高三数学一轮复习大题专练《椭圆中的定值问题（一）》突破解析_第1页
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一轮复习大题专练59—椭圆（定值问题）1．已知离心率为的椭圆的左顶点及右焦点分别为点、，且．（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，是直线上异于的点，且，证明：点在定直线上．（1）解：由题意，椭圆的离心率为，则，所以，又椭圆的左顶点及右焦点分别为点、，且，则，所以，，则，故椭圆的标准方程为；（2）证明：设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，，设，，，，不妨设，，则，因为，则，设，则，若点在，之间，则，所以，则，即，因为异于点，即，所以，此时，则轴，则点与点重合，不符合题意；当点在，外侧，则，所以，则，解得，因为点在直线上，则，所以点在定直线上．2．已知原点到椭圆的上顶点与右顶点连线的距离为．（1）求椭圆的离心率；（2）直线过点与椭圆交于，两点，点是椭圆的上顶点，求证：直线与的斜率之和为定值．解：（1）椭圆的上顶点与右顶点连线的方程为，所以，解得，则离心率；（2）由（1）可得点，根据题意可得直线的斜率一定存在，不妨设直线，即，椭圆方程可化为，联立可得，设，，，，则，，又，所以，所以直线与的斜率之和为定值．3．已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足．问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得：，，化简得，故的方程为：，将代入椭圆的方程得：，所以，解得：，所以，所以椭圆的方程：；（2）设，，，，，，直线的方程为，则直线与轴的交点为，由，，得又，，所以，故的方程为，由得：，所以直线的方程为，即，所以直线过定点，所以在以为直径的圆上，所以存在定点，使的长为定值．4．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且有，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点，点，求证：．（Ⅰ）解：椭圆的离心率为，可得，在△中，，，．，解得，，，则椭圆的方程为：．（6分）（Ⅱ）证明：当直线斜率为0时，易知成立，当直线斜率不为0时，设直线方程为，，，，，，消去有，，所以，综上可知不论直线的斜率是否为0，总有．（12分）5．设椭圆经过点，，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过定点的直线与椭圆交于，两点（与，不重合），证明：直线，的交点的横坐标为定值．解：（1）由题意可得，解得：，，所以椭圆的标准方程为：；（2）证明：由（1）可得，，设过点的直线为，设，，，，联立，整理可得：，△，且，，直线的方程：，直线方程为：，两条直线联立①，将，，②联立两条直线方程：，③，①③联立，所以直线，的交点的横坐标为定值．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）为椭圆上一点，射线，分别交椭圆于点，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）由题意可知，，且，所以，，，所以椭圆方程为；（2）①当点在轴上时，由对称性不妨设点，

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