六西平均数管理标准差与变异系数

第三章平均数、标准差与变异系数

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平均数是是统计学学中最常常用的统统计量，，用来表表明资料料中各观观测值相相对集中中较多的的中心位位置。平平均数主主要包括括有：算术平均均数（arithmeticmean）中位数（median）众数（mode）几何平均均数（geometricmean）调和平均均数（harmonicmean）

一、算术术平均数数算术平均均数是指资料料中各观观测值的的总和除除以观测测值个数数所得的的商，简简称平均数或或均数，记为。。算术平均均数可根根据样本本大小及及分组情情况而采采用直接接法或加加权法计计算。(一)直接法主要用于于样本含含量n≤30以下、未未经分组组资料平平均数的的计算。。下一张主页页退出出上一张设某一资资料包含含n个观测值值：x1、x2、…、xn，则样本平平均数可可通过下下式计算算：（3-1）其中，Σ为总和符符号；表表示示从第一一个观测测值x1累加到第第n个观测值值xn。当在在意意义上已已明确时时，可简简写为Σx，（3-1）式可改改写为：：下一张主页页退出出上一张【例3.1】】某种公牛牛站测得得10头成年公公牛的体体重分别别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其其平均数数。由于Σx=500+520+535++560+58+600+480+510++505+49=5285，n=10下一张主页页退出出上一张得：即10头种公牛牛平均体体重为528..5kg。（二）加加权法对于样本本含量n≥30以上且已已分组的的资料，，可以在在次数分分布表的的基础上上采用加加权法计计算平均均数，计计算公式式为：（3-2）式中：—第i组的组中中值；—第i组的次数数；k—分组数第i组的次数数fi是权衡第第i组组中值值xi在资料中中所占比比重大小小的数量量，因此此将fi称为是xi的“权”，加权法法也由此此而得名名。【例3.2】】将100头长白母母猪的仔仔猪一月月窝重（（单位：：kg）资料整整理成次次数分布布表如下下，求其其加权数数平均数数。下一张主页页退出出上一张表3—1100头长白母母猪仔猪猪一月窝窝重次数数分布表表下一张主页页退出出上一张利用（3—2）式得：：即这100头长白母母猪仔猪猪一月龄龄平均窝窝重为45.2kg。计算若干干个来自自同一总总体的样样本平均均数的平平均数时时，如果果样本含含量不等等，也应应采用加加权法计计算。下一张主页页退出出上一张【例3.3】】某牛群有有黑白花花奶牛1500头，其平平均体重重为750kg，而另一一牛群有有黑白花花奶牛1200头，平均均体重为为725kg，如果将将这两个个牛群混混合在一一起，其其混合后后平均体体重为多多少？此例两个个牛群所所包含的的牛的头头数不等等，要计计算两个个牛群混混合后的的平均体体重，应应以两个个牛群牛牛的头数数为权，，求两个个牛群平平均体重重的加权权平均数数，即下一张主页页退出出上一张即两个牛牛群混合合后平均均体重为为738..89kg。（三）平平均数的的基本性性质1、样本各各观测值值与平均均数之差差的和为为零，即即离均差之之和等于于零。或简写成成下一张主页页退出出上一张2、样本各各观测值值与平均均数之差差的平方方和为最最小，即即离均差平平方和为为最小。(xi-))2<((xi-a)2（常数a≠）或简写为为：<对于总体体而言，，通常用用μ表示总体体平均数数，有限限总体的的平均数数为：（3-3）下一张主页页退出出上一张式中，N表示总体体所包含含的个体体数。当一个统统计量的的数学期期望等于于所估计计的总体体参数时时，则称称此统计计量为该该总体参参数的无偏估计计量。统计学中中常用样样本平均均数（））作为总总体平均均数（μ）的估计计量，并并已证明明样本平平均数是是总体平平均数μ的无偏估估计量。。下一张主页页退出出上一张二、中位位数将资料内内所有观观测值从从小到大大依次排排列，位位于中间间的那个个观测值值，称为为中位数数，记为为Md。当观测值值的个数数是偶数数时，则则以中间间两个观观测值的的平均数数作为中中位数。。当所获获得的数数据资料料呈偏态态分布时时，中位位数的代代表性优优于算术术平均数数。中位数的的计算方方法因资资料是否否分组而而有所不不同。（一）未未分组资资料中位位数的计计算方法法对于未分分组资料料，先将将各观测测值由小小到大依依次排列列。下一张主页页退出出上一张1、当观测测值个数数n为奇数时时，(n+1)/2位置的观观测值，，即x(n+1)/2为中位数数：Md=2、当观测值值个数为为偶数数时时，n/2和（n/2++1）位置的的两个观观测值之之和的1/2为中位数数，即：：（3-4）下一张主页页退出出上一张【例3.4】】观察得9只西农莎莎能奶山山羊的妊妊娠天数数为144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中中位数。。此例n=9，为奇数数，则：：Md===150（天）即西农莎莎能奶山山羊妊娠娠天数的的中位数数为150天。下一张主页页退出出上一张【例3.5】】某犬场发发生犬瘟瘟热，观观察得10只仔犬发发现症状状到死亡亡分别为为7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其其中位数数。此例n=10，为偶数数，则：：(天)即10只仔犬从从发现症症状到死死亡天数数的中位位数为11.5天。（二）已已分组资资料中位位数的计计算方法法下一张主页页退出出上一张若资料已已分组，，编制成成次数分分布表，，则可利利用次数数分布表表来计算算中位数数，其计计算公式式为：（3—5）式中：L—中位数所所在组的的下限；；i—组距；f—中位数所所在组的的次数；；n—总次数；；c—小于中数数所在组组的累加加次数。。下一张主页页退出出上一张【例3.6】】某奶牛场场68头健康母母牛从分分娩到第第一次发发情间隔隔时间整整理成成次数分分布表如如表3—2所示，求求中位数数。