1），∴＝（x0，），＝（﹣x0，1），∴•＝6，∴∠ABF＝90°．14.(2021•重庆名校联盟三模•T7．)已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，虚轴长为2，若其渐近线上横坐标为1的点P恰好满足•＝0，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C．4 D．A．由已知可得2b＝2，则b＝，不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝，取x＝1可得P（1，），即P（1，），＝，，由•＝0，得，又c2＝a2+3，解得a＝1，c＝2，则e＝．15.(2021•安徽蚌埠三模•文T12．)已知圆C：（x+）2+y2＝（p＞0），若抛物线E：y2＝2px与圆C的交点为A，B，且sin∠ABC＝，则p＝（）A．6 B．4 C．3 D．2D．设A（，y0），则B（，﹣y0），由圆C：（x+）2+y2＝（p＞0），得圆心C（﹣，0），半径r＝，所以CD＝+，因为∠ABC＝∠BAC，所以sin∠ABC＝sin∠BAC＝＝＝，所以cos∠BAC＝＝＝，即，解得y0＝3，p＝2．16.(2021•上海嘉定三模•T14．)设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（）A．等于10 B．大于10 C．小于10 D．与l的斜率有关A．抛物线方程可知p＝4，由线段AB的中点E到y轴的距离为3得，，∴|AB|＝x1+x2+4＝10．17.(2021•贵州毕节三模•文T11．)已知点F为双曲线的右焦点，过点F的直线l与曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，与C的另一条渐近线的交点为M，若，则双曲线C的离心率e的值为（）A． B． C．2 D．A．设F（c，0），双曲线的渐近线方程为y＝±x，设直线l与渐近线y＝﹣x垂直，可得直线l的方程为y＝（x﹣c），联立，可得yN＝﹣，联立，可得yM＝﹣，由＝3，可得yN﹣yM＝3yN，即yM＝﹣2yN，可得＝，可得2a2﹣2b2＝c2＝a2+b2，即有a2＝3b2，所以e＝＝＝＝．18.(2021•辽宁朝阳三模•T5．)明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则（）A．e1＞e3＞e2 B．e2＞e3＞e1 C．e1＞e2＞e3 D．e2＞e1＞e3A．图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，所以e1＝＝＝＝e2＝＝＝＝，e3＝＝＝＝，因为，所以e1＞e3＞e2．19.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T10．)设F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足，，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．2C．由，，可得△BOF1为等腰三角形，且A为底边BF1的中点，由F1（c，0）到渐近线y＝±x的距离为d＝＝b，由OA⊥BF1，可得|OA|＝＝a，由∠AOF1＝∠AOB＝∠BOF2＝60°，可得cos60°＝＝，可得e＝＝2．20.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T8．)设P，Q分别为圆（x﹣1）2+y2＝2和椭圆上的点，则P，Q两点间的最短距离是（）A． B． C． D．B．如图，圆（x﹣1）2+y2＝2的圆心C（1，0），半径为，设Q（x，y）是椭圆上的点，则|QC|＝＝＝．∵﹣5≤x≤5，∴当x＝时，，∴P，Q两点间的最短距离是．21.(2021•安徽马鞍山三模•理T9．)已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上，•，且PF1与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．C．双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上，•，不妨设P在第二象限，则P（﹣c，），F1（﹣c，0），F2（c，0），因为•，所以（0，﹣）•（2c，﹣）＝＝3c2，b2＝3a2，所以c2＝4a2，可得离心率为：e＝2．22.(2021•安徽马鞍山三模•文T11．)已知椭圆经过点（3，1），当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（）A． B． C． D．D．由题意椭圆经过点（3，1），可得：（a＞b＞0），该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长l＝4．∴a2+b2＝（a2+b2）（）＝10+≥10+2＝16，当且仅当a2＝9b2时，即b＝，a＝3取等号．∴周长l的最小值：4×4＝16．∴椭圆方程：．23.(2021•四川泸州三模•理T7．)“m＝5”是“双曲线C：＝1的虚轴长为2”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A．①当m＝5时，双曲线为﹣＝1，∴b＝1，∴虚轴长为2b＝2，∴充分性成立，②若双曲线为+＝1虚轴长为2，当焦点在x轴上时，则，∴m＝5，当焦点在y轴上时，则，∴m＝﹣1，∴m＝5或m＝﹣1，∴必要性不成立，∴m＝5是双曲线+＝1虚轴长为2的充分不必要条件．24.(2021•上海浦东新区三模•T15．)已知两定点A（﹣1，0）、B（1，0），动点P（x，y）满足tan∠PAB•tan∠PBA＝2，则点P的轨迹方程是（）A．x2﹣＝1 B．x2﹣＝1（y≠0） C．x2+＝1 D．x2+＝1（y≠0）D．两定点A（﹣1，0）、B（1，0），动点P（x，y）满足tan∠PAB•tan∠PBA＝2，则：＝2，其中y≠0，化简可得，x2+＝1（y≠0）．25.(2021•湖南三模•T4．)已知抛物线C：y＝mx2（m＞0）上的点A（a，2）到其准线的距离为4，则m＝（）A． B．8 C． D．4C．抛物线C：y＝mx2（m＞0）开口向上，直线方程为y＝﹣，抛物线C：y＝mx2（m＞0）上的点A（a，2）到其准线的距离为4，可得：+2＝4，解得m＝．26.(2021•湖南三模•T7．)P为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点．若|OP|＝b，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．B．由sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，以及正弦定理可得|PF1|＝3|PF2|，因为|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因为|OF2|＝c，|OP|＝b，所以∠OPF2＝，所以cos∠OF2P＝，在△F1F2P中，cos∠F1F2P＝＝cos∠OF2P＝．化简可得c＝a，所以C的离心率e＝＝．27.(2021•福建宁德三模•T4)如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为23m，灶深CD为0.5m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为( )A.3m B.1.5m C.1m D.0.75mB．由题意建立如图所示的平面直角坐标系：O与C重合，设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，

由题意可得A(0.5,3)，将A点坐标代入抛物线的方程可得：3=2p×0.5，

解得p=3，所以抛物线的方程为：y2=6x，

焦点的坐标为(p2,0)，即(32,0)，

所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为32.

