几何学的变革培训课程

9几何学学的变革欧几里得平行行公设非欧几何的诞诞生非欧几何的发发展与确认射影几何的繁繁荣几何学的统一一9几何学学的变革欧氏几何在公公元前300年就已产生生，其特征是是建立了公理理化方法：即即从几个概念念和几个命题题，演绎出本本学科其它所所有概念和命命题，从而构构成这一学科科的全貌。运运用这种方法法的学科被认认为是严谨的的和成熟的科科学。欧氏氏几几何何的的公公理理体体系系出出现现在在欧欧几几里里得得的的《《原原本本》》中中，，在在其其之之后后的的2200后后，，希希尔尔伯伯特特在在《《几几何何基基础础》》加加以以完完善善。。其其间间，，许许多多数数学学家家作作了了许许多多公公理理体体系系的的完完备备性性工工作作。。9几几何何学学的的变变革革然而而，，令令人人放放心心不不下下的的是是该该公公理理体体系系中中的的第第五五公公设设，，即即平平行行公公设设的的问问题题。。因因为为人人们们发发现现即即使使欧欧几几里里得得本本人人也也尽尽量量避避免免使使用用它它。。9几几何何学学的的变变革革9.1欧欧几几里里得得平平行行公公设设第五五公公设设（（即即平平行行公公设设））寻求求第第五五公公设设的的证证明明非欧欧几几何何的的孕孕育育9几几何何学学的的变变革革9.1欧欧几几里里得得平平行行公公设设一第五五公设（（即平行行公设））《原本》》中五个个公设：：1由任任意一点点到另外外任意一一点可以以画直线线2一条条有限直直线可以以继续延延长3以任任意点为为心及任任意的距距离可以以画圆4凡直直角都彼彼此相等等5同平平面内一一条直线线和另外外两条直直线相交交，若在在某一侧侧的两个个内角的的和小于于二直角角的和，，则这二二直线经经无限延延长后在在这一侧侧相交9.1欧欧几几里得的的平行公公设从古希腊腊时代开开始，人人们一直直对第五五公设有有疑问，，二千年年来，数数学家们们一直在在想消除除这个疑疑问，其其途径有有二：一一是用更更为自明明的命题题代替第第五公设设；二是是证明它它，使其其成为一一个定理理。两千年来来提出众众多的替替代公设设有：9.1欧欧几几里得的的平行公公设存在一对对同平面面的直线线彼些处处处等距距离过己知直直线外一一点能且且只能作作一条直直线与己己知直线线平行存在一对对相似但但不全等等的三角角形如果一个个四边形形有一对对对边相相等，并并且它们们与第三三边构成成的角均均为直角角，则余余下的两两个角也也是直角角9.1欧欧几几里得的的平行公公设如果四边边形有三三个角是是直角，，则第四四个角也也是直角角至少存在在一个三三角形，，其三角角和等于于二直角角过任何三三个不在在同一直直线上的的点可作作一圆三角形的的面积无无上限但所有这这些替代代公设，，也不自自明。9.1欧欧几几里得的的平行公公设二寻寻求第五五公设的的证明多少世纪纪以来，，试图证证明第五五公设的的人是如如此之多多，差不不多够一一个军团团，但所所有这些些尝试均均告失败败。9.1欧欧几几里得得的平平行公公设三非非欧几几何的的孕育育1萨萨凯里里（Saccheri））著《欧欧几里里得无无懈可可击》》（1733））从著名名的““萨凯凯里四四边形形”出出发证证明平平行公公设2克克吕格格尔1763年年，克克吕格格尔指指出萨萨凯里里的工工作并并未导导出矛矛盾，，他怀怀疑能能否证证明平平行公公设9.1欧欧几几里得得的平平行公公设3兰伯特特著《平平行线线的理理论》》（1766））他认识识到一一组假假设如如果不不引起起矛盾盾的话话，就就提供供了一一种可可能的的几何何。兰伯特特最先先指出出通过过替换换平行行公设设而展展开新新的无无矛盾盾的几几何学学的道道路。。萨凯里里、克克吕格格尔、、兰伯伯特是是非欧欧几何何的先先行者者。平行公公理的的研究究(公公元前前3世世纪至至1800年)A+B+C=2π非欧几几何的的孕育育欧几里得普莱菲尔(苏格兰,1748-1819)