表3—268头母牛从从分娩到到第一次次发情间间隔时间间次数分布布表下一张主页页退出出上一张由表3-2可见：i=15，n=68，因而中中位数只只能在累累加头数数为36所对应的的“57-71”这一组，，于是可可确定L=57，f=20，c=16，代入公公式（3-5）得：(天)即奶牛头头胎分娩娩到第一一次发情情间隔时时间的中中位数为为70.5天。下一张主页页退出出上一张三、几何何平均数数n个观测值值相乘之之积开n次方所得得的方根根，称为为几何平均均数，记为G。它主要要应用于于畜牧业业、水产产业的生生产动态态分析，，畜禽疾疾病及药药物效价价的统计计分析。。如如畜禽、、水产产养殖的的增长长率，抗抗体的滴滴度，药药物的效效价，畜畜禽疾病病的潜伏伏期等，，用几何何平均数数比用算算术平均均数更能能代表其其平均水水平。其其计算公公式如下下：(3-6)下一张主页页退出出上一张为了计算算方便，，可将各各观测值值取对数数后相加加除以n，得lgG，再求lgG的反对数数，即得得G值，即(3-7)【例3.7】】某波尔山山羊群1997-2000年各年度度的存栏栏数见表表3-3，试求其其年平均均增长率率。下一张主页页退出出上一张表3-3某波尔山山羊群各各年度存存栏数与与增长率率下一张主页页退出出上一张利用（3-7）式求年年平均增增长率G==lg-1[（-0.368--0.398–0.602）]=lg-1（-0.456）=0.3501即年平均均增长率率为0.3501或35.01%。下一张主页页退出出上一张四、众数数资料中中出现次次数最多多的那个个观测值值或次数数最多一一组的组组中值，，称为众众数，记记为M0。如表2-3所列的的50枚受精种种蛋出雏雏天数次次数分布布中，以以22出现的次次数最多多，则该该资料的的众数为为22天。又如【例3.6】】所列出出的的次数数分布表表中，57-71这一组次次数最多多，其组组中值为为64天，则该该资料的的众数为为64天。下一张主页页退出出上一张五、调和和平均数数资料中各各观测值值倒数的的算术术平均数数的倒倒数，称称为调和和平均数数，记为H，即（3-8）调和平均均数主要要用于反反映畜群群不同阶阶段的平平均增长长率或畜畜群不同同规模的的平均规规模。下一张主页页退出出上一张【例3.8】】某保种牛牛群不同同世代牛牛群保种种的规模模分别为为：0世代200头，1世代220头，2世代210头；3世代190头，4世代210头，试求求其平均均规模。。利用（3-9）式求平平均规模模：(头)即保种群群平均规规模为208..33头。对于同一一资料：：算术平均均数>几何平均均数>调和平均均数上述五种种平均数数，最常常用的是是算术平平均数。。第二节标标准准差一、标准准差的意意义用平均数数作为样样本的代代表，其其代表性性的强弱弱受样本本资料中中各观测测值变异异程度的的影响。。仅用平平均数对对一个资资料的特特征作统统计描述述是不全全面的，，还需引引入一个个表示资资料中观观测值变变异程度度大小的的统计量量。下一张主页页退出出上一张全距（极极差）是表示资资料中各各观测值值变异程程度大小小最简便便的统计计量。但但是全距距只利用用了资料料中的最最大值和和最小值值，并不不能准确确表达资资料中各各观测值值的变异异程度，，比较粗粗略。当当资料很很多而又又要迅速速对资料料的变异异程度作作出判断断时，可可以利用用全距这这个统计计量。下一张主页页退出出上一张为了准准确确地表表示样样本内各各个观测测值的变变异程度度，人人们首首先会会考虑到到以平均均数为标标准，求求出各个个观测值值与平均均数的离离差，（（）），，称为为离均差。虽然离均均差能表表示一个个观测值值偏离平平均数的的性质和和程度，，但因为为离均差差有正、、有负，，离均均差之和和为零零，即（（））=0，因而而不能能用用离均差差之和Σ（））来表表示示资料料中所有有观测值值的总偏偏离程度度。下一张主页页退出出上一张为了解决决离均差差有正、、有负负，离均均差之和和为零的的问题题，，可先先求离离均差差的绝绝对值值并并将各各离离均差差绝绝对值值之和和除除以观观测测值个个数数n求得平平均均绝对对离离差，即即Σ|||/n。虽然平平均绝对对离差可可以表示示资料中中各观测测值的变变异程度度，但但由于平平均绝对对离差包包含绝对对值符号号，使使用很不不方便，，在统计计学中未未被采用用。我们还可可以采用用将离均均差平方方的办法法来解决决离均差差有正、、有负，，离均差差之和为为零的问问题。先将各个个离均均差平平方，即即())2，再求离均差平平方和，即，，简称平方和，记为SS；由于于离离差平方方和常常随样样本本大小小而而改变变，，为了了消除除样样本大大小的的影响响，，用用平方和和除以以样样本大大小小，即即，，求求出离均均差平方方和的平平均数；；下一张主页页退出出上一张为了使所所得的统统计量是是相应总总体参数数的无偏偏估计计量，统统计学证证明，在在求离均均差平方方和的平平均数时时，分母母不用样样本含量量n，而用自自由度n-1，于是是，我们们采用用统计计量表表示示资料的的变异程程度。统计量称称为均方方（meansquare缩写为MS）,又称样本方差差，记为S2，即S2=（3-9）下一张主页页退出出上一张相应的总总体参数数叫总体方差差，记为σ2。对于有有限总体体而言，，σ2的计算公公式为：：（3-10）由于样样本方差差带有有原观测测单位的的平方方单位，，在仅表表示一个个资料中中各观测测值的变变异程度度而不作作其它分分析时，，常常需要要与平均均数配合合使用，，这时时应将将平方方单位还还原，即即应求出出样本方方差的平平方根。。统计学学上把样样本方差差S2的平方根根叫做样本标准准差，记为S，即：（3-11）下一张主页页退出出上一张由于所以（3-11）式可改改写为：：（3-12）下一张主页页退出出上一张相应的总总体参数数叫总体标准准差，记为σ。对于有有限总体体而言，，σ的计算公公式为：：（3-13）在统计学学中，常常用样本本标准差差S估计总体体标准差差σ。