故选：B.

建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的方程，由题意可得A的坐标，将A点的坐标代入求出参数的值，进而求出所求的结果．

本题考查抛物线的性质及建立适当的坐标系的应用，属于基础题．

28.(2021•江西南昌三模•理T10．)如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F①轨道Ⅱ的焦距为R﹣r；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为R+r；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④C．由题意可得知，圆形轨道Ⅰ的半径为R，设轨道Ⅱ的方程为+＝1，则a+c＝R，因为圆心轨道Ⅲ的半径为r，则a﹣c＝r，联立，解得2c＝R﹣r，所以轨道Ⅱ的焦距为2c＝R﹣r，故①正确；由于a＝，c＝，故焦距为2c＝R+r，2b＝2＝2，所以R不变，r增大，b增大，轨道Ⅱ的短轴长增大，故②不正确；长轴2a＝R+r，故③正确；所以离心率e＝＝1﹣，r不变，R越大，e越大，即轨道Ⅱ的离心率越大，故④正确．所以①③④正确，29.(2021•江西上饶三模•理T7．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点M（3，0）到双曲线C的渐近线距离为（）A．2 B． C． D．2C．双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得a＝b，所以双曲线的渐近线方程为：x±y＝0，点M（3，0）到双曲线C的渐近线距离为：＝．30.(2021•安徽宿州三模•理T10．)已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，圆x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形AF1BF2的周长p与面积S满足＝，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．A．由题知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，四边形AF1BF2的是平行四边形，|AF1|+|AF2|＝，联立解得，|AF1|＝a+，|AF2|＝﹣a，又线段F1F2为圆的直径，∴由双曲线的对称性可知四边形AF1BF2为矩形，∴S＝|AF1||AF2|＝，∵＝，∴p2＝S，即p2＝（﹣a2），解得p2＝64a2，由|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，得2a2+＝4c2，即5a2＝2c2，可得e＝．31.(2021•安徽宿州三模•文T11．)已知F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，焦距为2c，以原点O为圆心，|OF2|为半径的圆与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|＝c，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．D．如图：设AB与x轴交于点D，由对称性的AD⊥OF1，且AD＝BD＝，∴OD＝，∴DF1＝，∴AF1＝c，AF2＝，∴AF2﹣AF1＝＝2a，∴＝．32.(2021•安徽宿州三模•文T9．)抛物线C：y2＝8x的焦点为F，其准线l与x轴交于点K，点M在抛物线C上，当|MK|＝|MF|时，△MFK的面积为（）A．4 B．4 C．8 D．8C．作MM1⊥l，垂足为M1，则MM1＝MF，∴由|MK|＝|MF|得△MM1K为等腰直角三角形，∴Rt△MM1K≌Rt△MFK，∴MF⊥FK且MF＝FK＝p＝4，∴△MFK的面积S＝．33.(2021•河北邯郸二模•理T8．)设双曲线C：的焦距为2c（c＞0），左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，则C的离心率的取值范围是（）A．（1，） B．（，+∞） C．（1，1+] D．[1+，+∞）C．∵c|PF2|＝a|PF1|，∴，∵P在双曲线的右支上，∴可设P的横坐标为x0（x0≥a），由双曲线焦半径公式，可得|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝ex0﹣a，则，∴≥a，即，解得≤e≤．又e＞1，∴C的离心率的取值范围是（1，1+]．34.(2021•江西鹰潭二模•理T11．)已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线x＝3交于M，N两点，△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为L1，L2，则的最小值为（）A． B． C． D．A．根据题意可得A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则+y02＝1，所以kPA•kPB＝•＝＝＝﹣，设直线PA的方程为y＝k（x+2），直线PB的方程为y＝﹣（x﹣2），令x＝3得yM＝5k，yN＝﹣，不妨设k＞0，则MN＝5k+，设△PMN和△PAB外接圆的半径分别为r1，r2，由正弦定理得2r1＝，2r2＝，又∠MPN+∠APB＝180°，所以＝＝＝＝≥＝．35.(2021•江西上饶二模•理T11．)双曲线E：的右焦点为F2，A和B为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限．连结AF2并延长交双曲线于点P，连结BF2、BP，若△BF2P是等边三角形，则双曲线E的离心率为（）A． B． C． D．D．因为△BF2P是等边三角形，不妨设|BF2|＝|PF2|＝n，由双曲线的定义知，|BF2|﹣|BF1|＝2a，|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|BF1|＝n﹣2a，|PF1|＝n+2a，由双曲线的对称性知，四边形AF1BF2为平行四边形，所以|AF2|＝|BF1|＝n﹣2a，|AF1|＝|BF2|＝n，∠F1AF2＝∠PF2B＝60°，所以|AP|＝|AF2|+|PF2|＝n﹣2a+n＝2（n﹣a），在△PAF1中，由余弦定理知，＝+|AP|2﹣2|AF1|•|AP|•cos∠F1AF2，所以（n+2a）2＝n2+4（n﹣a）2﹣2n•2（n﹣a）•，即n＝5a，在△AF1F2中，由余弦定理知，＝+﹣2|AF1|•|AF2|•cos∠F1AF2，所以4c2＝n2+（n﹣2a）2﹣2n（n﹣2a）•，即4c2＝n2﹣2na+4a2＝25a2﹣10a2+4a2＝19a2，所以c＝a，所以离心率e＝＝．36.(2021•河北秦皇岛二模•理T11．)已知方程C：＝1，n∈N*，则下列选项正确的是（）A．当n＝1时，|x|+|y|的最小值为 B．当n＝1时，方程C所表示的曲线围成封闭图形的面积为S，则S＜2 C．当n＝3时，|x|•|y|的最小值为 D．当n＝3时，方程C所表示的曲线围成封闭图形的面积为S，则2＜S＜πABD．当n＝1时，由原方程可得，，则|x|+|y|，当且仅当|x|＝|y|＝时等号成立，故A正确；对于B，由方程C所表示的曲线关于原点与坐标轴对称，因此只需考虑0≤x≤1且0≤y≤1的部分即可，此时原方程为，而y＝，∴曲线位于直线y＝1﹣x的下方，∴它与坐标轴围成的封闭曲线的面积小于，则方程C表示的曲线的面积S＜，故B正确；当n＝3时，，∴|x||y|＝，故C错误；对于D，由方程C所表示的曲线关于原点与坐标轴对称，因此只需考虑0≤x≤1且0≤y≤1的部分即可，此时，即，，而≥1﹣x，，∴曲线（0≤x≤1，0≤y≤1）位于直线y＝1﹣x的上方，圆x2+y2＝1（0≤x≤1，0≤y≤1）的下方，它与坐标轴围成的封闭曲线的面积大于小于，∴当n＝3时，方程C所表示的曲线围成封闭图形的面积为S，则2＜S＜π，故D正确．37.(2021•河北秦皇岛二模•理T8．)椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．A．设|F1F2|＝2c，因为（）＝（）＝＝0，所以|AF2|＝|F1F2|＝2c，所以|AF1|＝2a﹣2c，因为，所以|BF（a﹣c），所以|BF2|＝，设AF1的中点为H，则F2H⊥AB，|AH|＝a﹣c，|BH|＝，|F2A|，即4c，整理可得7c2﹣12ac+5a2＝0，即7e2﹣12e+5＝0，解得e＝或1（舍去），所以离心率为．38.(2021•浙江杭州二模•理T7．)已知F1，F2是双曲线C：的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线C的离心率为（）A．4+2 B．﹣1 C． D．D．依题意可知双曲线的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）．∴F1F2＝2c，∴三角形高是c．M（0，c）所以中点N（﹣，c），代入双曲线方程得：＝1，整理得：b2c2﹣3a2c2＝4a2b2．∵b2＝c2﹣a2．所以c4﹣a2c2﹣3a2c2＝4a2c2﹣4a4整理得e4﹣8e2+4＝0．求得e2＝4±2．∵e＞1，∴e＝+1．39.(2021•北京门头沟二模•理T9)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为3的直线与抛物线C上相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则A.83p2 B.833pD．抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(p2,0)，由题意可得直线PQ：y=3(x-p2)，

