空间向量及其线性运算学案-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算学案一、学习目标1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3.了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.二、基础梳理1.在空间，具有__________和__________的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的__________或__________.空间向量用字母a，b，c，…表示.2.长度为0的向量叫做__________，记为__________.模为1的向量叫做__________.3.与向量a长度__________而方向__________的向量，叫做a的相反向量，记为__________.4.如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相__________或__________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量__________，即对于任意向量a，都有__________.5.方向__________且模__________的向量叫做相等向量.因此，在空间，__________且__________的有向线段表示同一向量或相等向量.6.空间向量线性运算的运算律：（1）交换律：__________；（2）结合律：__________，__________；（3）分配律：__________，__________.7.共线向量定理：对任意两个空间向量a，b，的充要条件是存在实数λ，使__________.8.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__________.三、巩固练习1.在直三棱柱中，若，则()A. B. C. D.2.在空间四边形中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是()A. B.C. D.3.如图，在正方体中，点E是的中点，点F是AE的一个三等分点，且，则()A. B.C. D.4.已知空间向量a，b，且，，，则一定共线的三点是()A. B. C. D.5.在正方体中，点E为上底面的中心，若，则x，y的值分别为()A.， B.，C.， D.，6.给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足，且a，b同向，则a>b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任意向量a，b，必有.其中正确命题的序号为___________.7.对于空间中的非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中一定不成立的是___________.8.下列结论中，正确的是__________(填序号).①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使；②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使；③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使.9.如图，在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量.10.如图所示，在正方体中，点E在上，且，点F在体对角线上，且，求证：E，F，B三点共线.11.已知三个向量a，b，c不共面，并且，向量p，q，r是否共面？

参考答案基础梳理大小；方向；长度；模零向量；0；单位向量相等；相反；-a平行；重合；平行；相同；相等；同向；等长（1）；（2）；（3）；巩固练习1.答案：D解析：，故选D.2.答案：B解析：∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴四边形EFGH为平行四边形，∴，且.∵E，B，F，G四点构成一个封闭图形，∴首尾相接的向量的和为零向量，，即有.3.答案：D解析：易知，所以.故选D.4.答案：A解析：，，三点共线.故选A.5.答案：C解析：如图，..6.答案：④解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误；对于②，向量是不能比较大小的，故错误；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错误；只有④正确.7.答案：②解析：根据空间向量的加减运算法则可知，对于①：恒成立；对于③：当方向相同时，有；对于④：当方向相同且与方向相反时，有.只有②一定不成立.8.答案：②③解析：共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第②个命题正确.但定理的应用又有一个前提：b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确.9.答案：∵G是的重