二重积分的计算法

1利用直角坐标计算二重积分小结思考题作业利用极坐标计算二重积分doubleintegral9.2

二重积分的计算法第9章重积分如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得.先对y后对x的二次积分(累次积分)如果积分区域为：［Y－型］

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.解积分区域如图解积分区域如图解原式交换积分次序的步骤(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;解先y后x解解解曲面围成的立体如图.例

求由下列曲面所围成的立体体积，(1)设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.oxyD1性质8则D1为D在第一象限中的部分,坐标y为奇函数则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于补充奇偶对称性结论:(书上P73习题8-12)这个性质的几何意义如图:OxyzOxyz

区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为偶函数

区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为奇函数（2）若D关于y轴对称，D1为D在右半平面部分，则有：类似地,oxyD1设D为圆域(如图)0D1为上半圆域例

解由性质得

例

今后在计算重积分利用对称性简化计算时,

注意被积函数的奇偶性.

积分区域的对称性,要特别注意考虑两方面:(A)(B)(C)(D)0.A为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,(书上P123复习题82)思考题2D1D2D3D4记I=则I=I1+

I2,其中I1=I2=而I1=D1与D2关于y轴对称D3与D4关于x轴对称xy关于x和关于y都是奇函数而I2=是关于x的偶函数,关于y的奇函数.

所以D1D2D3D4补充轮换对称性结论:若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则证所以,

例二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］练求证

左边的累次积分中,提示不能直接计算，是y的抽象函数,证毕.要先交换积分次序.证明1990年研究生考题,填空,3分解练习交换积分次序解由给出的积分画出相应的积分区域练习二、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图解计算所围成的平面闭区域.例及直线解解解夹逼定理解解双纽线因被积函数D2极坐标

计算例分析故的在积分域内变号.D1例求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解

由对称性可知只需求第一卦限部分体积V1,xzoy2a被积函数(曲顶)为:积分区域(底)为:xzoy2a

二重积分的计算规律再确定交换积分次1.

交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域D的不等式,并画D的草图;序后的积分限;2.

如被积函数为圆环域时,或积分域为圆域、扇形域、则用极坐标计算;小结

3.

注意利用对称性质,数中的绝对值符号.以便简化计算;4.

被积函数中含有绝对值符号时,应将积分域分割成几个子域,使被积函数在每个子域中保持同一符号,以消除被积函oxy解将直角坐标系下累次积分:化为极坐标系下的累次积分.原式=练习

计算解积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.原式=记D1为D的y≥0的部分.则D1练习例求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及

解

求所围成的立体的体积.作业P1-2，直角坐标，28-31极坐标注：（不做坐标变换P31/3*）思考题思考题解答56解其中先将累次积分表成二重积分,则有例于是思考题思考题解答60若函数f(x,y)在矩形区域D:解上连续,且求f(x,y).设两边积分,得例

61二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在极坐标系下的计算公式

(注意使用对称性)三、小结(注意正确选择积分次序,掌握交换积分次序恰当选择坐标系计算二重积分(注意选择的原则)的方法)62思考题1考研数学(一)5分解令不能直接积出,改变积分次序.法一因为所以,63故所以,64法二设则则65思考题2设有一曲顶柱体,以双曲抛物面以xOy坐标面为底,体积.解