联立y2=2pxy=3(x-p2)，得：12x2-20px+3p2=0，

解得：P(p6,-33p)，Q(3p2,3p)，

则MN=3p+33p=433p，

在△MNF中，MN边上的高h=p，

则S△MFN=12×433p×p=233p2.A． B． C．2 D．2A．过F2作F2N⊥AB于点N，设|AF2|＝|BF2|＝m，因为直线l的倾斜角为，所以在直角三角形F1F2N中，|NF2|＝c，|NF1|＝c，由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c﹣2a，因此m＝c，在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，则e＝＝．41.(2021•江西九江二模•理T8．)已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），斜率为1的直线l过抛物线E的焦点，若抛物线E上有且只有三点到直线l的距离为，则p＝（）A．4 B．2 C．1 D．B．设l：y＝x﹣，设l1：y＝x+m与抛物线E相切，由，可得x2+2（m﹣p）x+m2＝0，△＝4（m﹣p）2﹣4m2＝0，解得p＝2m，且m＞0，平行线l1与l的距离为：d＝＝＝，所以p＝2．42.(2021•山东潍坊二模•T11．)已知双曲线C：x2﹣＝1，其左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作一直线与双曲线C的右支交于点P，Q，且＝0，则下列结论正确的是（）A．△PF1Q的周长为4 B．△PF1F2的面积为3 C．|PF1|＝+1 D．△PF1Q的内切圆半径为﹣1BCD．如图，由双曲线方程x2﹣＝1，得a2＝1，b2＝3，可得，则|F1F2|＝4，由双曲线定义可得：|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|＝2，∵＝0，∴∠F1PQ＝90°，则＝16，∴|PF1|+|PF2|＝＝．从而Rt△F1PQ的内切圆半径：r＝＝＝．故△PF1Q的内切圆半径为，故D正确；联立，解得|PF1|＝+1，|PF2|＝﹣1，故C正确；＝，故B正确；由|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|＝2，，且|PF1|＝+1，|PF2|＝﹣1，解得：，．∴△PF1Q的周长为，故A错误．43.(2021•辽宁朝阳二模•T8．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝±2x D．y＝B．设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF'是矩形，∴S△ABF＝S△ABF'，即bc＝8，由，可得y＝±，则|MN|＝＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，∴a＝＝2，∴C的渐近线方程为y＝±x．44.(2021•辽宁朝阳二模•T3．)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1+x2＝，则弦AB的长为（）A． B．4 C． D．C．由题意知，p＝2，由抛物线的定义知，|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．45.(2021•广东潮州二模•T5．)已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5＝0，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．D．双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5＝0，可得＝，所以e＝＝＝＝．46.(2021•天津南开二模•T7．)已知双曲线C：的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10，则△AF1F2的面积为（）A． B． C．15 D．30A．双曲线C：的离心率为2，解得a＝1，因为点A在双曲线C上，不妨设A在第一象限5F2的周长为10，|F1F3|+|AF1|+|AF2|＝10，|AF7|﹣|AF2|＝2，所以三角形的边长为|F7F2|＝4，|AF8|＝4，|AF2|＝4，所以三角形的面积为：＝．47.(2021•吉林长春一模•文T10.)已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为A.B.C.D.C．如图,过A,B作AA’,BB’垂直准线,垂足为A’,B’，过B作AA’垂线,垂足为C,由抛物线定义知所以,,所以直线倾斜角为,故选C.48.(2021•吉林长春一模•文T4.)已知双曲线的渐近线方程为则其离心率为A.B.C.D.B．由渐近线方程可知故选B.49.(2021•乌鲁木齐二模•文T11．)已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（）A． B． C． D．A．如图所示，设线段MF的中点为H，连接OH，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．设∠HFO＝α，在△OHF中，tanα＝＝，∴直线MF的斜率是﹣．50.(2021•乌鲁木齐二模•文T7．)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，则椭圆长轴长的最小值为（）A．2 B．4 C．4 D．8C．不妨设椭圆方程，F1，F2是椭圆的两个焦点（±c，0），B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，因为a2＝b2+c2≥2bc，所以8＝＝2bc≤a2，所以a≥2，当且仅当b＝c时取等号，所以椭圆长轴长的最小值为4．51.(2021•安徽淮北二模•文T10．)如图，F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足|AB|＝2|OF1|，∠ABF1＝，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．A．F1、F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，在Rt△ABF1中，|OF1|＝c，∴|AB|＝2c，在直角三角形ABF1中，∠ABF1＝α，可得|AF1|＝2csinα，|BF1|＝2ccosα，连接AF2，BF2，可得四边形AF2BF1为矩形，∴||BF2|﹣|AF2||＝|AF1|﹣|AF2|＝2c|cosα﹣sinα|＝2a，∴e＝＝＝，∵α＝，∴cos（α+）＝cos＝，∴e＝．52.(2021•宁夏银川二模•文T9．)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，经过点P（1，1）的直线l与该曲线交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|+|BF|＝（）A．4 B．6 C．8 D．12B．抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），准线方程为x＝﹣2，过A、B、P作准线的垂线段，垂足分别为M、N、R，点P恰为AB的中点，故|PR|是直角梯形AMNB的中位线，故|AM|+|BN|＝2|PR|．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|＝|AM|+|BN|＝2|PR|＝2|1﹣（﹣2）|＝6．53.(2021•山西调研二模•文T11)已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，以点F为圆心，A.52 B.32 C.2A．由题意，F(c,0)，不妨设双曲线的渐近线方程为y=bax，

