二面角求解方法

二面角求解方法二面角求解方法16/16二面角求解方法教师:学生:年级:科目：课次：时间:年代日内容：二面角求解方法总结二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，能够做为选择题，也可作为填空题，经常作为解答题形式出现，要点掌握好二面角，它一般出此刻解答题中。下边就对求二面角的方法总结以下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线获得棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。4、投影法：利用s投影面=s被投影面cos这个公式对于斜面三角形，随意多边形都成立，是求二面角的好方法。特别对无棱问题异面直线距离法：2222EF=m+n+d－2mncos1：若p是ABC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA=6,P求二面角P-BC-A的大小。解析：因为这两个三角形是全等的三角形，故采纳定义法解：取BC的中点E，连接AE、PEACEAC=AB，PB=PCBAEBC，PEBCPEA为二面角P-BC-A的平面角PAE中AE=PE=3，PA=6PEA=900二面角P-BC-A的平面角为900。例2：已知ABC是正三角形，PA平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。[思想]二面角的大小是由二面角的平面角来胸怀的，此题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还能够用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1：（三垂线定理法）AC的中点E，连接BE，过E做EFPC,连接BFPA平面ABC，PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=ACBE平面PAC由三垂线定理知BFPC

PFEACB1BFE为二面角A-PC-B的平面角PA=1,E为AC的中点，BE=3,EF=224tanBFE=BE6EFBFE=argtan6解2：（三垂线定理法）BC的中点E，连接AE，PE过A做AFPE,FMPC,连接FMPAB=AC,PB=PCAEBC,PEBCFBC平面PAE,BC平面PBCAMCE平面PAE平面PBC,平面PAE平面PBC=PE由三垂线定理知AMPC图2FMA为二面角A-PC-B的平面角设PA=1，AM=2,AF=212PE7sinFMA=AF42AM7FMA=argsin4273：（投影法）B作BEAC于E,连接PEPA平面ABC，PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC

PACEBBE平面PAC图3PEC是PBC在平面PAC上的射影PA=1,则PB=PC=2,AB=1SPEC1,SPBC744由射影面积公式得，SPEC7,argcos7,COSSPBC77P解4：（异面直线距离法）D过A作ADPC,BEPC交PC分别于D、EEPA=1,则AD=2,PB=PC=22ACSPBC=14,CE=2,DE=2BE=4441PC2由异面直线两点间距离公式得图4B2222COS,COS=7,argcos777[谈论]此题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。例3：二面角EF的大小为120，是它内部的一点，，、为垂AABAC,BC足。（1）求证：平面ABC,平面ABC（2）当AB=4cm,AC=6cm时求BC的长及A到EF的距离。解析：此题采纳作棱的垂面法找二面角的平面角解：（1）设过ABC的平面交平面于BD,交平面于CDAAB,AB平面ABC平面ABC,同理平面ABCB（2）ABABEF

