《圆的对称性》课件-(公开课)2022年北师大版

美丽的圆

圆是一种美丽的图形，春秋战国时期，墨翟在其所著《墨经》一书中就曾明确指出：“圜，一中同长也。”毕达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中，最美的是球形；一切平面图形中最美的是圆形。”那么，圆到底美在哪里？圆是一种美丽的图形，春秋战国时期，墨翟在其所著《墨经》九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(1)-----垂径定理

九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(1)3.2圆的对称性？复习提问：1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形圆是轴对称图形吗？

如果是,它的对称轴是什么?

你能找到多少条对称轴？

你是用什么方法解决上述问题的?3.2圆的对称性？复习提问：1、什么是轴对称图形？我们圆是轴对称图形.

圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.3.2圆的对称性圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,OACBNMD圆是轴对称图形，

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。OACBNMD圆是轴对称图形，经过圆心的每一OACBNMD或：任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

任意一条直径都是圆的对称轴（）OACBNMD或：任意一条直径所在的直线都是圆的对看一看B.OCAEDO.CAEBDAE≠BEAE＝BE看一看B.OCAEDO.CAEBDAE≠BEAE＝BE圆的相关概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).●O经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).AB⌒以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.AB⌒小于半圆的弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).⌒AMB大于半圆的弧叫做优弧,如记作(用三个字母).ABCMD圆的相关概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径将圆分同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆.

在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。弓形:由弦及③AM=BM,垂径定理AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?ABCDM└由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.题设结论③AM=BM,垂径定理AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些垂径定理如图,小亮的理由是:连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.垂径定理如图,小亮的理由是:连接OA,OB,●OABCDM└垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.题设结论（1）直径（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦垂径定理三种语言定理:

垂直于弦的直径平分弦,

并且平分弦所对的两条弧.杨老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理三种语言定理:垂直于弦的直径平分弦,杨老师提示:在下列图形中，找出能利用垂径定理的图形在下列图形中，找出能利用垂径定理的图形例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。E.ABO解：连结OA.过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米例题精讲方法总结：利用垂径定理解题，需要利用三角形AOE,如果有，直接用；如果没有，就需要作出相应三角形。请大家要牢记这一点！例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(2)----垂径定理的推论

九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(2)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.②CD⊥AB,垂径定理的逆定理（推论）AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.●O左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小亮发现图中有:CD由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.OABMN一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。CDOABMN一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件垂径定理及逆定理●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理及逆定理●OABCDM└条件结论命（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB⌒求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD（AC＝BC）求证：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD⊥AB⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.OCAEBDC以上都是垂径定理的推论（1）（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……..()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧……………按图填空：在⊙O中，（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则_______，_______，______；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；（4）若AC＝BC，MN为直径，则________，________，________．练习2⌒⌒按图填空：在⊙O中，练习2⌒⌒挑战自我垂径定理的推论（2）

如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论

圆的两条平行弦所夹的弧相等.挑战自我垂径定理的推论（2）如果圆的两条弦互相平行,那么这已知：⊙O中弦AB∥CD.求证：AC＝BD⌒⌒.MCDABON讲解如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒圆的两条平行弦所夹的弧相等已知：⊙O中弦AB∥CD.⌒⌒.MCDABON讲解如果圆的两例2已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO讲解例2已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦例3已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON讲解例3已知：⊙O中弦AB∥CD。⌒⌒证明：作直径MN⊥小结:

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂垂径定理三角形在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.

想一想P补7⑴d+h=r⑵已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E.⑴若半径R=2，AB=,求OE、DE的长.⑵若半径R=2，OE=1，求AB、DE的长.⑶由⑴、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？垂径定理三角形在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求CDABE例：平分已知弧AB已知：弧AB作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点。求作：弧AB的中点挑战自我画一画CDABE例：平分已知弧AB已知：弧AB作法：⒈连结ABCDABEFG变式一：求弧AB的四等分点。

mnCDABEFG变式一：求弧AB的四等分点。mnCABE变式二：你能确定弧AB的圆心吗？mnDCABEmnOCABE变式二：你能确定弧AB的圆CDABMTEFGHNP错在哪里？等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。●作AB的垂直平分线CD。●作AT．BT的垂直平分线EF．GHCDABMTEFGHNP错在哪里？等分弧时一定要作弧所夹弦的你能破镜重圆吗？ABACmn·O