则F到y=bax的距离为bca1+b2a2=b=1，

直线FP所在直线方程为y=-ab(x-c)，

联立y=baxy=-ab(x-c)，解得x=a2c，

54.(2021•山西调研二模•文T5.)若椭圆x29+y2mA.3 B.6 C.12 D.15C．解：双曲线y22-x2=1的焦点坐标(0,±3)，

椭圆x29+y2m=1与双曲线y22-x2=1有相同的焦点，

所以m-9=3，m=12.

故选：C.

求出双曲线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，然后求解m即可．

本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．

55.(2021•河南郑州二模•文T9．)已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，A． B． C． D．A．由＝﹣3可知，F1A∥F2B，所以△AF1P∽△BF2P，且，即，化简可得，即e2＝2，所以e＝（负值舍去）．二、填空题部分56.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T14)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.．抛物线：()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为，故答案为.57.(2021•高考全国甲卷•理T15)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．．根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于.故答案为.58.(2021•高考全国乙卷•文T14)双曲线的右焦点到直线的距离为________．．由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线距离为.故答案为．59.(2021•浙江卷•T16)已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.(1).(2).．如图所示：不妨假设，设切点为，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故；．60.(2021•江西上饶三模•理T16．)某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值v0，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为5m．（空气阻力不计，重力加速度为10m/s2）5．设铅球运动时间为t0，t时刻的水平方向位移为x，则x＝v0tcosθ，由知，，∴，故当时，，∴v0＝10m/s，∴，如图建立平面直角坐标系，P（﹣5，﹣2.5），设抛物线方程为x2＝﹣2py，则抛物线的焦点到准线的距离为．61.(2021•河南郑州三模•理T15)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，•＝•，且＝4，则双曲线离心率e为．．易知A（a，0），F（c，0），一条渐近线为，∵，∴，则，不妨设Q在第一象限，则，即点Q的坐标为（a，b），设B（x，y），则，由得，，解得，∴点B的坐标为（4c﹣3a，﹣3b），又点B在椭圆上，故，化简可得（4e﹣3）2＝10，解得，又e＞1，于是．62.(2021•河北张家口三模•T16)已知为椭圆的右焦点，B两点，P为AB的中点，且△OFP外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为．2．因为△OFP外接圆的面积为，所以其外接圆半径为．又△OFP是以OF为底边的等腰三角形，设∠OFP＝α，则∠OPF＝π﹣2α，所以，所以，所以或．不妨设点P在x轴下方，所以或．又根据点差法可得，所以或此时焦点在y轴上．因为为椭圆，所以，故椭圆C的长轴长为．63.(2021•安徽宿州三模•理T16．)已知A，B分别为抛物线C1：y2＝8x与圆C2：x2+y2﹣6x﹣4y+16＝0上的动点，抛物线的焦点为F，P、Q为平面内两点，且当|AF|+|AB|取得最小值时，点A与点P重合；当|AF|﹣|AB|取得最大值时，点A与点Q重合，则△FPQ的面积为．4．由题意可知C2是以（3，2）为圆心，1为半径的圆，F（2，0），如图：记C1的准线为l，过点A作l的垂线，垂足为D，过点C2作l的垂线，垂足为D1，连接AC2，则|AF|+|AB|＝|AD|+|AB|≥|AD|+|AC2|﹣1≥|C2D1|﹣1，当且仅当A，C2，D三点共线且点B在线段AC2上时取等号，则点P（1，2），连接FC2，则|AF|﹣|AB|≤|AF|﹣（|AC2|﹣1）＝|AF﹣|AC2|+1≤|FC2|+1，当且仅当A为线段FC2的延长线与抛物线C1的交点，且点B在线段AC2上时等号成立，易知点Q在第一象限，由得Q（4，4），∴|FQ|＝＝6，点P到直线QF的距离为d＝＝，∴．64.(2021•山东聊城三模•T15.)已知点A(0,5)，过抛物线x2=12y．上一点P作y=-3的垂线，垂足为B，若|PB|=|PA|7【考点】两点间的距离公式，点到直线的距离公式设P(x,y)，|PB|=|PA|，可得y+3=xx2由x2=12y，带入可得：所以|PB|=y+3=7，故7.65.(2021•四川内江三模•理T16．)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线C就是其中一种，其方程为（x2+y2）3＝x2y2．给出下列四个结论：①曲线C有四条对称轴；②曲线C上的点到原点的最大距离为；③在第一象限内，过曲线C上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为；④四叶草面积小于．其中，所有正确结论的序号是．①③④．