2022高考数学（理）一轮通用版讲义：14.1合情推理与演绎推理

PAGE16第十四章eq\b\lc\|\rc\\a\vs4\al\co1,,,,,,,,推理与证明第一节合情推理与演绎推理[考纲要求]1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异．3．掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．突破点一合情推理

eq\a\vs4\al[基本知识]类型定义特点归纳推理根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊eq\a\vs4\al[基本能力]一、判断题对的打“√”，错的打“×”1归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．2由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．3在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．答案：1×2√3×二、填空题1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是an＝________解析：a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2答案：n22．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案：1∶83．2022·咸阳二模观察下列式子：eq\r1×2＜2，eq\r1×2＋eq\r2×3＜eq\f9,2，eq\r1×2＋eq\r2×3＋eq\r3×4＜8，eq\r1×2＋eq\r2×3＋eq\r3×4＋eq\r4×5＜eq\f25,2，…，根据以上规律，第nn∈N*个不等式是____________________________．解析：根据所给不等式可得第n个不等式是eq\r1×2＋eq\r2×3＋…＋eq\rn×n＋1＜eq\fn＋12,2n∈N*．答案：eq\r1×2＋eq\r2×3＋…＋eq\rn×n＋1＜eq\fn＋12,2

eq\a\vs4\al[全析考法]考法一归纳推理[例1]12022·郑州模拟平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为A．42 B．65C．143 D．16922022·兰州实战性考试观察下列式子：1,1＋2＋1，1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________[解析]1根据题设条件可以通过列表归纳分析得到：凸多边形四五六七八对角线条数22＋32＋3＋42＋3＋4＋52＋3＋4＋5＋6所以凸n边形有2＋3＋4＋…＋n－2＝eq\fnn－3,2条对角线，所以凸十三边形的对角线条数为eq\f13×13－3,2＝65，故选B2由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2[答案]1B2n2

[方法技巧]归纳推理问题的常见类型及解题策略常见类型解题策略与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解与式子有关的推理观察每个式子的特点，找到规律后可解与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性考法二类比推理1．类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…[例2]12022·宜春中学期中在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则eq\fS1,S2＝eq\f1,4，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体m＞0，则两边平方得，则3＋2eq\r3＋2\r3＋2\r…＝m2,即3＋2m＝m2，解得m＝3或m＝－1舍去．\a\vs4\al[考法一]某地区发生级地震，为抗震救灾，地震后需搭建简易帐篷，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管．

解析：由题意可知，图①的单顶帐篷要17＋0×11根钢管，图②的帐篷要17＋1×11根钢管，图③的帐篷要17＋2×11根钢管，……所以串7顶这样的帐篷需要17＋6×11＝83根钢管．答案：83\a\vs4\al[考法二]“MN是经过椭圆eq\f2,a2＋eq\fy2,b2＝1a＞b＞0的焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦O是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．2在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．答案：1√2×二、填空题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是矩形；③所以三角形不是平行四边形”中的小前提是________填序号．答案：②2．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三个去过同一城市．由此判断乙去过的城市为________．答案：A

[典例]数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\fn＋2,nSnn∈N*．证明：1数列eq\b\lc\{\rc\}\a\vs4\al\co1\fSn,n是等比数列；2Sn＋1＝4an[证明]1∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\fn＋2,nSn，∴n＋2Sn＝nSn＋1－Sn，即nSn＋1＝2n＋1Sn故eq\fSn＋1,n＋1＝2·eq\fSn,n，小前提故eq\b\lc\{\rc\}\a\vs4\al\co1\fSn,n是以1为首项，2为公比的等比数列．结论大前提是等比数列的定义2由1可知eq\fSn＋1,n＋1＝4·eq\fSn－1,n－1n≥2，∴Sn＋1＝4n＋1·eq\fSn－1,n－1＝4·eq\fn－1＋2,n－1·Sn－1＝4ann≥2．小前提又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，小前提∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an结论[方法技巧]演绎推理的推理过程中的2个注意点1演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．2在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．[针对训练]1．“因为指数函数y＝aa＞0且a≠1是增函数大前提，又y＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,3是指数函数小前提，所以函数y＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,3是增函数结论”，上面推理的错误在于A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错解析：选A当a＞1时，y＝a为增函数；当0＜a＜1时，y＝a为减函数，故大前提错误．2．已知函数y＝f满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有afa＋bfb＞afb＋bfa，试证明：f为R上的单调增函数．证明：设1，2∈R，取1＜2，则由题意得1f1＋2f2＞1f2＋2f1，∴1[f1－f2]＋2[f2－f1]＞0，即[f2－f1]2－1＞0，∵1＜2，∴f2－f1＞0，f2＞f1．∴y＝f为R上的单调增函数[课时跟踪检测]1．2022·广东珠海一中、惠州一中联考因为四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD的对角线相等，补充以上推理的大前提为A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形解析：选B用三段论的形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，因为由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，所以大前提一定是矩形的对角线相等．故选B2．2022·武汉调研一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：选B由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．3．2022·南昌调研已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝A．8 B．9C．10 D．11解析：选C∵13＋23＝32＝1＋22，13＋23＋33＝62＝1＋2＋32，13＋23＋33＋43＝102＝1＋2＋3＋42，……∴13＋23＋33＋…＋n3＝1＋2＋3＋…＋n2＝eq\fn2n＋12,4∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，∴eq\fn2n＋12,4＝3025，∴n2n＋12＝2×552，∴nn＋1＝110，解得n＝104．2022·武汉外国语学校月考有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：选D如果1号或2号选手得第一名，则乙、丙、丁对，如果3号选手得第一名，则只有丁对，如果4号或5号选手得第一名，则甲、乙都对，如果6号选手得第一名，则乙、丙都对．因此只有丁猜对，故选D5．2022·辽宁实验中学等五校期末如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为aii＝1,2,3,4，此四边形内任一点月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日，8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．答案：8月4日11．2022·台州中学期中如图，正方形ABCD的边长为1，分别作边AB，BC，CD，DA上的三等分点A1，B1，C1，D1，得正方形A1B1C1D1，再分别取边A1B1，B1C1，C1D1，D1A1上的三等分点A2，B2，C2，D2，得正方形A2B2C2D2，如此继续下去，得正方形A3B3C3D3，…，则正方形AnBnCnDn的面积为________．解析：设正方形A1B1C1D1的面积为S1，∵AB＝1，∴A1B＝eq\f2,3，BB1＝eq\f1,3，∴A1B1＝eq\f\r5,3，eq\fS1,S＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f\r5,32＝eq\f5,9，∴相邻的两正方形的面积比为eq\f5,9，所有正方形面积构成等比数列，公比为eq\f5,9，首项为1，∴正方形AnBnCnDn的面积为eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f5,9n答案：eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f5,9n