下一张主页页退出出上一张二、标准准差的计计算方法法（一）直直接法对于未分分组或小小样本资资料，，可直直接利用用（3-11）或（3-12）式来计计算标准准差。【例3.9】】计算10只辽宁绒绒山羊产产绒量：：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准准差。此例n=10，经计算算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（（3—12）式得：：(g)即10只辽宁绒绒山羊产产绒量的的标准准差为为65.828g。下一张主页页退出出上一张（二）加加权法对于已制制成次数数分布表表的大样样本资料料，可利利用次数数分布表表，采用用加权法法计算标标准差。。计算公公式为：：

（3-14）式中，f为各组次次数；x为各组的的组中值值；Σf=n为总次数数。

下一张主页页退出出上一张【例3.10】利用某纯纯系蛋鸡鸡200枚蛋重资资料的次次数分布布表（见见表3-4）计算标标准差。。将表3-4中的Σf、Σfx、代入（3-14）式得：：(g)即某纯纯系蛋蛋鸡鸡200枚蛋重重的标标准差为为3.5524g。下一张主页页退出出上一张表3-4某纯系蛋蛋鸡200枚蛋重资资料次数数分布及标准差差计算表表三、标准准差的特特性（一）标准差的的大小，，受资料料中每个个观测值值的影响响，如观观测值间间变异大大，求得得的标准准差也大大，反之之则小。。（二）在计算标标准差时时，在各各观测值值加上或或减去一一个常数数，其数数值不变变。（三）当每个观观测值乘乘以或除除以一个个常数a，则所得得的标准准差是原原来标准准差的a倍或1/a倍。下一张主页页退出出上一张（四）在资料服服从正态态分布的的条件下下，资料料中约有有68.26%的观测值值在平均均数左