概率论与数理统计-第一课时练习题

.PAGE１０.概率论与数理统计第一章随机事件及其概率.PAGE９.第一章随机事件与概率（一）随机事件知识点1、称试验的样本空间的子集为随机事件，用、、…表示。事件的元素是样本点，它在一次试验中，可能出现，也可能不出现。中的某个样本点出现了，事件发生，否则，不发生。因此，在一次试验中，可能发生也可能不发生的事情，就是随机事件。样本空间有两个特殊的子集；自身和空集。含所有的样本点，每次试验，必然发生；不含样本点，每次试验一定不发生。在一定条件下，每次试验一定发生的事情，称为必然事件。每次试验一定不发生的事情，称为不可能事件。必然事件，不可能事件是事先就能明确是否会发生，属于确定性现象，但在概率统计中，为了研究问题的需要，仍将其作为特殊的随机事件处理，使得事件间有着完整的关系，。此外，在样本空间的子集中，只含一个样本点的事件，称为基本事件。样本点的个数超过一个的事件，称为复合事件。2、事件之间的关系和运算由于事件是样本点的集合，因此，事件之间的关系和运算可借助集合之间的关系与运算来定义。其运算规律也同集合间的运算规律。(1)事件的包含与相等若事件发生必然导致事件发生，则称包含于(或包含)，记(或)。若且，则称事件与事件相等，记。(2)事件的和事件与事件至少有一个发生的事件，记作，称为与的和事件，有。同样地有限个事件至少有一个发生的事件，记作，称为有限个事件的和事件。可列多个事件至少有一个发生的事件，记作，称为可列多个事件的和事件。(3)事件的积事件与事件同时发生的事件，记作(或)，称为与的积事件，类似地，有限个多个事件同时发生的事件，记作。可列多个事件同时发生的事件，记作。(4)事件的差事件发生而事件不发生的事件，记作，称为与的差事件，。(5)互不相容的事件若与不能同时发生，即，称与是互不相容的事件。若一组事件，满足，，称该组事件两两互不相容。(6)对立事件如果在每次试验中，事件与事件有一个发生且仅有一个发生，即且，则称与为相互对立的事件。的对立事件，记作，有且。3、事件的运算规律交换律，结合律，分配律，德.摩根律，，还有一些结论在概率的计算中经常用到(1)(2)(3)(4)(5)(6)当时，，，练习1、关系（）成立，则事件与为对立事件：(多选)()()()()对立2、甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次，事件、、分别表示={甲击中目标}={乙击中目标}={丙击中目标}请指出下列运算表示的事件(1)(2)(3)(4)(5)(6)（二）古典概型知识点1、概率的古典定义设为一试验，是它的样本空间，若满足(1)只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相等。则称为古典型随机试验，简称古典概型。在古典概型的条件下，事件A的概率定义为2、古典概率的性质(1)(2)(3)若，则一般地，若(其中，)，则(4)(5)(6)若，则且一般地，有(7)对任意两事件、，有一般地，有练习1、已知样本空间的两事件、，则在下列公式中，成立的有()(多选)();()()()()2、已知，，，则___3、某箱中有100件产品，其中8件是次品(1)从中任取10件，求恰好取到3件次品的概率。(2)从中以不放回抽样方式取产品10次，每次1支，求恰好3次取到次品的概率。(3)从中以有放回抽样方式取产品10次，每次1支，求恰好3次取到次品的概率。4、有人忘记了某个电话号码的最后一个数字，因而，最后一个数任意地拔(1)求不超过三次就拔对电话的概率；(2)若最后一个数字是偶数，求不超过三次拔对电话的概率。5、在某城市中发行三种报纸、、，经调查，订阅报的有45%，订阅报的有35%，订阅报的有30%，同时订阅与报的有10%，同时订阅与报的有8%，同时订阅与报的有5%，同时订阅、、报的有3%，试求下列事件的概率：只定报的；只定与报的；只定一种报纸的；正好定两种报纸的；至少订阅一种报纸的；不订阅任何报纸的；最多订阅一种报纸的。6、在某次城市居民消费水平调查中，发现该城市家庭中15%已购买空调，12%已购买电脑，20%已购买VCD机，同时购买空调和电脑的占6%，同时购买空调和VCD机的占10%，同时购买电脑和VCD机的占5%，同时购买三种消费品的占2%，求下列事件的概率：（1）只购买空调的；（2）只购买一种产品的；（3）至少购买一种产品的；（4）至多购买2种产品的；（5）三种电器都未购买的。7、袋中有12个球，其中7个白球，5个黑球，从中任取2个，求下列各事件的概率。(1)={取到的两个球都是白的}(2)=(取到的两个球1白1黑)(3)={取到的两个球至少有一个是黑的}(抽球问题)8、七位电话号码由0-9十个数字组成，今任取一个电话号码，事件={七个数字的最大者是6},=(七个数字中有3个8),求，，(随机取数问题)。