作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。你能破镜重圆吗？ABACmn·O作弦AB．AC及它们破镜重圆ABCmn·O

弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

作图依据：破镜重圆ABCmn·O弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(3)-----垂径定理的应用九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(3)垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.题设结论（1）直径（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦MOACBN①直线MN过圆心②MN⊥AB③AC=BC④⑤垂径定理⌒AM=⌒MB⌒AN=⌒NBMOACBN①直线MN过圆心②MN⊥AB③AC=BC④MOACBN①直线MN过圆心③AC=BC②MN⊥AB④⑤⌒AM=⌒MB⌒AN=⌒NB垂径定理推论1推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。MOACBN①直线MN过圆心③AC=BC②MN⊥AB④MOACBN②MN⊥AB③AC=BC垂径定理推论1①直线MN过圆心O④⑤⌒AM=⌒MB⌒AN=⌒NB推论1:

(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;MOACBN②MN⊥AB③AC=BC垂径定理推论1①MOACBN垂径定理推论1②MN⊥AB

③

AC=BC

④⌒AM=⌒MB①直线MN过圆心O⑤⌒AN=⌒NB推论1:

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧MOACBN垂径定理推论1②MN⊥AB③AC=

圆的两条平行弦所夹的弧相等。●OABCD●OABCDMM垂径定理推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。●OABCD●OABCDMM

例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点O是的圆心），其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.垂径定理的应用(测公路的弯道的半径

)解：连接OC.

设弯路的半径为Rm，则0F=（R-90）m.

∵OE⊥CD，

∴CF=1/2CD=1/2×600=300（m）.

根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，

即R2=3002+（R-90）2

解这个方程，得R=545.

所以，这段弯路的半径为545m.RmF0CDE例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中垂径赵州石拱桥例2、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).驶向胜利的彼岸你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？赵州石拱桥例2、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如赵州石拱桥驶向胜利的彼岸解：如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2赵州石拱桥驶向胜利的彼岸解：如图，用表示桥拱，变式1：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB。解：连接OA在⊙O中，直径CD⊥弦AB∴AB=2AM△OMA是直角三角形∵CD=20∴AO=CO=10∴OM=OC–CM=10–4=6在Rt

△OMA中，AO=10，OM=6根据勾股定理，得：∴∴AB=2AM=2x8=16垂径定理的应用变式1：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，变式2、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。

垂径定理的应用变式2、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.

做一做P补8驶向胜利的彼岸ED┌

600BAO垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，垂径定理的逆应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.

想一想P补9驶向胜利的彼岸BAO600ø650DC垂径定理的逆应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后挑战自我1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.随堂练习P补10驶向胜利的彼岸3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d+h=r⑵挑战自我1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.2、熟练地学生练习1.已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD求证：EC＝DF.AOBECDFM学生练习1.已知：AB是⊙O直径，CD.AOBECDFM2.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.·ABCD0EFGHMN2.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,课堂小结：1.请说出本节所学习的主要内容。2.还有什么疑惑请提出来课堂小结：1.请说出本节所学习的主要内容。结束寄语形成天才的决定因素应该是勤奋.下课了!再见结束寄语形成天才的决定因素应该是勤奋.下课了!再见九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(4)---弦、弧、圆心角的关系九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(4)圆的对称性及特性圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.用旋转的方法可以得到:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性●O请问圆是否是中心对称图形呢？圆的对称性及特性圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心想一想：什么叫圆心角？顶点在圆心的角叫做圆心角。

在⊙O中有两个相等的圆心角，想一想这两个圆心角所对的两条弦是否相等？所对的两条弧是否相等？想一想：什么叫圆心角？CDoABCDoAB如图：AOB=CODCDoAB如图：AOB=CODCDoAB如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCD如图：AOB=CODoABCDABCDo

弦AB和弦ＣＤ对应的弦心距什么关系？

在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等。

ＥＦ∵

∠AOB=

∠COD∴AB=CDAB=CDABCDo弦AB和弦ＣＤ对应的弦心距什么关系？在同圆或等圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弦相等，圆心角所对弦的弦心距相等。推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。题设结论在同圆或等圆中(前提)圆心角相等（条件）定理推论圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弦相等，1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，如果AB＝CD，那么

，

，

；如果OE＝OF，那么

，

，

；如果弧AB＝弧CD，那么

，

，

；如果∠AOB＝∠COD，那么

，

，

。2.下列说法正确吗？为