D

C同理ACEFEF平面ABDCBDEF,CDEFBDC=120BAC60BC=4262246COS6027cm有正弦定理得点A到EF的距离为：d=BC421cmsin603FE《二面角的求法》一、教材依据：二面角的求法二、设计思想：1、教材解析：现行的高中数学教材中，对于立体几何中几何体这一部分有两种办理方案，一种是用传统的方法进行研究，另一种是采纳向量为工具来进行研究，两种方法各有长处。采纳传统的研究方法对逻辑推理能力的提升似更有利处，而以向量为工具来进行研究能够使有的问题更简捷，是一种新的研究思路。在讲课中我们学校采纳的是传统的演绎方法。对空间对角的研究是很必需的，是定量刻画线线、线面、面面地点关系的手段。教材在三节中分别介绍两条直线所成的角、直线和平面所成的角和平面与平面所成的角。三种角的研究方法有共同之处：都是最后转变为平面上的角，并且三种角的定义都与平时经验吻合，角的大小是独一的。在立体几何中，对角的研究能够分红两步来进行：一是先依据定义找到所要求的角，二是经过计算提出要求的角。2、学情解析：学生经过一段时间的学习，对于立体几何的研究内容、研究方法有了必定的现有知识贮备认识。对于求角思路和方法基本掌握。拥有必定空间想象能力，有把知识进行一步系统化，及等价转变、分类谈论现有能力特色等数学思想方法的。1）对题目中所给的几何关系认识不清，识图能力不够；2）录求角的过程易忽视角的定义，进而致使所找的角不正确；现有知识不足3）运算能力不够。在找到角此后要经过平面几何的运算来求角，此时易出现运算错误。3、选题目的：湖南高考数学试题重视察看学生运用基础知识和数学基本方法的解题能力，近几年湖南高考大题波及二面角的较多，这一专题目的是对二面角的一般求法和特别方法作一个总结，使学生对它有一个全面的认识，同时对他们灵巧运用这些方法解决有关问题提出必定的要求。4、讲课说明及教具使用：这节课计划经过师生的双边活动在问题解决以及反省过程中，总结求二面角的一般方法及特别方法，并将这些方法在一题多解时加以灵巧运用。这一节课的讲课方案，重视对学生思想能力的培育，静态视频信息比好多，又大批使用动向视频信息，故采纳传统的板书加现代化多媒体讲课协助手段。5、设计理念学生为本，重视思想发生的过程，重视数学见解的形成过程，激发学生的学习兴趣，存心识培育学生的学习毅力。让学生学习风趣的数学，学习合用的数学，充分表现数学的应用价值、思想价值和人文价值。三、讲课目的：知识目标——经过一系列问题的解决，总结出二面角的几种求法，使学生对二面角的各样解法有一个全面的认识。能力目标——经过一题多解，训练学生灵巧运用所学知识及基本方法解决问题的能力，培育学生的发散思想及数学直觉，以便学生在此后解决有关问题时能够选择适合的方法。培育学生逻辑思想能力、空间想象能力、运算能力。感情目标——经过平面和空间两个命题的类比及论证，培育学生数学思想的谨慎性和对问题的探就能力。感神情度价值观：使学生在解决问题的过程中感觉数学美，意会数学思想方法在学习中的应用。四、讲课重难点：讲课要点是各样角的求法；讲课难点是角的追求方法的选择。谈论：二面角是立体几何中最重要的章节。二面角中的内容综合了线面垂直，三垂线定理及其逆定理和异面直线所成角等好多的知识点，是高考的热门和难点。在总结时，若能够指引学生进行对解二面角的问题进行研究和总结，对提升学生的数学思想方法是有帮助的，对提升学生灵巧运用所学的也有很重要的作用。五、讲课过程：一、复习引入：1、什么是二面角及其平面角？范围是什么？①从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l—β。②以二面角的棱上随意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。③范围：[0,]谈论：学生带着问题走进讲堂，激发学生求知欲2、二面角出现的状态形式有哪些？直立式横卧式谈论：有序而奇妙的多媒体图象显示，激发了学生的兴趣。2、二面角的种类及基本方法（1）四种常例几何作求法定义法垂面法；三垂线法；射影面积法cos=S射影多边形/S多边形谈论：依据内容，本节课采纳的讲课手段是多媒体及常例讲课器具。对各样方法下角的形成过程经过多媒体展现，便于学生理解。在讲课过程中，采纳在课上作图的方法，便于对所出现的不一样样样思路和想法进行研究，增添了讲堂的灵巧性。（2）向量法：①设m和n分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量m、n的夹角为，如图：nωnnωααθθllββn结论①：设m和n分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量m、n的夹角为，则有或结论②：一般地，若设n,m分别是平面,的法向量，则平面与平面所成的二面角的计算公nm

nm式是：

arccos

(当二面角为锐角、直角时）或

arccos

(当二面角为钝角时），其nm

nm中锐角、钝角依据图形确立。谈论：找寻和求作二面角的平面角是解二面角问题的要点，这也是个难点。在从图形中作出二面角的平面角时，要联合已知条件来对图形中的线线、线面和面面的地点关系先进行解析，确立有哪些是平行、垂直的或许是特其余平面图形，此后运用这些的有关性质和二面角的平面角的定义进行找出二面角的平面角。所以解对于二面角问题需要有很好的对线线、线面和面面的地点关系的解析判断能力。而在求作二面角的平面角的方法主要有三种：定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法、向量法。至于在求解有关平面角的问题时，这平面角平时是在三角形中，所以常要用到解直角三角形和斜三角形的知识，这包含正弦和余弦定理的知识，也会用到其余的平面几何知识。二、例题解说：以锥体为载体，对求角的问题进行研究1、如图,在底面是向来角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，1AD=2.求面SCD与面SAB所成的角的大小。解法1：可用射影面积法来求，这里只需求出SSCD与SSAB即可，△△故所求的二面角θ应知足cos=S1116C=2=。B123232AD图1谈论：（1）若利用射影面积法求二面角的大小，作为解答题，高考取是要扣分的，因为它不是定理.（2）由学生谈论解决，教师依据学生的解答状况进行指引、明确学生的解答。解法2：（三垂线定理法）解：延伸CD、BA交于点E，连接SE，SE即平面CSD与平面又∵DA⊥平面SAB，∴过A点作SE的垂线交于F.如图.∵AD＝1BC且AD∥BC2∴△ADE∽△BCE∴EA＝AB＝SA又∵SA⊥AE∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点，AF1SE2SA2又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE222

