2022高考数学（理）一轮通用版讲义：10.3抛物线

PAGE7第三节抛物线[考纲要求]1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．掌握抛物线的简单几何性质范围、对称性、顶点、离心率．3．了解抛物线的简单应用．4．理解数形结合思想．突破点一抛物线的定义及其应用

eq\a\vs4\al[基本知识]抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线ll不经过点F的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．eq\a\vs4\al[基本能力]一、判断题对的打“√”，错的打“×”1平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．2AB为抛物线y2＝4的过焦点F的弦，若A1，y1，B2，y2，则12＝1，y1y2＝－4，弦长|AB|＝1＋2＋2答案：1×2√二、填空题1．已知动点，代入点＝－1，则抛物线方程为y2＝－；设抛物线为2＝ny，代入点，n到其焦点的距离为5，则n＝A．eq\f19,4 B．eq\f9,2C．3 D．4解析：选D抛物线2＝4y的准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义可知，5＝n＋1，得n＝4，故选D4．2022·衡水金卷高三联考抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4的焦点为F，一平行于轴的光线从点M3,1射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为\f4,3 B．－eq\f4,3C．±eq\f4,3 D．－eq\f16,9解析：选B将y＝1代入y2＝4可得＝eq\f1,4，即Aeq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,4，1由题可知，直线AB经过焦点F1,0，所以直线AB的斜率＝eq\f1－0,\f1,4－1＝－eq\f4,3，故选B5．2022·珠海模拟已知抛物线y2＝4的焦点为F，准线为l，点，\fm2,4，m＞0，由|AF|＝|AH|，得eq\fm2,4－1＝eq\f1,2·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fm2,4＋1，解得m＝2eq\r3，故等边△AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是eq\f1,2×4×4sin60°＝4eq\r3故选C5．2022·邯郸质检已知抛物线y2＝2，eq\r2＞0，易知抛物线C的焦点F的坐标为eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f2＋2＋\f＝eq\f1,2，,\s\uF,\s\u,\s\uF,\s\u，则点M到准线l的距离d＝eq\f|AF|＋|BF|,2≥eq\f|AB|,2，所以点M到准线l的距离的最小值为5，所以点M到y轴的最短距离为5－1＝4答案：411．2022·北京高考已知直线l过点1,0且垂直于轴，若l被抛物线y2＝4a截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题知直线l的方程为＝1，则直线与抛物线的交点为1，±2eq\raa＞0．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4eq\ra＝4，即a＝1所以抛物线的焦点坐标为1,0．答案：1,012．2022·广州海珠区一模已知抛物线y2＝20,1，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N1若N在以AB为直径的圆上，求p的值；2若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，∴设直线AB：y＝＋1，A1，y1，B2，y2，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得2－2p－2p＝0，则1＋2＝2p，12＝－2p①1由2＝2py得y′＝eq\f,p，则A，B处的切线斜率的乘积为eq\f12,p2＝－eq\f2,p，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－eq\f2,p＝－1，∴p＝22易得直线AN：y－y1＝eq\f1,p－1，直线BN：y－y2＝eq\f2,p－2，联立，得eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1y－y1＝\f1,p－1，,y－y2＝\f2,p－2，结合①式，解得eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1＝p，,y＝－1，即Np，－1．|AB|＝eq\r1＋2|2－1|＝eq\r1＋2eq\r1＋22－412＝eq\r1＋2eq\r4p22＋8p，点N到直线AB的距离d＝eq\f|N＋1－yN|,\r1＋2＝eq\f|p2＋2|,\r1＋2，则S△ABN＝eq\f1,2·|AB|·d＝eq\rpp2＋23≥2eq\r2p，当＝0时，取等号，∵△ABN的面积的最小值为4，∴2eq\r2p＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为2＝4y15．2022·贵阳摸底过抛物线C：y2＝4的焦点F且斜率为的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝81求直线l的方程；2若A关于轴的对称点为D，抛物线的准线与轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线．解：1F的坐标为1,0，则l的方程为y＝－1，代入抛物线方程y2＝4得22－22＋4＋2＝0，由题意知≠0，且[－22＋4]2－42·2＝162＋1＞0设A1，y1，B2，y2，∴1＋2＝eq\f22＋4,2，12＝1，由抛物线的定义知|AB|＝1＋2＋2＝8，∴eq\f22＋4,2＝6，∴2＝1，即＝±1，∴直线l的方程为y＝±－1．

2证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为1，－y1，又E－1,0，∴EB－ED＝eq\fy2,2＋1－eq\f－y1,1＋1＝eq\fy21＋1＋y12＋1,1＋12＋1，y21＋1＋y12＋1＝y2eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fy\o\al2,1,4＋1＋y1eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fy\o\al2,2,4＋1＝eq\fy1y2,4y1＋y2＋y1＋y2＝