对于①，将x换为﹣x方程不变；将y换为﹣y方程不变；将x换为y，所以曲线关于y＝x轴对称，y换为﹣x方程不变；①正确；对于②，设距离为d，要求d的最大值4+y2的最大值，显然d＞02+y2≠0，又＝，所以曲线C上的点到原点距离最大值为；（3）设曲线C第一象限任意一点为（x，y），则（x2+y2）5＝x2y2≥4（xy）3，即，当且仅当x＝y时取得最大值；（4）易得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，④正确．66.(2021•重庆名校联盟三模•T15．)已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（）是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝交于E，G两点，若sin∠MFG＝，则抛物线C的方程是．y2＝4x．由题意可知直线x＝是过焦点F的垂直x轴的直线，因为sin∠MFG＝，所以cos∠MFG＝，又cos∠MFG＝＝，所以x＝3，则x0＝3﹣，所以M（3﹣，2），代入抛物线方程可得：p2﹣6p+8＝0，解得：p＝2或4，当p＝2时，x0＝2，当p＝4时，x0＝1＝2，不满足题意，所以p＝2，此时抛物线方程为y2＝4x．67.(2021•安徽蚌埠三模•文T14．)“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹（环火轨道曲线）的离心率约为．（精确到0.1）0.6．设椭圆的方程为，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a﹣c，最大值为a+c，根据题意可得近火点满足a﹣c＝3400+265＝3665，a+c＝3400+11945＝15345，解得a＝9505，c＝5840，所以椭圆的离心率为e＝．68.(2021•上海嘉定三模•T9．)设椭圆Γ：＝1（a＞1），直线l过Γ的左顶点A交y轴于点P，交Γ于点Q，若△AOP为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是AP的中点，则Γ的长轴长等于．．如图所示，设Q（x0，y0）．由题意可得：A（﹣a，0），P（0，a）．因为Q是AP的中点，所以，∴（x0，y0﹣a）＝（﹣a﹣x0，﹣y0），∴代入椭圆方程可得：，解得．∴椭圆Γ的长轴长等于．69.(2021•贵州毕节三模•文T16．)由集合P＝{（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝9，π≤θ≤2π}中所有点组成的图形如图阴影部分所示，其外廓形如“心脏”，中间白色部分形如倒立的“水滴”．则阴影部分与y轴相交的两条线段长度和为．2．∵（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝9，π≤θ≤2π，令x＝0，得cos2θ+y2﹣2ysinθ+sin2θ＝9，∴y2﹣2ysinθ＝8，2sinθ＝y﹣，θ∈[π，2π]，sinθ∈[﹣1，0]，2sinθ∈[﹣2，0]，由y﹣∈[﹣2，0]，解得y∈[﹣4，﹣2]∪[2，2]，阴影部分长度为2﹣2，4﹣2，∴阴影部分与y轴相交的两条线段长度和为2＝2．70.(2021•辽宁朝阳三模•T14．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|＝|MF1|，P为线段NF1的中点．若|F1F2|＝4|OP|（O为坐标原点），则C的渐近线方程为．y＝±x．由双曲线的定义，可得|MF2|﹣|MF1|＝|MF2|﹣|MN|＝|NF2|＝2a，在△NF1F2中，OP为中位线，可得|OP|＝|NF2|＝a，又|F1F2|＝4|OP|，可得2c＝4a，即c＝2a，b＝＝＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．71.(2021•四川泸州三模•理T16．)关于曲线C：3x2+2xy+3y2＝1有如下四个①曲线C关于原点对称；②直线x＝1与曲线C有公共点；③曲线C上任一点的纵坐标的范围是[﹣，]；④曲线C上任一点与原点距离的范围是[，]．其中所有真命题的序号是（填上所有正确的序号）．①④．关于曲线C：3x2+2xy+3y2＝1有如下四个对于①：把点（﹣x，﹣y）代入曲线C：3x2+2xy+3y2＝1仍然成立，故①正确；对于②③：曲线C：3x2+2xy+3y2＝1可以看做关于x或y的一元二次方程，故△＝（2y）2﹣4×3×（3y2﹣1）≥0，解得，同理△＝（2x）2﹣4×3×（3x2﹣1）≥0，解得，故②③错误，对于④：在第一象限内：2xy＝1﹣3（x2+y2）≤x2+y2，故4（x2+y2）≥1，即，在第二象限内：﹣2xy＝3（x2+y2）﹣1≤x2+y2，整理得，即，所以曲线C上任一点与原点距离的范围是[，]．故④正确．72.(2021•江苏常数三模•T15．)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为36πcm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为（单位：cm）．6，（0，]．①如图以杯子的底部为原点O，建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣2，8），B（2，8），设抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），可得（2）2＝2p×8，解得p＝，所以抛物线的方程为x2＝y，设球的半径为R，由4πR2＝36π，解得R＝3，由直角三角形DBC1中，C1B＝3，DB＝2，可得C1D＝＝1，所以球面上的点到杯底的最小距离为8+1﹣3＝6；②如图球C2的横截面的圆的方程为x2+（y﹣r）2＝r2，r＞0，联立，可得y＝0或y＝2r﹣1，要使球触及酒杯底部，则只需抛物线与圆相切于顶点（0，0），可得联立抛物线和圆的方程只能有1解y＝0，另一个解为负数或零，所以y＝2r﹣1≤0，解得0＜r≤，所以玻璃球的半径的范围为（0，]．73.(2021•福建宁德三模•T16)已知动点P在圆(x+2)2+(y-4)2=4上，双曲线C:x2a2-y2b[2,+∞)．设Q'(x,y)，P(x0,y0)，满足OP+OF=2OQ'，所以(x0,y0)+(2,0)=(2x,2y)，