9、从5个数字1，2，3，4，5中等可能地，有放回的连续抽取3个数字，试求下列事件的概率：A=“3个数字都不相同”B=“3个数字不含1和5C=“3个数字中5恰好出现两次”D=“3个数字中至少出现一次5（三）几何概型知识点1、几何概率定义设是一有限区域，其测度，向内任意投掷一质点，如果必落在内且落在内任何可测子区域上的可能性的大小只与的测度成正比，而与的位置及形状无关，称此试验为几何型随机试验――几何概型。在几何概型的情况下，点落在内的概率为2、几何概率的性质(略)(同古典概率的性质)练习1、已知是半径为的圆，对下列各试验，使事件是()()：向内任意投一点，落入的半径为的同心圆内；()：向圆周上任意投一点，落在圆周角是60°的弧上；()：向的直径上任意投一点，落在区间内；()以上都不是。OOMC1CADFMO60oMLOKGHC()()()2、向以点，，，为顶点的矩形域内任投一点，求落入区域的概率。（四）条件概率知识点1、条件概率的定义设、是两个事件，且，称为在事件发生的条件下事件的条件概率2、条件概率的性质条件概率满足概率的三条公理(1)(2)(3)，其中，其中性质都可由此三条推出，包括：(4)(5)，(6)(7)(8)当时，有且(9)3、乘法公式()(),()4、全概率公式和贝叶斯公式设样本空间的一组事件及事件，满足(1)，(，)(2)则，(全概率公式)(贝叶斯公式)其中，称为的一个划分，在应用这两个公式解决问题时，要适当地划分，使和已知或容易求出。练习1、已知样本空间共有32个样本点，且每个样本点出现的概率都相等，设事件有9个样本点，事件有5个样本点，且与有3个样本点是相同的，则为()()；()；()；()。2、设男人是色盲的概率0.05，女人是色盲的概率0.0025，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，则这个人是色盲者的概率是()()0.6；()0.031；()0.96；()0.032。3、设有甲，乙两袋，甲袋中装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球，M只红球,今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到白球的概率是多少？4、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？5.设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱，3箱，2箱,三厂产品的废品率依次为0.1，0.2，0.3。从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求(1)取得正品的概率;(2)取得的正品是甲厂生产的概率。（五）独立性知识点1、两个事件的相互独立事件，称为相互独立的，如果它们满足等式2、当时，事件，相互独立等价于3、若四对事件中有一对是相互独立的，则另外三对也是相互独立的。4、个事件相互独立如果个事件对于任何正整数都有成立，称这个事件是相互独立的。这里，是满足的任何个自然数。练习1、设，是两个事件，=0.4，=0.7，当，互不相容时，=______，当，相互独立时，=______。2、、相互独立，，，则()()0.3；()0.3375；()0.4；()0.85。单元测试一、选择题：1、设，则()事件与互不相容；()事件与互相对立；()事件与互不独立；()事件与互相独立；2、设，是任意两个事件，且，，，则下列结论中肯定正确的是()()；()；()；()。3、设，相互独立，，，则是()()0.85；()0.45；()0.3；()0.40。4、每次试验成功率为，进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为（）();();();()5、一学生毫无准备地参加一项测验，其中5道是非题，他随机地选择“是”或“非”作答，则该学生至少答对1题的概率为()()；()；()；()。6、已知、互不相容，且则下式不成立的是()()()()()7、向单位圆内随机投下3点，则这3点恰有2点落在第一象限中的概率为（）()；()；()；()二、填空题：1、一套五卷本的选集，随机地摆在书架上，求各册自左至右或自右至左恰成1，2，3，4，5的顺序的概率是__________。2、某商店的10台洗衣机中有3台次品，现已售出两台，在剩下的8台洗衣机中任取一台，则它是正品的概率为_______。3、一实习生用一台机器接连独立地制造了3个同种零件，第个零件合格的概率为()，则3个中恰有两个合格的概率是_______。4、已知，，，则_____。5、袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两人依次从袋中各取一球，取后不放回，则第二个