勒让德(法,1752-1833)若一直直线落落在两两直线线上所所构成成的同同旁内内角和和小于于两直直角,那那么把把两直直线无无限延延长,它它们都都在同同旁内内角和和小于于两直直角的的一侧侧相交交.勒让德(法法,1752-1833)《几何何学原理》》：这条关关于三角形形的三个内内角和的定定理应该认认为是那些些基本真理理之一。这这些真理是是不容争论论的，它们们是数学永永恒真理的的不朽的例例子。(1832)1733年年萨萨凯凯里里(意意,1667-1733)《《欧欧几几里里得得无无懈懈可可击击》》非欧欧几几何何的的孕孕育育非欧欧几几何何的的孕孕育育1766年年兰兰伯伯特特(法法,1728-1777)《《平平行行线线理理论论》》不不认认为为锐锐角角假假设设矛矛盾盾,认认识识到到如如果果一一组组假假设设不不引引起起矛矛盾盾,就就提提供供了了一一种种可能能的的几几何何1763年年，，克克吕吕格格尔尔(德德,1739-1812)第第一一位位对对平平行行线线公公设设是是否否能能由由其其它它公公理理加加以以证证明明表示示怀怀疑疑的数数学学家家1820年年F••鲍鲍约约(匈匈,1775-1856):““我我经经过过了了这这个个长长夜夜的的渺渺无无希希望望的的黑黑暗暗,在在这这里里埋埋没没了了我我一一生生的的一一切切亮亮光光和和一一切切快快乐乐,…………或或许许这这个个无无底底洞洞的的黑黑暗暗将将吞吞食食掉掉一一千千个个犹犹如如灯灯塔塔般般的的牛牛顿顿,而而使使大大地地永永无无光光明明。。””9.2非非欧几何的诞诞生高斯波约罗巴切夫斯基基9.2非非欧几何的诞诞生一高斯（Gauss，，1777——1855））1799年，，高斯意识到到平行公设不不能由其它欧欧氏公理推出出来，并从1813年起起发展了这种种平行公设在在其中不成立立的新几何学学，称之为反反欧几里得几几何学，但高高斯生前未发发表。9.2非非欧几何的诞诞生二波约（（1802——1860））1823年，，波约开始理理解平行公设设问题的实质质，称“我要要白手起家创创造一个奇怪怪的新世界””。波约称他他的非欧几何何为“绝对几几何”。著《绝对空间间的科学》9.2非非欧几何的诞诞生三罗巴切切夫斯基（1792—1856）1826《简要论述平平行线定理的的一个严格证证明》1829《《论几何原理理》1835—1838系系列论文《具有完备的的平行线理论论的新几何学学原理》1840《《平行理论论的几何研究究》9.2非非欧几何的诞诞生罗巴切夫斯基基在否定第五五公理的同时时，假设其反反面之一：““过已知直线外外一点，可作作多于一条的的直线与已知知直线平行””，得到了一系列列定理，并且且认为他得到到了一门新的的几何学。罗巴切夫斯基基宣布自己建建立了新的几几何学之后，，遭到了许多多数学大家的的嘲笑、讽刺刺，德国诗人人歌德也出来来讽刺他。实实际上，罗巴巴切夫斯基的的理论得到世世界的认可是是在他去世几几十年后的事事了。π(α)非欧几何1813年高高斯(德,1777-1855)：非欧几里里得几何1832年波波约(匈,1802-1860)《绝对空间间的科学》几何学上的哥哥白尼1826年罗罗巴切夫斯基基(俄,1792-1856)《《简要论述平平行线定理的的一个严格证证明》罗巴切夫斯基(苏联,1951)非欧几何罗巴切夫斯基基(俄,1792-1856)，，喀山大学教教授、校长1815年着着手研究平行行线理论，试试图给出平行行公设的证明明1826年在在物理数学系系会议宣读《《简要论述平平行线定理的的一个严格证证明》1829年论论文《几何学学原理》在《《喀山大学通通报》全文发发表直至罗巴切夫夫斯基去世的的30年内，，没能赢得社社会的承认和和赞美鲍约(罗马尼亚,1960)非欧几何鲍约父子之墓9.3非非欧几何的发发展与确认黎曼几何非欧几何的相相容性公理系统的相相对相容性的的证明非欧几何的意意义9.3非非欧几何的发发展与确认非欧几何从发发现到获得普普遍接受经历历了曲折的道道路，要达到到这一目标，，需要确定非非欧几何自身身的无矛盾性性和现实意义义。一黎曼几几何黎曼（Rieman，1826—1866）在在1854年年发展了罗巴巴切夫斯基等等人的思想，，建立了现称称为“黎曼几几何”的一种种更广泛的几几何，欧氏几几何、罗氏几几何、黎曼非非欧几何都只只是其特例。。9.3非非欧几何的发发展与确认在罗氏几何产产生后的1854年，德德国数学家黎黎曼把欧氏第第五公设改为为：“过已知知直线外一点点，没有与其其平行之直线线”，得到的的一种新的几几何学—黎曼曼非欧几何，，为非欧几何何的另一翼。。