所以x0=2x-2，y0=2y，

又因为P(x0,y0)在圆上满足(x0+2)2+(y0-4)2=4，所以(2x-2+2)2+(2y-4)2=4，

整理得x2+(y-2)2=1，

所以点Q'的轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，

当渐近线与圆有交点时，说明渐近线上存在点Q，使得OP+OF=2OQ，

当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：

圆心(0,2)到渐近线bx-ay=0的距离d=|-2a|b2+a2=1，

因为c=2，即a2+b2=4，

所以a=1，此时b=3，ba=3，

当①b＝1；②当点P在第一象限时坐标为；③直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值；④∠F1PF2的角平分线PH（点H在F1F2上）长为．①④．双曲线的焦点为（±，0），则椭圆的焦点也为（±，0），∴b2＝3﹣2＝1，得b＝1（b＞0），故①正确；设P（x0，y0）（x0，y0＞0），则，椭圆在点P处的切线方程为，求得A（，0），B（0，），由三角形面积公式可得，，∵，∴，则，当且仅当时等号成立，此时在第一象限的切点坐标为P，故②错误；由对称性，只需考虑点P在第一象限的情况，由上可知，P，则kOP•kl＝，故③错误；计算可得，在∠F1PF2＝90°，设∠F1PF2的角平分线PH的长为m，根据等面积法可得：，解得m＝，故④正确．75.(2021•江西南昌三模•理T15．)设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），圆（x﹣c）2+y2＝4c2与双曲线C在第一象限的交点为A，若AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为．4x+3y＝0．设AF1的倾斜角为θ，∵AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直，且，∴tanθ＝，联立，解得cosθ＝，在△AF1F2中|AF1|＝|AF2|+2a＝2c+2a，|F1F2|＝2c，由余弦定理可得：（2c）2＝（2c+2a）2+（2c）2﹣2•（2c+2a）•2c•cosθ＝4a2+8c2+8ac﹣8b（a+c），化简得：a+c＝2b，即c＝2b﹣a，又a2+b2＝c2，∴a2+b2＝（2b﹣a）2+4b2+a2﹣4ab，即，∴，则直线l的方程为y＝﹣，即4x+3y＝0．76.(2021•北京门头沟二模•理T13)P(x,y)(x>0,y>0)是双曲线C：x24-y2=1上的一点，A(-2,0)，B(2,0)，设∠PAB=α，∠PBA=β，△ABP的面积为S-8P(x,y)(x>0,y>0)是双曲线C：x24-y2=1上的一点，