BSA的交线.ACD∴由三垂线定理得DF⊥SE∴∠DFA为二面角的平面角,∴tanDFA＝DA2即所求二面角的正切值.FA2评注：常例法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：经过简单的判断或推理获得相应角；三求：经过计算求出相应的角。谈论：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法要点是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判断和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线订交，交点在二面角的面内。解法3：（向量法）解：如图，成立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0，1，0)，S(0，20，1)，易知平面SAB的法向量为m=(0，1，0)；设平面SDC的法向量为n=(x，y，z)，而DC=(-1，1，220)，=(0，1⊥面SDC，∴⊥，⊥，n1⊥.DS，1)，∵nnDCnDSDC2nDC0x1y0得2∴DS0n1yz02令x1得：y2,z1。即n=(1，2，1)∵面SAB与面SCD所成角的二面角为锐角θ，

SCBADmn1=6cosn,m=16mn32∴θ=arccos6.3故面SCD与面SBA所成的角大小为arccos6.3谈论：经过此例能够看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常例方法是结构三角形求解，其要点又是作出二面角的平面角，经常很不简单。利用成立空间直角坐标系，避开了“作、证”两个基本步骤，经过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。搭建平台，自主沟通，数形联合，扫清了学生的思想阻截，更好地打破了讲课的重难点，体验数学的简洁美，一题多解是训练学生思想的有效形式。以柱体为载体，对求角的问题进行研究例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.D-C1F-A1.（几何法）解：在平面M1B1B内延伸DE和A1B1交于F，则F是面DEF与面A1B1C1的公共点，C1也是这两个面的公共点，连接C1F，C1F为这两个面的交线，所求的二面角就是∵A1D∥B1E，且A1D=2B1E，∴E、B1分别为DF和A1F的中点.∵A1B1=B1F=B1C1，∴FC1⊥A1C1.又面AA1C1C⊥面A1B1C1，FC1在面A1B1C1内，∴FC1⊥面AA1C1C.而DC1在面AA1C1C内，∴FC1⊥DC1.∴∠DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角.由已知A1D=BC=AC，∴∠DCA=4.故所求二面角的大小为4.11111法2：（向量法）解：成立如图的空间直角坐标系Axyz，设B1C12，则B1(3，1，0），E(3,1,1),C1(0,2,0),D(0,0,2),易知平面ABC的法向量为n=(0,0,1),111设平面1的法向量为，，而由DECm=(xyz),DE=(3,1,-1),DC1=(0,2,-2),mDE03xyz0即yz，不如设x0，得yz1m=（0，1，1）cosn,m2，mDC102y2z02∵面A1B1C1与面DEC1所成角的二面角为锐角θ，。4谈论：无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则需要依据公义2或公义4来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行）。那么延伸这两条线有一交点，依据公义2，这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判断和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公义4，可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。讲堂反应练习：如图,直四棱柱ABCD-A1111的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1，、Q分BCD=DA=AB=1P别是CC1、C1D1的中点，求二面角B-PQ-D的大小。解：成立以以以下图的坐标系Dxyz，，则z1B1,1,0,P(0,2,),Q(0,1,1),A(1,0,0)，2D1QC1A1B1PD1DA(1,0,0),BP(1,1,),BQ(1,0,1).2DA⊥面PQD，所以DA是面PDQ的法向量。设n(x,y,z)为面BPQ的法向量，则nBP,nBQ，xy1z0,xz2解得z，取n=(2,1,2)，xz02y∴cosn,DAnDA2。从图中可知，二面角B-PQ-D为锐角，nDA3所以二面角B-PQ-D的大小为arccos2.3谈论：二面角问题能够综合好多知识点，能够综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够应付得了这种问题。在计算方面要用到解三角形的知识，要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角，此后平时归纳在一个三角形中去求出最后的结果。总的，解这种题，找平面角是要点的一步，要注意运用题中的条件解析图形，此后用有关的方法找出平面角，计算时要解析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐渐去求出。三、讲堂小结：二面角的种类和求法可用框图：谈论：自主小结的形式将讲堂还给学生，既是对一节课的简单回首与梳理，也是对所学内容的再次坚固。四、作业：如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱33，D是延伸线上一点，且zBDBC。求二面角2AA1B1ADB的大小。解：取BC的中点O，连AO。由题意平CC1面ABC平面yOBB1DxBCC1B1，AOBC，∴AO平面BCC1B1，以O为原点，成立如图6所示空间直角坐标系，则（3）3），9），33∴AD（933）2222222B1D（3,33,0）（33,0）3BB10,BB1平面ABD，∴BB1（0,3,0）为平面ABD222的法向量。设平面AB1D的法向量为n2(,,)，则n2AD，∴n2AD0，∴xyzn2B1Dn2B1D0933z03xx3y。3,1,3)，由22，即2∴不如设n2(3x33y0z3x222BB1n2331cosBB1,n22，得BB1,n260。故所求二面角B1ADB的大小|BB1||n2|3223260。谈论：作业分为三种形式，表现作业的坚固性和发展性原则。阅读作业中的问题思虑是后续讲堂的铺垫，而弹性作业不作一致要求，供学有余