高三二轮复习微专题之导数重点复习三（立体几何二外接球巩固空间的垂直关系及证明）及答案

2025届高三二轮复习微专题（立体几何二：外接球巩固，空间角复习，空间的垂直关系及定理定义）2025412【复习巩固】外接球问题基本原理：两定理一公式（过不共线三点有且只有一个圆，过不共面四点有且只有一个球，）.外接球问题类型及解法：1.基本型：（1）旋转体的外接球：圆锥，圆锥，圆台的外接球（注：常取轴截面进行计算）；（2）长方体的外接球（为长方体的长宽高，为长方体的外接球半径）.2.补形类：（1）直棱锥（有侧棱垂直于底面）直棱柱圆柱；例1.如图，三棱锥中平面，，则三棱锥的外接球的半径为.解：如下，“图1”的三棱锥补形成“图2”，再补形成“图3”.（图（图1）（图2）（图3）用公式“”，在“图3”中，1，，∴.（2）“墙角”或“鳖臑”补形成长方体：例2.填空：（例2图1）（例2图2）（1）如图1（“墙角”），三棱锥中平面，，，，，则三棱锥的外接球的半径为.（例2图1）（例2图2）（2）如图2（“鳖臑”），三棱锥中平面，，，，，则三棱锥的外接球的半径为.（3）“正四面体”补形成“正方体”例3.已知正四面体的棱长为2，其外接球半径为.解：如下图，补形成正方体后，正方体的棱长为，体对角线长为，外接球的半径为.变式：已知正四面体的棱长为2，取各棱的中点连成一个八面体，其体积为.例3图例3图3.一般型：雷达定位，“雷达”即小圆面，一个雷达能确定球心的方向，两个雷达能确定球心的位置.小圆常常是一个三角形的外接圆.如下图，已知球的小圆与小圆，则过作小圆的垂线必经过球心，过的小圆的垂线必经过球心，与的交点即为球心.例4.已知三棱锥中，平面平面，且与都是边长为2的等边三角形，则三棱锥的外接球的半径为.解：如下图2，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过与分别作平面与平面的垂线与，与的交点即为外接球的球心.（（例4图1）（例4图2）（例4图3）如图3，取中点，连、，则、分别过、，因为平面平面，易知平面，所以//，四边形是矩形，，连，则，外接球半径.（注：此题不能补形成圆柱，但可补形成圆台）变式1.把“平面平面”改成“二面角为”，则外接球半径为；变式2.把“与都是边长为2的等边三角形”改成“是边长为2的等边三角形，是等腰直角三角形，”，则外接球半径为.【空间中的夹角巩固】例5．如图，正四面体的棱长为2，是棱的中点.（1）与的夹角的余弦值为；（2）与的夹角的余弦值为0；（3）直线与平面所成角的余弦值为；ABCDEABCABCDEABCDE例6．如图正方体棱长为2，、分别为、的中点.（1）直线与的夹角为；（2）直线与平面的夹角为；（3）直线与平面的夹角为.【空间中的垂直关系及证明】③③线面线线面面①②④1.三个垂直：AA根据所给图形，写出相应定理或定义的符号语言：①：,,,；②：,；③：,,,；④：,.2.常见的垂直：（1）在正方体中，我们称、等为面对角线，、等为体对角线，①直线平面（填顶点连成的正方体的截面）；②直线平面（填顶点连成的正方体的截面）；③直线平面或（填顶点连成的正方体的截面）. （2）如图，在三棱锥中，，，则.（3）例7.如右图，在正三棱柱中.①求证：平面；②若求证：.证明：①正棱柱中，侧棱平面，且平面，∴又正三角形中，中线∵，，,、平面∴平面②∵平面，且平面∴，及又∵，所以矩形是正方形，分别是的中点∴∵且，，、平面∴平面,且平面∴3.投影法观察线线垂直：如下图，直线平面，直线平面，作平面，作平面，称为直线在平面上的投影，则例8.（2021年新高考2卷）（多选题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（

BC

）A．B．C．D．【答案】BC4.已知面面垂直，必得线面垂直（如有必要，作辅助线）.例9．如图，在四棱锥中，，，，平面平面.（1）求证：平面ABCD；（2）已知是棱的中点，求三棱锥的体积.【详解】（1）证明：取中点为，连∵，∴∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，且平面∴，且（已知），，、平面平面，平面∴平面平面，且平面平面，平面，∴平面（2）例10.（2022·新高考Ⅰ·T19）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；【小问2详解】取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，