可得x2-4=4y2，

tanα+tanβ=yx+2-yx-2=-4yx2-4=-4y4y2=-1y，

tanαtanβ=yx+2⋅-yx-2=-y2x2-4=-y24y2=-14，

S=124．设过点F作斜率为k1的直线方程为：y＝k1（x﹣1），联立方程，消去x可得：，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1y2＝﹣4，设C（x3，y3），D（x4，y4），则＝，同理，设AC所在的直线方程为y＝m（x﹣4），联立方程，消去x得：my2﹣4y﹣16m＝0，∴y1y3＝﹣16，同理可得y2y4＝﹣16，则＝＝＝＝4．78.(2021•河北秦皇岛二模•理T15．)已知双曲线C：x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，已知∠F1AF2＝90°，且△ABF1内切圆半径为1，则|AB|＝．3．双曲线C：x2﹣＝1的a＝1，设|AF1|＝m，|BF1|＝n，由双曲线的定义可得|AF2|＝|AF1|+2a＝m+2，|BF2|＝|BF1|﹣2a＝n﹣2，|AB|＝AF2|﹣|BF2|＝m﹣n+4，由切线长定理可得直角三角形的内切圆的半径为两直角边的和与斜边的差的一半，所以，在直角三角形ABF1中，（|AB|+|AF1|﹣|BF1|）＝（m﹣n+4+m﹣n）＝1，可得m﹣n＝﹣1，所以|AB|＝﹣1+4＝3．79.(2021•江西上饶二模•理T15．)过抛物线y2＝2x的焦点作两条相互垂直的弦AB，CD，且|AB|+|CD|＝λ|AB|•|CD|，则实数λ的值为．．由抛物线的方程可得F（，0），由题意可知直线AB，CD的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：y＝k（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y整理可得：k2x2﹣（2+k2）+＝0，所以x，所以|AB|＝x，直线CD的方程为：y＝﹣），同理可得|CD|＝2+，所以由|AB|+|CD|＝λ|AB|•|CD|可得：＝．80.(2021•江西鹰潭二模•理T14．)已知方程﹣＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是．（﹣1，3）．∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2，当焦点在x轴上时，可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，∵方程﹣＝1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1，无解．综上可得m的取值范围是（﹣1，3）．81.(2021•山东潍坊二模•T)15．已知一张纸上画有半径为2的圆O，在圆0内有一个定点A，且OA＝1，折叠纸片，使圆上某一点A'刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A'取遍圆上所有点时，所有折痕与OA'的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为．．以OA中点为G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．∴可知O（），A（），设折痕与OA′和AA′分别交于M，N两点，则MN垂直平分AA′，∴|MA′|＝|MA|，又∵|A′O|＝|MO|+|A′M|，∴|MO|+|MA|＝2，∴M的轨迹是以O，A为焦点，2为长轴的椭圆．∴M的轨迹方程C为，∴曲线C上的点到点O距离的最大值为d＝1+＝，∴曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为d+r＝．82.(2021•河北邯郸二模•理T16．)过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作不垂直于x轴的直线，交抛物线于M，N两点，线段MN的中垂线交x轴于R，则＝．．设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据抛物线的定义得：|AB|＝x1+x2+p，由y12＝2px1，y22＝2p2x，相减得，y12﹣y22＝2px1﹣2px2，∴k＝＝，则线段MN的中垂线的方程为：y﹣＝﹣（x﹣）．令y＝0，得R的横坐标为p+，又F（，0），∴|FR|＝，则＝．83.(2021•广东潮州二模•T14．)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是．9．抛物线的准线为x＝﹣1，∵点M到焦点的距离为10，∴点M到准线x＝﹣1的距离为10，∴点M到y轴的距离为9．84.(2021•辽宁朝阳二模•T14．)已知|z+i|+|z﹣i|＝6，则复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为．+＝1．∵复数z在复平面内所对应点P（x，y），又|z+i|+|z﹣i|＝6，∴+＝6，即点P（x，y）到点A（0，﹣），和B（0，﹣）的距离之和为：6，且两定点的距离为：2＜6，故点P的运动轨迹是以点AB为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝2，故b＝＝2，∴复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为：+＝1．85.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T17．)已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，且|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，则下列结论正确的有．①双曲线C的离心率e＝；②双曲线C的一条渐近线斜率是；③线段|AB|＝6a；④△AF1F2的面积是a2．②④．如图示：由于且|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，可得：且|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，由于∠AF1F2＝∠F1BF2，所以△AF2F1∽△ABF2，故，可得：|AB|＝2|AF2|＝8a，故|BF1|＝6a，|BF2|＝8a，所以|F1F2|＝2c＝4a，所以离心率e＝2，故，在△AF1F2中，|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|F1F2|＝4a，所以．故②④正确．86.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T16．)已知平面向量，，，，若||＝||＝，＝0，||+||＝4，||＝1，则||的最大值是．．不妨令，以点O为坐标原点，OA，OB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则O（0，0），，因为||+||＝4，所以|CA|+|CA'|＝4＞＝|AA'|，故点C在以4为长轴，为焦点的椭圆上，则点C的轨迹方程为，又||＝1，即，故点D在以为圆心，1为半径的圆上，又||＝，所以转化为求解|BC|的最大值，由图易得，当以B为圆心，r为半径的圆与椭圆内切时有最大值，联立方程组消去x可得，，则△＝12﹣12（r2﹣7）＝0，解得，所以．87.(2021•宁夏银川二模•文T16．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，左顶点为A，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若tan∠MAF＝，则双曲线的离心率等于．．如图：由题意可设直线OM方程为y＝，FM⊥OM，∴OM＝a，MF＝b，在△OAM中，OA＝a，OM＝a，∴∠MAO＝∠AMO，∴∠MOF＝2∠MAF，在△MOF中，tan∠MOF＝＝＝tan2∠MAF＝，∴，∴＝．88.(2021•安徽淮北二模•文T15．)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F（O为坐标原点），过点F的直线l交抛物线C于点A，B，若|FA|﹣|FB|＝，则△OAB的面积为．．抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，由|FA|﹣|FB|＝，可得AB的斜率存在，设为k，k≠0，过F的直线AB的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线的方程y2＝4x联立，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A，B的横坐标分别为x1，x2，可得x1+x2＝2+，x1x2＝1，由抛物线的定义可得|AF|﹣|BF|＝x1+1﹣x2﹣1＝x1﹣x2＝＝＝，解得k＝±，即有直线AB的方程为y＝±（x﹣1），可得O到直线AB的距离为d＝＝，|AB|＝x1+x2+2＝2++2＝，所以△ABO的面积为S＝d•|AB|＝××＝．三、解答题部分89.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T21)在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为；（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，不妨直线的方程为，即，联立，消去并整理可得，设点、，则且.由韦达定理可得，，所以，，设直线的斜率为，同理可得，因为，即，整理可得，即，显然，故.因此，直线与直线的斜率之和为.90.(2021•高考全国甲卷•理T20)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．