9.3非非欧几何的发发展与确认在黎曼几何中中，最重要的的一种对象是是常曲率空间间，对于三维维空间，有下下列情形：曲率为正常数数黎曼非欧几何何椭圆几几何曲率为负常数数罗氏非欧几何何双曲几几何曲率恒为零欧氏几何内蕴几何，流流形曲率1854年黎黎曼(德,1826-1866)《关于几何何基础的假设设》非欧几何非欧几何1846年进进入哥廷根大大学专修语言言和神学1847-1848年到到柏林大学,进入数学学领域1849-1851年在在哥廷根大学学,取得博博士学位,学学位论文““单复变函数数一般理论基基础”1854年讲讲师职位讲演演:关于几几何基础的假假设,1857年副教教授,1859年教授授1862年得得肺结核,1866年年在意大利逝逝世1876年出出版《黎曼全全集》(发表表论文18篇篇,遗稿12篇)伟大的分析学学家：复变函函数论、阿贝贝尔函数论、、超几何级数数与常微分方方程、解析数数论、实分析析、几何学、、数学物理、、物理学黎曼(德,1826-1866)“黎曼是一一个富有想象象的天才,他他的想法即即使没有证明明,也鼓舞舞了整整一个个世纪的数学学家.”9.3非非欧几何的发发展与确认二非欧几几何的相容性性三公理系系统的相对相相容性的证明明模型型与与相相容容性性1868年年贝贝尔尔特特拉拉米米(意意,1835-1899)非欧欧几几何何曳物线伪球面1871年年克克莱莱因因(德德,1849-1925)1882年年庞庞加加莱莱(法法,1854-1912)非欧欧几几何何克莱因-庞加莱圆9.3非非欧欧几几何何的的发发展展与与确确认认四非非欧欧几几何何的的意意义义1解解决决了了平平行行公公理理的的独独立立性性问问题题。。推推动动了了一一般般公公理理体体系系的的独独立立性性、、相相容容性性、、完完备备性性问问题题的的研研究究，，促促进进了了数数学学基基础础这这一一更更为为深深刻刻的的数数学学分分支支的的形形成成与与发发展展。。9.3非非欧欧几几何何的的发发展展与与确确认认2证证明明了了对对公公理理方方法法本本身身的的研研究究能能推推动动数数学学的的发发展展，，理理性性思思维维和和对对严严谨谨、、逻逻辑辑和和完完美美的的追追求求，，推推动动了了科科学学，，从从而而推推动动了了社社会会的的发发展展和和进进步步。。在在数数学学内内部部，，各各分分支支纷纷纷纷建建立立了了自自己己的的公公理理体体系系，，包包括括被被公公认认为为最最困困难难的的概概率率论论也也在在20世世纪纪30年年代代建建立立自自己己的的公公理理体体系系。。实实际际上上公公理理化化的的研研究究又又孕孕育育了了““元元数数学学””的的产产生生和和发发展展。。9.3非非欧欧几几何何的的发发展展与与确确认认3非非欧欧几几何何实实际际上上预预示示了了相相对对论论的的产产生生，，就就象象微微积积分分预预示示了了人人造造卫卫星星一一样样。。非非欧欧几几何何与与相相对对论论和和汇汇合合是是科科学学史史上上划划时时代代的的事事件件。。人人们们都都认认为为是是爱爱因因斯斯坦坦创创立立了了相相对对论论，，但但是是，，也也许许爱爱因因斯斯坦坦更更清清楚楚，，是是他他和和一一批批数数学学家家Poincare,Minkouski,Hilbert等等共共同同的的工工作作。。出出现现动动钟钟延延缓缓，，动动尺尺缩缩短短，，时时空空弯弯曲曲等等现现象象。。这这些些都都是是非非欧欧几几何何与与相相对对论论的的科科学学发发现现。。9几几何何学的的变革革9.4射射影影几何何的繁繁荣蒙日(法国,1953)1803年年卡尔尔诺(法,1753-1823)的的《位位置几几何学学》卡尔诺(法国,1950)1799年年蒙日日(法法,1746-1818)的《《画法法几何何学》》射影几几何早期开开拓者者:德德沙沙格(法,1591-1661),帕帕斯卡卡(法法,1623-1662)综合方方法连续性原理对偶原理1822年庞斯列(法,1788-1867)的《论图形的射影性质》射影几几何代数方方法默比乌斯(德,1790-1868)1827年默比乌斯(德,1790-1868)的《重心计算》1829年普吕克(德,1801-1868)的三线坐标普吕克(德,1801-1868)射影几几何射影几几何施陶特(德,1798-1867)

1847年施陶特(德,1798-1867)的《位置几何学》

凯莱(英,1821-1895)在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何凯莱(英,1821-1895)9几几何何学的的变革革9.5几几何何学的的统一一爱尔朗朗根纲纲领（（克莱莱因，，1872年））：所谓几几何学学，就就是研研究几几何图图形对对于某某类变变换群群保持持不变变的性性质的的学问问，或或者说说任何何一种种几何何只是是研究究与特特定的的变换换群有有关的的不变变量。。克莱因因以射射影几几何为为基础础、对对几何何学做做了分分类。。所谓几几何学学，就就是研研究几几何图图形对对于某某类变变换群群保持持不变变的性性质的的学科科，或或者说说任何何一种种几何何学只只是研研究与与特定定的变变换群群有关关的不不变量量。1872年克莱莱因(德德,1849-