（1）依题意设抛物线，，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；（2）设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.91.(2021•高考全国乙卷•文T20)已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.92.(2021•浙江卷•T21)如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.（1）因为，故，故抛物线的方程为.（2）设，，，所以直线，由题设可得且.由可得，故，因为，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，则且，故，故即，解得或或.故直线在轴上的截距的范围为或或.93.(2021•江苏盐城三模•T20)(12分)如图，在平面直角坐标系eqxOy中，已知点P是抛物线eqC\s\do(1)：x\s\up6(2)＝2py(p＞0)上的一个点，其横坐标为x0，过点P作抛物线eqC\s\do(1)的切线l．(1)求直线l的斜率(用x0与p表示)；(2)若椭圆eqC\s\do(2)：\f(y\s\up6(2),2)＋x\s\up6(2)＝1过点P，l与eqC\s\do(2)的另一个交点为A，OP与eqC\s\do(2)的另一个交点为B，求证：AB⊥PB．OyxPBAOyxPBA【考点】圆锥曲线中抛物线与椭圆的综合应用：斜率表示、证明垂直问题(1)由x2＝2py，得y＝EQ\F(1,2p)x2，所以y′＝EQ\F(1,p)x，所以直线l的斜率为EQ\F(1,p)x0．……3分(2)设P(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，kPB＝EQ\F(y\S\DO(0),x\S\DO(0），由(1)知kPA＝EQ\F(1,p)x0＝EQ\F(y\S\DO(0),2x\S\DO(0），……5分设A(x1，y1)，所以EQ\F(y\S\DO(0)\s\up3(2),2)＋x02＝1，EQ\F(y\S\DO(1)\s\up3(2),2)＋x12＝1，作差得EQ\F(\b\bc\((\l(y\S\DO(0)＋y\S\DO(1）)\b\bc\((\l(y\S\DO(0)－y\S\DO(1）),2)＋(x0＋x1)(x0－x1)＝0，即EQ\F(y\S\DO(0)＋y\S\DO(1),x\S\DO(0)＋x\S\DO(1）EQ\F(y\S\DO(0)－y\S\DO(1),x\S\DO(0)－x\S\DO(1）＝－EQ\F(1,2)，所以kPAkAB＝－EQ\F(1,2)，……10分所以EQ\F(y\S\DO(0),2x\S\DO(0）kAB＝－EQ\F(1,2)，即kAB＝－EQ\F(x\S\DO(0),y\S\DO(0），所以kPBkAB＝－1，所以AB⊥PB．……12分注：其他解法参照评分．94.(2021•河南郑州三模•理T20)已知抛物线C：x2＝4y和圆E：x2+（y+1）2＝1，过抛物线上一点P（x0，y0），作圆E的两条切线，分别与x轴交于A、B两点．（Ⅰ）若切线PB与抛物线C也相切，求直线PB的斜率；（Ⅱ）若y0≥2，求△PAB面积的最小值．（Ⅰ）设切线PB的方程为y＝kx+m，代入抛物线方程得，x2﹣4kx﹣4m＝0．由相切条件可得，△＝16k2+16m＝0，即k2+m＝0，由直线与圆相切，可得，即k2＝m2+2m，∴m2+3m＝0，解得m＝﹣3或m＝0（舍去），则k2＝3，即k＝；（Ⅱ）设切线方程为y﹣y0＝（kx﹣x0），即kx﹣y+y0﹣kx0＝0，圆心到直线的距离d＝，整理得．设PA、PB的斜率分别为k1，k2，则，．令y＝0，得，，∴|AB|＝||＝＝＝．∴＝．令f（y）＝，y≥2，则f′（y）＝＞0，则f（y）在[2，+∞）上单调递增，∴f（y）min＝f（2）＝4．即S△PAB的最小值为2．95.(2021•河南开封三模•理T20)已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足．（1）求抛物线C的方程；（2）已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝15，线段AB的中点M在直线x＝1上．（ⅰ）求直线l的方程；（ⅱ）证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．（1）解：由题可知，，设点P（x0，y0），因为，即，所以，y0＝﹣2，故，将点P代入y2＝2px，得4＝p2，又因为p＞0，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x；（2）（i）解：若直线l斜率不存在，则直线l：x＝1，此时，故直线l斜率存在，设直线l：y＝kx+m，联立方程组，消去y得，k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0，满足△＝（2km﹣4）2﹣4k2m2＝16（1﹣km）＞0，即km＜1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以①，又因为线段AB的中点M在直线x＝1上，所以②，由①式与②式联立可得k＝±2，当k＝2时，m＝﹣1，满足km＜1；当k＝﹣2时，m＝1，满足km＜1，所以直线l的方程为y＝2x﹣1或y＝﹣2x+1；（ii）证明：由（i）可知，直线l与抛物线C联立方程，消去y可得4x2﹣8x+1＝0，所以x1+x2＝2，，故，，则，所以，，成等差数列，又因为公差d满足，因为，所以，故数列的公差．96.(2021•河南开封三模•文T20．)已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足．（1）求抛物线C的方程；（2）已知斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，，成等差数列，求该数列的公差．（1）由题可知，设点P（x0，y0），因为，即，所以，y0＝﹣2，…………代入y2＝2px，得4＝p2，又因为p＞0，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．…………（2）设直线l：y＝2x+m，则消去y可得4x2+（4m﹣4）x+m2＝0，满足△＝（4m﹣4）2﹣16m2＝﹣32m+16＞0，即设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝1﹣m，，…………若，，成等差数列，则，即x1+x2+2＝4，即3﹣m＝4，即m＝﹣1．…………此时直线l与抛物线C联立方程为4x2﹣8x+1＝0，即x1+x2＝2，，又因为公差d满足，…………因为，所以，即．…………97.(2021•河南焦作三模•理T20)已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，△AOB（点O为坐标原点）的面积为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若过点E（0，a）（a＞0）的两直线l1，l2的倾斜角互补，直线l1与抛物线C交于M，N两点，直线l2与抛物线C交于P，Q两点，△FMN与△FPQ的面积相等，求实数a的取值范围．（Ⅰ）因为焦点F（，0），所以A，B的坐标分别为（，p），（，﹣p），所以S△AOB＝•2P•＝2，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．（Ⅱ）由题意可知直线l1，l2的斜率存在，且不为0，设直线l1：x＝t（y﹣a），设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得y2﹣4ty+4at＝0，所以△1＝16t2﹣16at＞0，所以y1+y2＝4t，y1y2＝4at，所以|MN|＝|y1﹣y2|＝＝4，焦点F到直线l1的距离d＝＝2|1+ta|，所以S△FMN＝×4×＝2|1+ta|，设直线l2的方程为x＝﹣t（y﹣a），联立抛物线的方程，可得△2＝16t2+16at＞0，将t用﹣t代换，可得S△FPQ＝2|ta﹣1|，由S△FMN＝S△FPQ，可得2|1+ta|＝2|ta﹣1|，化简可得＝||，两边平方得，t2＝，所以2﹣a2＞0，解得0＜a＜，又由△1＞0且△2＞0，得t＜﹣a或t＞a，可知t2＞a2，所以＞a2，即（a2﹣1）2＞0，所以a≠1，所以实数a的取值范围是（0，1）∪（1，）．98.(2021•河北张家口三模•T21)已知抛物线C：y2＝4px（p＞0）的焦点为F，且点M（1，2）（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l：x﹣m（y+2）﹣5＝0与抛物线C交于A，B两点？若存在，求出m的值，请说明理由．（1）因为点M到点F的距离比到y轴的距离大p，所以点M到点F的距离与到直线x＝﹣p的距离相等，由抛物线的定义可知，点M在抛物线C上，所以4＝4p，解得p＝5，故抛物线C的方程为y2＝4x；（2）存在m＝2或m＝﹣3．联立方程组，可得y2﹣4my﹣7m﹣20＝0，因为△＝16m2+3（8m+20）＞0恒成立，所以直线l与抛物线C恒有两个交点，设A（x6，y1），B（x2，y8），则有y1+y2＝6m，y1y2＝﹣7（2m+5），因为＝＝＝＝3，所以MA⊥MB，则△MAB为直角三角形，设d为点M到直线l的距离，则|MA|•|MB|＝|AB|•d＝＝＝＝64，所以（m+1）5+4（m+1）5﹣32＝0，解得（m+1）2＝4或（m+1）6＝﹣8（舍），所以m＝1或m＝﹣5，故当实数m＝1或m＝﹣3时，|MA|•|MB|＝．99.(2021•山东聊城三模•T21.)已知圆F1:(x+1)2+y2=r2，圆F2:(x（1）求曲线C的方程；（2）已知点P(1,32)，过曲线C右焦点F2的直线交曲线C于A、B两点，与直线x=m交于点D，是否存在实数m，λ，使得kPA（1）解：由题意可知|PF1|=r，|P所以|PF所以曲线C为以F1、F2为焦点的椭圆，且a2=2所